Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Задача 2. Доя задачи тепяопроводности в однородной среде покажите устойчивость схемы переменных направлений на основе общей теории устойчивости разностных схем. Решение. Для однородной среды схема переменных направлений (см. (26)) имеет вид У»+! /2 У» О.бт + Л!Ум-!/2+ ЛЭУ» = !р», (31) 316 Глава 6.
Экономичные ревностные схемы У»+ ! У»+ Оа О,5т + Л1у»+~~з + Лзу»«1 з»~ (32) где Ле=~~~~~л е, «=! Л«у Уе„»,~ причем Л = Л'„а = 1, 2 и Л1Лз = Лзл~. Исключая у„«11з, получим (Е+-Л,)(Е+-Л,) У»м ""+Лу„= р„. Поэтому схема переменных направлений (31), (32) записывается в кано- нической форме двухслойной разностной схемы при В = (е+ -'л,) (е+ '-л,), А = л. 2 2 т т т т т  — -А = Е+ -Л+ — Л|Лз — -Л = Е+ — Л|Лз > О. 2 2 4 2 4 Поэтому схема переменных направлений (3!), (32) устойчива в Нл.
6.3. Факторизованные разностные схемы для уравнения теплопроводности 6.3,1. Фаиториаоваииые схемы Рассмотрим возможности построения класса экономичных разностных схем на основе представления сеточного оператора на верхнем временном слое в виде произведения экономичных (одномерных) операторов. Такие схемзя называются факнюризованными разностимми схемами. Для зздачи (1) — (4) из п.6.2 построим двухслойную разностную схему, которая имеет канонический вил (1) т где А = Л, Л = Л~ + Лз, Л„= Л; > О, о = 1, 2.
(2) Факторизованная схема соответствует выбору оператора В в виде (3) в=в в, 1 где В„а = 1, 2 — экономичные операторы. Осталось проверить выполнение условия устойчивости. Имеем с учетом перестановочности и положительности операторов Л, о = 1, 2 317 6.3. Факнраризоааиные разнаснриые схемы Уп~-1 Уп В1еп + Ауп = уп~ Вр = еп, л = О, 1, т Некоторые другие, отличные от (3), (4) возможности построения факторизованных схем обсуждаются ниже.
В некоторых случаях (см., например, задачу 2 в л. 6.2) схемы переменных направлений записываются в виде факторизованной схемы (1) — (4). 6.3.2. Устойчивость фаиториаоваиных схем Факторизованная схема имеет канонический вид двухслойной схемы (1) с операторами А и В, которые определяются согласно (2) и (3), (4). Прямое исследование устойчивости в тра на основе проверки необходимого и достаточного условия В> -А 2 (5) для схемы (1)-(4) проходит только для случая перестановочных опера- торов Л„, а = 1, 2 и Ь(х) = солар. Поэтому можно пытаться доказывать устойчивость схемы (1) — (4) в более сложных нормах. Ориентиром может служить доказательство устойчивости схемы переменных направлений, проведенное в п.
6.2. Будем рассматривать только устойчивость ло начальным данным, поэтому в (1) ~рп = О. Запишем уравнение (1) с учетом (3) в виде Вруны —— Вруп — тВ, 'Ауп (6) Добавим и вычтем из правой части (б) слагаемое равное (2о) 'Врун, что дает 2о — 1 1 Вруп+~ —— — Вруп+ — (Вр — 2отВ, 'А)уп (7) 2о " 2о Принимая во внимание (2), (4), получим Вр — 2отВ1 'А = В, '(В~Вр — 2отА) = = В1 ' ((Ь(х)Е+ отЛ1)Ь ~(х)(Ь(х)Е+ отЛр) — 2отА) = = В, '((Ь(а)Š— отЛ1)Ь '(е)(Ь(в)Š— отЛр)), (8) Выберем операторы Вп, а = 1, 2 в виде В~ —— Ь(е)Е+ отЛ„ Вр = Ь (е)(Ь(е)Е+ отКр), (4) При таком задании В каждый из операторов В„о = 1, 2, соответствует использованию обычной схемы с весами для одномерного оператора теплолроводности. Вычислительная реализация факторизованной схемы (1), (3) связана с решением задач: 318 Глава 6.
Экономичные разностные схемы Получим оценку устойчивости факторизованиой схемы (1)-(4) следую- шего вида: !!Езус!!о < !!Вгрн!!и, (9) где Р = Ь(х)Е. Для этого обозначим е„= Ь'~~(х)Взрн и умиожим (7) иа Р'~~ = Ьцз(х)Е слева. Получим 2а — 1 1 Еч+! = он+ Чин~ 2а " 2о где с учетом (8) для оператора Я имеет место представление: Я = Ь Р(х)(Ь(х)Е+ сгтЛ,) (Ь(х)Š— атй,) х х Ь (х)(Ь(х)Š— атйт) (Ь(х)Е+ атйг) Ь ~ (х).
В силу этого представим Я в следующем виде 12 = ЭФз, (11) где Я =Ь~ч (х)(Ь(х)Е+атЛ„) (Ь(х)Е+атй )Ь От(х), а=1,2. Для операторов Я, из (12) имеем более удобное представление: Я, = (Е+ атй„) '(Е+ атй„), Л = Ь ~ (х)Л,Ь ~'(х), а = 1,2. (12) (13) В силу (2) аиалогичиыми свойствами обладают и операторы Л,: Л = Л' > О, о = 1, 2. (14) Сформулируем следуюШее угверждеиие, известное как лемма Келлога. Лемма 1. Пусть оператор С > 0 е Н.
7Ьедо при любом В > 0 имеет место !!(Е- ВС)(Е+ВС) '!! < 1. (15) Пусть Я = (Š— ВС)(Е + )3С) ' и 6 = (Е+ 13С), тогда (15) эквивалентно операториому неравенству й = Š— Я'Я > О. Имеем 6",7б = (Е+ )3С)(Е + )3С) — (Š— ВС")(Š—,ОС) = 2)3(С' + С) и поэтому неравенство (15) имеет место для неотрицательных операторов С. В силу леммы из (13), (14) получим !!Ян!! < 1, а = 1, 2. В силу (! 1) ие превосходит единицы и норма оператора С, поэтому из (10) следует оценка !!о„ы!! < !!е„!!, которая имеет место при всех о > 0,5.
Тем самым приходим к доказываемой оценке (9) для разиостиого решения, Таким образом установлена безусловная устойчивость факторизоваииой схемы (1)-(4). З19 бЗ. Факторизооаиные разностные схемы 6.3.3. Принцип рогуляриаации для построения фанториаованиык схем Для построения устойчивых факторизованных схем используем принцип регуляризации (см. п.5.8). Наиболее широкие возможности этот подход предоставляет для построения безусловно устойчивых факторизованных схем для параболических задач, когда Ь(х) = сопз1 (для определенности Ь(х) = 1). При рассмотрении задач теплопроводности такая ситуация характерна при моделировании процессов в однородном теле. Неперестановочность соответствующих операторов порождена граничными условиями или же тем, что расчетная область П не является прямоугольником.
Поэтому класс задач с постоянной сеточной функцией Ь(х) важен и достаточно содержателен. В более общем случае используется простое преобразование уравнения Ио Ь(х) — + Лс = ф(х,1), х Е ы, 0 < 1 < Т к виду, когда множитель лри производной по времени равен единице с сохранением свойств самосопряженности и положительности оператора ло пространственным переменным. Для этого достаточно ввести новую сеточную функцию в(х,1) = Ь'Д(х)и(х,1), х Е ы.
Уравнение при этом принимает вид 81 — +Лм=ф(х,1), хЕы, 0<1<Т, (1б) где Л' = Ь-Ц'ЛЬ-'1', ф'(х, 1) = Ь-бч(х)ф(х, 1). В силу (2) оператор Л' обладает следующими свойствами: Л' = Л', +Л', Рассматривается дифференциально-разностная задача для уравнения (1б) с условиями м(х, 1) = 0, ' б Вы, 0 < 1 < Т, ( ) 1о(х,0) =во(х) х Е ы. (18) Для приближенного решения задачи (1б)-(! 8) будем исходить из регуляризованной разностной схемы (1), где (19) В = В+ай. Пусть схема (1), (19) устойчива, т, е. выполнено условие (5).
На основе этой схемы построим также устойчивую экономичную схему с факторизованным оператором В=В,В,. (20) 320 Бава 6. Экономичные разностные схемы Заметим, что мы ограничиваемся двумя слагаемыми для простоты, более общая ситуация с разложением оператора Я. на большее число операторов рассматривается полностью аналогично. Пусть Я представляет собой сумму экономичных операторов (21) Я=Я~+Яз С учетом (19), (21) построим факторизованный оператор (20) с (22) Вл = Е+ ггЯд Р = 1». Покажем, что если исходная схема (!), (19) устойчива„а операторы Ял, )5 = 1,2 являются самосопряженными, неотрицательными (КЛ вЂ” — Я,', > О, 15 = 1,2) и перестаноаочными (К~Яз = ЯтК1), то устойчивой является и факторизованная схема (2), (22).
Тем самым принцип регуляризации позволяет на основе устойчивой, но неэкономичной разностной схемы, строить экономичные устойчивые разностные схемы. Для доказательства достаточно проверить выполнение неравенства (5). В силу перестановочности операторов Яд,,О = 1, 2 имеем Я.1 Яз = КзЯ.1 > 0 и из (20)-(22) получим В = В~Вг = Е+гг(Я1+Яз)+ге'К~Ят > В. (23) Так как выполнено (5), то устойчивой является и факторизованная схема. Принимая во внимание жесткие требования на операторы Кд, ,6 = 1, 2, при их выборе удобно исходить из простейших сеточных опера- юров Я..
Воспользуемся тем, что оператор Л энергетически эквивалентен сеточному оператору Лапласа А, т. е. выполнена оценка к~ А < Л < кзА. В качестве регуляризатора (см. и.5.8) естественно взять оператор Я = — 1 2 Ь цеАЬ '1з. Поэтому для оператора Л' задачи (1б) — (!8) и.такого регуляризатора будет выполнено двухстороннее неравенство энергетической эквивалентности кЯ<Л <кзя- Исследование регуляризованной схемы (1), (19) показывает, что для устойчивости достаточно, например, подчинить выбор параметра регуляризации а условию т а > кз —. 2 (24) Далее ограничимся простейшим случаем, когда Ь(я) ш 1.
Для оператора А используем представление о А = А~ + Ан 6.3. Фанторизооанные разностные схемы 321 Операторы 2ср = Ар, 29 = 1,2 обладают необходимыми свойствами самосопряжеииости, иеотрицательиости и перестаиовочиости. Поэтому факторизоваииая схема (Е+ аЯ2)(Е+ агс2) + Аул лл 12„, и = 0,1,... т будет абсолютно устойчивой при выполнении иеравеиства (24).
Отметим вторую возможность разложения (21) для рассматриваемого случая. Принимая во внимание (23), условия устойчивости будут выпслиены лля самосопряжеииого неотрицательного оператора гс, если в (21) %2 =ж2. (25) Выбор (21), (25) соответствует разложению оператора Я. иа треугольные операторы (см. п.4.7). При использовании в качестве гс оператора Лапласа для гср, )5 = 1, 2 имеем 2 2 ~!У Х~~ ~ ~2У (26) д Ь' 12 р 1 р Реализация факгоризоваииой схемы (24), (25) соответствует использованию формул «бегущего» счета. Интересно отметить, что такая факторизоваииая схема может быть построена для обшей задачи с ь(х) ~ сопзг (см.
задачу 1). 6.3.4. Трехелойиые фаиториаоваииые схемы Покажем возможности использования принципа регуляризации при построении трехслойиых экономичных факторизоваииых схем для класса задач (16)-(18). Проведем сначала общее рассмотрение иа примере исходного семейства разиостных схем Уп«~ — Ул-2 2 Уп«2 — 2У»+у»-2 — 12..., (27) 2т +тк т2 + Ул Фл~ которые соответствуют заданию В = Е в канонической форме трехслойной схемы. Для того, чтобы пояснить идею построения факторизоваииых разнсстиых схем иа основе принципа регуляризации запишем исходную схему (27) в виде (28) (Е + 2тн) + = е (У»-2, Уп, »«и) ~ т где Е(уп-пуя,«2») = (2тй — Е) " — 2АУп+ 2у>» Построение факторизоваииой схемы на основе (28) проводится полностью аиалогичио случаю двухслойной разиостиой схемы. Пусть подобио (21) имеет место разложение 2« = 2С, 4- ГС» 129) Пгава 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
