Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Итерационное уточнение граничного условия Отметим некоторые возможности решения задачи расчета равновесия пластинки итерационными методами. Запишем уравнение (11) в виде операторного уравнения первого рода: Ар = у, (23) где А = А' > О, причем А = Л +р(хз)Е. (24) Используем для решения задачи (23), (24) чебышевский итерационный метод (или трехслойные методы вариационного типа): В +Ауь=у, 0=0,1,....
(25) тгь, Пусть В=В'>О, тогда для числа итераций, необходимых для достижения необходимой относительной точности г, требуется и > Эне(г) = 1п (2е ') (26) 1п(р! ) итераций, где 1 — ь 7! р!= 1 + с!/2' (27) а у, а = 1, 2 — постоянные энергетической эквивалентности операто- ровАиВ: (20) 7!В < А ( 7!В, у! > О.
523 10.3. Термаупругие напряжения в пластинах Рассмотрим некоторые возможные способы выбора В. Естественно по- ложить и б дш Зто соответствует тому, что в итерационном методе (23), (24), (29) уточняются только граничные условия. Тем самым речь идет об итерационном процессе в подпространстве (см. п.4.7). В таких условиях можно показать, что с = 0(Ь, ') в оценке (31). Для числа итераций чебышевского итерационною метода из (26)- (28) получим и > пе(е) = 0(ЛГ ~ 1п (е )), так как 6= 7' =0(Л,). 72 Итерационный метод (23), (24), (29) соответствует итерационному уточ- нению граничного условия. Принимая во внимание (13), (16), (23), (24), (29), итерационный процесс можно записать в виде 2 — ~~! (ьье!)хмь = у(х), а=! — ~,4уь!.!)х„е, = еле!(и), в б ш, хбш, «=! уее!(в) = О, х б дш. (33) Уточнение граничного условия для е(и) осуществляется по формуле +е„— Ф(рн(в)) = О, т! ~ ! (34) х б дш.
В = Лг, (29) тогда обращение оператора В будет эквивалентно решению двух задач Дирихле для уравнения Пуассона, Из (24) и (29) непосредственно следует у! = 1. Для получения оценки для 7з достаточно найти с в неравенстве (ри,в) < с(Вв,в). (30) Необходимо отметить, что оценку (30) необходимо получить для сеточных функций в(х), таких что (см. (13)-(16)) з ие„,, =О, -Е "- ханш, и=! 2 — вя... =е(и), хбш, а=! и(и) = О, 524 13гава 10. Задачи термоупругости Естественно, что вместо явного итерационного процесса (34) на решениях (3!)-(33) можно рассмотреть и более общие неявные итерационные методы. В этом случае граничное условие уточняется следующим образом: В + + оо — Ф(уо(х)) = О, х б ды, (35) го+! а внутри области решаются уравнения (31), (32) с краевым условием (33).
За счет выбора В в (35) можно построить итерационные методы, для которых число итераций не зависит от шагов сетки. где 4 тЬ 6о = у ' 6, = ~~! — з!и —, Ьз 21 «=! и ! и а (37) з з 4 Л,=~ Л.=~ — „,. а=! а=! На основании (36) регуляризатор Я выберем в виде Я =Л+ — Е, р( ) Ьо (38) (39) тогда боВ < А < ЛоЯ. (40) Оператор В в итерационном процессе (25) строится на основе регуляризатора В, определяемого согласно (39).
В соответствии с результатами п.4.7 скорость основных итерационных методов не будет зависеть от сеточной функции р(хз) ) О. Это относится, в частности, к попеременно-треугольному итерационному методу, для которого В = (тз+ о!Я!)2З (тг+ ыВз) (41) где В=В!+Во В! =Во. Можно указать следующий простейший явный выбор Э: ( р(хз) ) (42) 10.3.0. Регулнрнаованные итерационные методы Отметим возможность итерационного решения задачи (23), (24) на основе использования итерационных методов, построенных для сеточных эллиптических уравнений второго порядка.
Для построения соответствуюшего регуляризатора привлечем оценки А = Л + р(хз)Е ~ )боЛ+ р(хз)Е, А ( ЬоЛ+ р(хз)Е, (36) 525 10.3. 2ермоупругие напряжения е пластинах В этом случае постоянные энергетической эквивалентности операторов В и Д остаются такими же как для сеточного оператора Лапласа, т. е. выполнены неравенства Для операторов (39), (42) первое неравенство (43) выполняется с очевид- ностью. Для второго имеем (Я122 ~цзу,у) =(Р ~Дзу Лзу) = з, Н(х) ~ ~(121 + 122 ) ((Ут) + (Ут))+ Положим и= —, 1+Р= 1(х), Р(Х2) ооДо тогда 1+ 13 р(хз), 2 1 6о 4)Ы(х) Ьо гзо Это приводит нас к неравенству Ф1~ .~~2У~ У) ч (1И + а2 )( (Ут) + (Ут) + У ~ 1 -1 -2 -2 2 2 Р(Х2) 2 2.'~о < (12 + 122 )(ДУ У).
Тем самым, и второе неравенство (43) установлено. Для числа итераций регуляризированного попеременно-треугольного итерационного метода (25), (41)„(42) получим оценку ( 1 11 по(е) = Π— 1и-). г 1ь 1222 .) Тем самым, для задачи (23), (24) (сеточное эллиптическое уравнение четвертого порядка) зависимость числа итераций от сетки выражена гораздо сильнее, чем для сеточных эллиптических уравнений второго порялко 526 13оава 10. Задачи термоупругости 10.3.8. Задачи Задача 1. Приведите расчетные формулы метода прогонки для реше- ния следующей пятидиагональной системы уравнений (44) (45) (46) Соуо лгоу1 + Еоуз В~уо+С1У~ гг1уз+Е|уз Ауь-т — В;у;, + С;у; — Поу;+, + Е;у;+з 1 = 2, З,...,по — 2, А„, ~у з — В,„|у„, о+С ~у„, 1 — 27ы 1у,„ Аыуы-з Выуы ! + Сыущ = Ро~ = Рп = Р.
=Р -и (47) = Е'ы. (48) Реиоеиие. Метод прогонки для системы уравнений (44)-(48) основан на представлении решения в виде 1=0,1,...,пз — 2, (49) (50) Уу' = аьм3й+1 — Д+!У1+з+ 7о+и Уы — 1 = аыут+ 7ы. Как и в обычной трехточечной прогонке (см. п.4.5) сначала найдем прогоночные коэффициенты.
Выразим, используя (49), у; ~ и у; з через у; и у;+~. (51) (52) у; 1 —— а;у; — ДУ~1+уп 1=1,2,...,гп — 1, У; г = (а;а; 1 — Д 1)уо — Да; ~УН1+ а~-~7'+7о-~ 1 = 2, 3, ..., т — 1. Подстановка (51), (52) в (С; — А;Д ~ + а;(А;а; 1 — Еу+г+Р— (46) дает — В;))у; = (27;+Д(А;а; ~ — В;))у;е1— Агу; 1 — 7;(А;а;,— В;), 1=2,3,...,по — 2.
(49) получим +Д(Аоа; 1 — В)), Д+~ — — Д 'Еп — Ао7; 1 — 7;(А;ао ~ — В;)), С учетом представления (53) где Д = (С; — А;Д 1 + а;(А;а; ~ — В;)), 1 = 2, 3,..., по — 2. (54) Для того чтобы воспользоваться рекуррентными соотношениями (53), (54), необходимо задать коэффициенты а;, Д, 7; при 1 = 1, 2. Из (44) и (49) следует а1 — -Со'Юо, Д =Со Ео 71=Со Ро.
(55) Подставляя (51) при 1 = 1 в (45), получим (С| — В|а|)у, = (Р1 — ВгД)уз — Е1уз+Р, +В;у,, 527 10.4. Колебания пластин Поэтому можем положить аз = Я, '(Р! — В,б ), Я! = С~ — В~оп )3з = Я, 'Еп 7з = Я~ (Л + В!7!). (56) Для определения коэффициентов о, у в представлении (50) подставим (51), (52) при 1 = пз — 1 в (47). Это дает те же формулы (53), (54) при 1 = ш-1. Тем самым, по рекуррентным формулам (53), (54) с учетом (55), (56) находятся все прогоночные коэффициенты. Для нахождения решения по (49), (50) нужно найти у .
Для этого используется уравнение (48). Подставляя (49) прн з = гп — 2, получим Уч = 7аз«~ (57) где у з«определяется согласно (53), (54) при з = гп. Равенство (57) позволяет по (49), (50) найти решение системы (44)-(48). ь Задача 2. Ди задачи (23), (24) постройте регуляризатор В, который не содерхсит смешанных производнык, а постоянные энергетической эквивалентности не зависят от сетки, Решение. Для оператора А справедливо представление А = Л! + 2Л1 Лз + Лз + р(хз)Е. В силу перестановочности и положительности операторов Л, а = 1, 2 имеем 0 < 2Л, Л, < Л', + Л'„ и поэтому А > Лз «Лз «-Р(хз)Е, А < 2(Л~ +Лз)+Р(хз)Е (58) Если мы выберем Я = Л! + Лз + р(хз)Е, (59) то из (58) получим Я<А<2В. (60) Регуляризатор (59) представляет собой сумму одномерных сеточных операторов и в силу (60) удовлетворяет всем сформулированным условиям задачи.
ь 10.4. Колебания пластин 10.4.1. Динамическая задача термоупругоети Рассмотрим проблемы численного решения нестационарных задач для пластин на примере термоупругих деформаций прямоугольных 528 озава 10. Задана лзермоулругослзи плоских пластин. Сохраняя обозначения п.10.3, динамический прогиб пластины будет описываться (см. п.
2.б) уравнением д~зо рЬ вЂ” 2+РЛлзлзо=е — )ЬМт) х Е й, 0 <1<Т, (1) где р — плотность пластины. Пренебрегая щюдольными потоками тепла, уравнение теплопроводности запишем в виде ди дзи Ь Ь вЂ” — к — = О, х Е й, — — < хз < —, О <1 <Т, (2) д1 дз 2 2' т. е. теплофизические характеристики пластины предполагаются постоянными. Для правой части уравнения колебаний пластины (1) справедливо представление Л22 Мт = 2Ф7о и(х, хз, 1)хз )1хз. (3) -Л)'2 Дополним систему уравнений (1) — (3) граничными и начальными условиями.
Как и при рассмотрении стационарной задачи (см. п. 10.3), положим (б) <1<Т зо(х, 0) = д~(х), — (х, 0) = д'(х), ХЕП, (10) х Е й. и(х, -0,5Ь, Ф) = д (х, 1), (4) и(х)05Ь)1) =у~(Х,С), х Е й, 0 < 1 < Т. Снова будем рассматривать разные типы закрепления пластины. Пусть 7 = (Х ( Х Е дй) Х2 =!2) и Г = дй ~ 7. Положим зо(х) =О, хЕ дй, 0 <1<Т, (5) д2 „ — 2 — — О, ХЕГ, 0<1<Т, диз — =О, хЕу, 0 (7) дп При 1 = 0 задано начальное распределение температуры, начальные смещения пластины и скорость этого смещения: о Ь Ь и(х,хз,О) =и (х,хз), х Ей, — — <х < —, (8) 529 10.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
