Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Будем рассматривать теперь систему (14), (15) как задачу для погрешности, причем р=О(!Л!') 1Л| =Л,+Л, 1= О(!Ь| ), Домножим скалярно уравнение (14) на т, а уравнение (15) на а. Из урав- нения (15) непосредственно получим (21) Ца!Ь < ЦИ- где использованы обозначения ЦаЦ, =(Аа,а), ЦаЦ ~ — = ((А) |а,а). Из уравнения (14) с учетом (16) и (21) следует ЦтЦ| < МТЦрЦ ~ + ЦРЦ ь (22) Из оценок (21), (22) следует однозначная разрешимость разностной задачи и сходимость оазностной схемы со вторым порядком.
509 10.1. Равновесие нагремого унругого мега 10.1.4. Регулириаоваииые итерационные методы Решение разностной задачи (14), (!5) осуществляется в два этапа. На первом можно найти температурные поля, т.е. решить задачу Дирихле (11), (13). С этой целью используются прямые или итерационные методы, подробно рассмотренные в главе 4. Второй этап расчета термоупругого состояния состоит в решении задачи для перемещений (9), (10), (12). Отметим некоторые возможности построения итерационных методов дяя таких задач.
Запишем двухслойный итерационный метод приближенного решения задачи (14) в виде В +Ауь=р — би, Уг=0,1,..., (23) тьм где с учетом (19) А =А. Скорость сходимости итерационного процесса (23) с операторами А =А', В=В" определяется постоянными у, а = 1, 2 в неравенстве 7~В ( А ( 7зВ> 7~ > О. (24) В соответствии с принципом регуляризации итерационных методов (и. 4,7) построение оператора В проводится на основе регуляризатора В = В" > О, энергетически эквивалентного оператору А.
Положим В = А, тогда на основе (20) будем иметь с~В( А < сгВ, (25) где с, = и, с, = Л+ 2п. (26) Оператор В строится на основе регуляризатора В, т.е. выполнена оценка У,В ~~ Я ~ (7тВ, 7~ > О. (27) В силу (25)-(27) получим неравенство (24) с 7~ = уг уп 7г = (Л+ 2,и)7ы (23) причем с= 6 с=+ (29) Л+2р ' При чебышевском наборе итерационных параметров или использовании трехслойных итерационных методов вариационного типа для числа итераций (23), (24), (29) имеет место оценка и > по(е) = 1п(2е ') (30) 1п(р, ) 510 Егава 10. Задачи термоупругости где ( г/г 1 .1. ~!/г ' (31) Рассмотрим два характерных примера. Пусть в качестве оператора В е берется оператор Лапласа, т.е. В = В, и поэтому С = 1.
Для такого итерационного метода скорость сходимости, как следует из (29)-(30), не будет зависеть ст параметров используемой сетки. Второй пример связан с использованием попеременно-треугольного итерационного метода. В этом случае В = (Е+ игАг)(Я+ ыАг) где А=А~+Аз, А~ =Аг При оптимальном значении параметра ы = иго = 2(боб!о) где 4 бо =— г Ь, гяЬг 4, гяйг о!и — + —, о1п —, В, Ь 21 4 + Ьг' г (32) 4 Ло =— г Ь, имеем 10.1.0. Задачи ! Задача 1. /7окагките справедливость двухстороннего неравенства (20) для оператора Л, определенного согласно (17), (18). 2г/~/~ бо ~ = (7(~) =, 0= — ' 1+9/ ',Ьо' (33) Принимая во внимание (29)-(33), для числа итераций попеременно- треугольного метода получим оценку !/г но(е) = О, !и —, (34) Оценка (34) показывает зависимость как от физических параметров (коэффициентов Ламе), так и соответствующую зависимость от шагов сетки.
Аналогично рассматриваются и другие варианты регуляризованных итерационных методов. Альтернативный подход связан с построением итерационных методов решения задачи термоупругости (14), (15) непосредственно для сеточной задачи (14). В частности, на этом нуги можно строить итерационные методы переменных направлений. 10.1. Равновесие нагретого упругого тела 511 Решение. Пусть 1»»а = (Ха ~ Ха = 1Ла» 1 = 1г 2> .. ° ~ 7»га) и определим (и, Ф)а» = ~~» ~~» и(х)О(Х)й»Ь2» а»еа~+ а»еа» (и,о)» = у г ~~» и(х)о(х)й»7»2.
*,Еа» а,еа»+ Тогда для оператора Лапласа на множестве сеточных функций, обрашаюшихся в нуль на ды, имеем (Аи, и) = ((и —,), 1), + ((и-,), 1), Для оператора Л из (17), (18) непосредственные выкладки дают Задача 2. Аппро»симируйте граничные условия второго рода для урав- нений (5), (б) (заданы напряжения) на части границы дй, для которой хз = О. Решение.
При заданных температурах граничные условия имеют вид 2' до» доз Л и( — + — 1 = »р»(хи 0), ~,дхз дх, ) (35) до» доз Л вЂ” + (Л+ 2р) — = у»2(х»,О), дх, дхз (Зб) х» = О. (Лт, т) = ~~» ((Лт), о,) = а=1 = (((Л+2Ф)(( )-,) +Ф(( )-„) +(Л+ИН );,( )-.,),1), + + (((Л+2р)((о2)е) + р((о»)а) +(Л+ р)(эз)а»(е»)а»),1) =((«а "(".-)) ). ((«а "("а)') ) . +((Л+р)( 2)-.,( )т,1),,+((Л+рН 2)х( )а„1)., Принимая во внимание ((О2)Е»(Е!)у»» 1)а» ((Е2)а»(о!)а»» 1)а» + ((О2)а,(Е1)а»» 1)» получим искомую оценку (20). ь 512 13ава 10. Задачи аермоулругоппи На решениях уравнения (5) имеем де~ Узз д е~ е~(хн Угз) = е~(хн О) + Узз †(х„ 0) + — †(х„ О) = дхз 2 дхз д, = о~(хнО)+Угз — (хи О)— дхз дзиз ди — — '1(Л+2д) —,'+(Л+р) ' — у — +у 2уз дхз дх дх В силу этого для аппроксимации граничного условия (35) можно использовать следующее разностное соотношение: Ьг Ф(( ~)ю+ ( з)Яу) + 2 ((Л+2И)(о3)ам~+ + (Л+ Р)(ег)ам 7иа, + У,(хи О)) = 1о~(хи 0).
(37) Очевидно, что (37) аппроксимирует (35) со вторым порядком. Аналогично для аппроксимации (36) используется выражение угз Л(е1)я, + (Л + 2ИНе2)ю + (р(ез)ум| + + (Л + р)(оДам уиг + Ут(хи 0)) уг(х~ ~ 0) (38) Для получения (38) привлекается уравнение (6). ь 10.2. Дииамическаи задача термоупругости д~т р — — дат — (Л+д)8гаг( йчт+ уйгаби = 1, ди хай, 0<1(Т, где р = сопзг — плотность. Для моделирования температурного состояния используется нестационарное уравнение теплопроводности, которое запишем в виде ди — — лсъи = О, х' Е й, 0 < 1 ~ (Т.
(2) Для системы уравнений термоупругости (1), (2) граничные условия зада- дим в простейшем виде: (3) (4) т(х, й) = а(х, 1), и(х,1) = д(х,1), хбдй, хадй, 0<1<Т, 0 <1 <Т. 10.2.1. Нестациоиариая двумерная задача Снова рассмотрим твердое упругое изотропное тело с прямоугольным сечением й. Нестационарные термоупругие деформации описываются уравнением 513 Рассматриваются плоские перемещения, и поэтому уравнение (1) можно записать для отдельных компонент перемещения в следующем виде: хай, 0<1<Т. Тем самым, вектор перемещений т = (эп эз) при заданных тепловых полях определяется из гиперболической системы уравнений.
Ранее в п. 10.1 мы рассмотрели стационарную задачу термоупругости. Это позволяет не останавливаться на деталях аппроксимации уравнения (1) по пространству, а сразу перейти к формулировке и исследованию соответствующей дифференциально-разностной задачи. Используя обозначения п. 10.1, поставим в соответствие уравнению (1) с учетом граничных условий (3) следующую систему уравнений и~т р — +Лт+бн=Р, хбы йз (8) на множестве сеточных функций, обращаюшихся в нуль на ды.
Для уравнения теплопроводности (2) и граничных условий (4) имеем дн — +кАи=р, хЕы. д1 (9) Система уравнений (7), (8) дополняется начальными условиями (5) — (7). Разностные операторы А и А являются самосопряженными и положительными. Кроме того, рА < Л < (Л+2р)А. (10) Приведем некоторые простейшие оценки устойчивости решения зада- чи (5) — (9) по начальным данным и правой части, которые будут ориен- тиром при получении оценок устойчивости разностного решения.
10.2. Динамическая задача гяермоуяругости Начальное состояние определяется условиями т(х, О) г и (х), х б й, дт дà — (х, О) = н (х), х б й, и(х, О) = н (х), х Е й. д е~ дз д2 д дн р (Л+ 2р) р (Л+ р) +7 Л, д$ дхз — дхз дх,дх д, дз„ дз дз„ д~е~ дн р — '-р — ' — (Л+2р) — '-(Л+р) ' + у — = гн д1з дхз дх~ дхз дхз 10.2.2. Дифференциально-разностная задача (5) (6) (7) Йоава 10. Задачи термоупругоглш 514 Пусть снова ЦиЦо = (Аи, и), ЦиЦ 1= ((А) 'а,и), тогда для оператора Ои = (7иу, ~ 7иа,) имеем ЦсиЦо =7 Ци ° Ц +7оЦи ° Ц <7~(Аи и) =7~ЦиЦ~п (11) Для оценки решения уравнения теплопроводности (9) домножим его скалярно на Аи. Это дает (и = сопзг) — — (Аи, и)+кЦАиЦ = (1о, Аи) < лЦАиЦ + — Ц1оЦ.
1 Н о о ! 2Ф 4к Отсюда следует оценка Ци(х, Е)Ц, < Цио(х)Ц, + — Ц1о(х,т)Ц'Нт. 2к А о (12) ? !Ат12 ЦтЦ, = р1 — ~ +(Ат,т), тогда — — ЦтЦ, = ~6и, — ) + ~Р, — ! < — ~ — ~ + (ЦСаЦ +ЦРЦ ), 2А! ' (, 'А1) 1, де) 2! д! ~ Принимая во внимание (11), имеем — ЦтЦ, < еЦтЦ, + — (7 ЦиЦ1+ ЦвЦ ).
ер На основании леммы Гронуолла (см. н. 5.!) приходим к неравенству м*,оио" (м*,ч1о: — ~.-"~„'ь(*, я%;-1щ*,.>!г)а.). (1о ер ! о Оценки (12), (13) обеспечивают устойчивость решения дифференциально-разностной задачи термоупругости по начальным данным и правой Для получения оценки решения системы уравнений (8) домножим его скалярно на Ни/А!. Пусть 10.2. Динамическая задача мермоунругосми 515 Эта схема имеет канонический вид тпе! тп-! з тче! 2тп+тп-! В +тВ + 4тп=Фп, 2т 12 п= 1,2,... (15) В=(а,— аз)тй, В=рт Е+ А, А =Л. (16) 2 Условия устойчивости трехслойной разностной схемы с самосопряженными операторами В, В, А > О имеют (см. п.5.4) вид 1 В>0, В> -А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
