Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Однородный алгоритм можно строить на основе использования метода фиктивных областей в вариантах (23) или (34). Второй вариант описания гидродинамики в двухфазной зоне связан с заданием эффективного коэффициента вязкости и использованием метода фиктивных областей в варианте с продолжением по старшим коэффициентам (уравнение (22)). Возможно использование и других макроскопических моделей двухфазной среды.
9.б.б. Вычиелительиая реализация метода фиктивных областей Отметим некоторые особенности реализации вычислительных алгоритмов сквозного счета для задач гидродинамики в переменных «функция тока, вихрь скорости» С этой целью используются аддитивные разностные схемы, которые рассмотрены в и. 9.5. Рассмотрим вначале вариант метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам. Используя обозначения п.9.5, после аппроксимации по пространству от уравнения (30) придем к дифференциально-разностному уравнению (см.
(37) в п.9.5) — Лф +3«(ч )Лф +и(Лзф,+ (С (и)+р(х))ф,) — б«(и)ид =О, хбси, 0<6<Т. Особенность зздачи проявляется в дополнительном к сеточной функции р(х) неотрицательном слагаемом С,(к). Сами же разностные схемы строятся полностью аналогично. Для аддитивных разностных схем имеем А — Лф+А|Лф+ Азф =)у«(и)кд, х б ы, 0 < 1 < Т, (36) где теперь А, = У(ч) + иЛ, Аз — — и(С,(з) + р(х)) Е. (37) Для (36), (37) могут быть рассмотрены схемы суммарной аппроксимации, схемы переменных направлений (см.
п. 9.5). Отметим особенности реализации модели пористой среды. Дифференциально-разностная задача, которая соответствует уравнению (34), 492 Права 9. Конвективный теолообмен будет иметь вид И вЂ” Лф~ + 1с(ч )Лф, + и(Л ф + й~ф~+ р(х)ф~) — Д(я)вв = О, хам, 0<з<Т, где Лсу = ~~' (даре,)*, ~ а=! а д, а = 1,2, вычисляются по коэффициенту продолжения С,(и). Например, в простейшем случае И~(хп хз) = Се(и(х~ — 0,5йн хз)), дз(хп хз) = С,(а(хн хз — 0,5йз)). Для построения аддитивных разностных схем для (38) используется запись (36) с А~ = У(т) + иЛ, Аз = и(й, + р(х))Е.
(39) Сушественно то, что в (39) оператор Аз является самосопряженным и неотрицательным, так как Л, = Л', ) О. Далее используются разностные схемы п. 9.5. 9.6.6. Задачи ! Задача 1. Сформулируите вариант метода фиктивнылобластед с продолнсением по старшим производным на основе варианта (27). Реилекие. В каждой отдельной подобласти будем иметь уравнение с бигармоническим оператором. Но лля формулировки естественных условий сопряжения, которые соответствуют уравнению (27), необходимо выписать оператор четвертого порядка с переменными коэффициентами. Уравнение для функции тока будет иметь вид д ди — Ьф,+У(тс)Ьф,+иЕ,.ф,-Дс(и) — =О, хбй(с), 0<Е(Т, дх~ где При такой записи нет необходимости специально формулировать условия сопряжения.
ь 9.7. Приближение пограничного слоя 493 Задача 2. Сформулируите задачу для нахождения функции тока при применении схемы стабилизирующей поправки для вариантов метода фиктивных областей (36), (37) и (36), (39). Решение. Второй этап схемы стабилизируюшей поправки (чисто неявной факторнзованной схемы, схемы Дугласа — Рекфорда) для (36) состоит в решении уравнения (индекс с опушен) Лфлн — ЛФ .низ +Аз(ф„+, — ф„)=0, ваш, п=0,1,2.... (40) В варианте с продолжением но младшим коэффициентам (расшепление (37)) разностное уравнение (40) дает следующее уравнение для функции тока: Лфп+~ + ™(Сс(к) + р(к))(фя+~ Фл) = гов->~!и (41) хЕы, п=0,1,2....
При использовании модели пористой среды (расшепленне (29)) аналогичное уравнение имеет вид Лф„е, + ти(Л, + р(х)) (ф„~~ — фп) = го„~Пи еды, к=0,1,2.... (42) Таким образом, мы снова приходим к сеточной задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Для приближенного решения задач (41), (42) используются итерационные методы (см. п.4.7).
Отметим, что для задачи (41) скорость сходи- мости слабо зависит от параметра продолжения е для основных итерационных методов, чего нельзя, вообще говоря, сказать о задаче (42). о 9.7. Приближение пограничного слоя 9.7.1. Течение на начальном участке канала Как отмечено в п.2.4, для описания конвективных течений широко используются приближенные модели. Наиболее известным является приближение пограничного слоя. Для краткого описания подходов к численному решению задач тепло- н массопереноса в рамках такого приближения рассмотрим модельную двумерную задачу о стационарном течении теплопроводяшей жидкости на начальном участке плоского канала. Рассматривается течение жидкости между двумя вертикальными пластинами, причем, для определенности, жидкость подается снизу.
Наряду с вынужденной будем рассматривать и свободную конвекцию в приближении слабосжимаемой жидкости. В основе упрошенной модели лежит предположение о малости скорости в поперечном направлении по сравчнцю со скоросгью» пю:юлино ~ шрзнлссао,рснебрс,зс~ 494 13~ава 9. лонвектнвный тенаообмен изменением скоростей в продольном направлении. Это дает нам уравнения пограничного слоя. Пусть ось х, направлена вдоль пластины, а хз — поперек.
Уравнения Навье — Стокса в приближении пограничного слоя дают следующую систему уравнений для описания стационарных течений. Задача рассматривается в полуполосе й=тх/х=(хпхз), х~ >О, 0<ха<1). Пусть т = (и,е) — скорость, а  — температура. Тогда уравнения движения и неразрывности записываются в виде др дзв +Рв+" з дх~ д з др дхз дв ди и — +э— Ох дх (2) (3) О, хай. — +— дх~ дхз ОВ дВ д'В и — +е — — к — =О, хай.
(4) О, дх, дх,' Сформулируем необходимые граничные условия для системы уравнений (1)-(4). Будем считать, что на входе в канал температура и продольная скорость постоянны: и(0, хз) = й = сспм, (5) В(0, хз) = Во = сопла (б) Условия прилипания и непротекания дают на стенках канала граничные условия и(х) =О, ха =0,1, э(х) = О, хз = 0,1. (7) (8) Кроме того, для температуры стенок имеем В(х) = О, хз = 0,1.
(9) Уравнения (1) — (4) с условиями (5) — (9) полностью определяют течение в вертикальном плоском канале. Заметим, что уравнения (1), (4) есть В (1)-(3) принято, что изменение плотности отсчитывается от плотности вблизи границ канала, на которых температура равна нулю. Уравнение теплопроводности в приближении теплового пограничного слоя (объемные источники тепла отсутствуют) может быть записано с следующем виде 495 9.7.
11риблихеение пограничного слон параболические уравнения, в которых переменная х~ является эволюцианной (выступает в качестве аналога времени). Если и(х) < О, то задача с условиями (5), (6) является некорректной. Поэтому рассматриваемая модель пограничного слоя мала приспособлена для описания возвратных течений, в которых продольная скорость меняет знак. В силу уравнения (2) имеем р = р(х|) и поэтому уравнение (1) можно переписать в виде ди ди дг„ и — + о — = д(х1 ) + гэд + и — г! (10) дх~ дхг д .г' т.
е. лри каждом фиксированном х~ уравнение движения содержит неизвестный параметр бр д(х~) = — —. (11) бх~ Для его определения привлекаются граничные условия (8), которых два в то время как для уравнения неразрывности (3) (уравнения первого порядка) достаточно одного условия. Из условий (8) интегрированием по сечению канала получим (12) и(х) 4хг = Ц = салаг. о Условие постоянства расхода (12) можно использовать вместо одного из граничных условий (8).
Интегральное условие (12) будем рассматривать как дополнительное условие для нахождения функции д(х|) в (10), (11). 9.7.2. Рааиоетиая схема Приведем в качестве примера простейшую линеаризаванную схему для моделирования течения в канале. В своем рассмотрении ограничимся равномерной сеткой иг с шагами Ь| и Ьг ло переменным х1 и хг соответственно: иг = 1х ! х = (хп хг), х1 — — лйл л = 1, 2,..., аг = гЬг, г = 1,2,...,ггà — 1, КЬг =11. В соответствии с этим положим У(яЬп гЬг) = Ун(1Ьг) = Уы В качестве определяющих выступают уравнения движения (10), неразрывности (3) и теплопроводности (4). Будем ориентироваться на использование чисто неявных схем, и поэтому лля аппроксимации (10) используется разностное уравнение (за разностными величинами сохранены те же обозначения, что и для решения дифференциальной задачи): ил+! ин и.
+ Ъ(иа,)им = дп~1+)уд„+1 + и(вэ,*,).+ь (13) 1 496 Е2ава 9. аонвекн!ионый н2енлообмен Аналогично выписывается разностное уравнение для температуры: во ы — В„ и- + в-(вз ).+! = к(вю*,).+!. !2! 1 (14) Для разностных уравнений (13), (14) используются (см. (5), (6)) начальные условия во(хз) = й, О < х2 < 1, Во(хз) = В, 0 < х, < !. (15) (!6) Из (7), (9) получим в„+!(хз) = О, х2 = О. (21) Поперечная скорость определяется из (20), (2!) по явным формулам. Особенностью разностной схемы (13)-(2!) является нестандартная сеточная задача для определения во+! нз уравнения (13) с неизвестным параметром в„+! и граничных условий (17) и нелокального условия (19).
Для решения соответствующей задачи используется специальный алгоритм прогонки (задача 1). Можно поступить следующим образом. Запишем линейное уравнение (13) в виде Лоан+! = Вн+! + р(вп~ Вн+!) и представим его решение с учетом однородных граничных условий в виде Вн+ ! = 72! + 22. Здесь х! и хз есть решения двух задач: Л.,г = ! Х..». =- !о!!!, В.
1 и„+,(х) = О, хз = 0,1, (17) Вн.!!(х) — О х2 — О 1 (18) Для неизвестного в„ч! в уравнении (!3) используем аппроксимацию условия постоянства потока (12) следую2цего вида (квадратурная форму- ла прямоугольников с учетом (17)): и-! в2л-!.!122 Ф (19) 2=! Из разностных уравнений (13), (14) и дополнительных условий (15) — (19) определяются продольные скорости и температура на новом временном слое (сеточные функции и„ь!, В„ь!). Для определения по- перечной скорости используем следующую аппроксимацию уравнения неразрывности (3): о2+!и+! в!в+! ! (в2+!,н+! %+!,» в!о+! взн~ Это разностное уравнение дополняется одним из граничных условий (8), например, 497 9.7. Приближение лоераначнаго слоя Принимая во внимание интегральное условие (19), для неизвестной постоянной 7 получим ьг — 2, азя2 ы! Е з,1»з (=! Таким образом, зздача свелась к решению двух трехточечных задач для з, а = 1, 2, которые отличаются только правой частью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
