Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(8) Двухслойная разностная схема называется явной схемой, если В = а(х)Е, е(х) ~ О. В противном случае (В ф е(х)Ж) мы имеем дело с нелепой схемой. Для трехслойной разностной схемы (6) имеем (В+ 2гВ)у»ег = Р(ф», у»~ у»-г)~ и поэтому она будет относиться к классу явных разностных схем при В + 2тЯ = е(х)В. При В + 2тй Ф е(х)Е имеем неявную трехслойную разностную схему. !(у Ьл < МгЬа!1гл+Мг гпах 1Мл!Ьл а<л< -г 6.2.3. Устойчивость двухслойных рааностных схем Понятие устойчивости разностных схем является важнейшим при приближенном решении нестационарных задач. Не давая общих определений, поясним суть проблемы на примере двухслойных разностных схем (4). Корректность разностной схемы (4) связана с выполнением условий существования, единственности и непрерывной зависимости разностного решения от входных данных. Проблема однозначной разрешимости разностной схемы (4) (см. (8)) решается на уровне предположения о сугцествовании В ~.
Входными данными для двухслойной разностной схемы (4) являются функции уе и уг„из некоторых сеточных пространств. Будем считать, что заданы две нормы: л (игл для решения н й . Огл для правой части. Дадим простейшее (в смысле используемых норм) определение устойчивости двухслойной разностной схемы (4). Двухслойная разностная схема называется успгойчивой, если существуют такие постоянные М > О, а = 1,2, не зависящие от 1г, т, и, такие что при любых входных данных ул, уг„, и = О, 1,..., 1»' выполнено неравенство 241 52. Раэноетные схемы длв нестационарных задач Отдельно можно рассмотреть устойчивость по начальным данным однородной разностной схемы (10) Разностная схема (10) устойчива но начальным данным, если имеет место неравенство ((у !)1л ~ М1!(уо(!1л- (! 1) Для неоднородной разносгной схемы с нулевыми начальными данными естественно ввести понятие устойчивости разностной схемы по правой части. Разностная схема В +Ауь=рю ээ=0,1,, уо=О (12) т усгнойчива по правой части„если выполнена оценка !!Уь!!1ь ( Мэ п1ах ФРь!(эл.
ось<ь-~ Введение понятий устойчивости разностной схемы по начальным данным и по правой части более точно отражает смысл двух слагаемых в общем условии устойчивости (9) и позволяет в ряде случаев ограничится исследованием устойчивости только по начальным данным. Устойчивость многослойных схем может исследоваться на основе сведения к эквивалентной двухслойной схеме.
Такие возможности будут обсуждаться нами ниже при рассмотрении трехслойных разностных схем. Это дает нам возможность ограничиться понятием устойчивости двухслойных разностных схем. 0.2.4. Связь устойчивости по правой части с устойчивостью по начальным данным Покажем, что при согласовании норм из устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части. Будем называть разностную схему равномерно уонойчивой по начальным данным, если существует постоянная р > 0 и постоянная Мп не зависящая от Ь, т, и, такие, что при всех У„б На лля однородного разностного уравнения (10) справедлива оценка !!Уьы!(~л ~~ Р!!Уь!!~л, (14) причем р" < М1 .
При р эь 1 будем говорить о равномерной р-устойчивости разностной схемы (10) по начальным данным. Сама величина р может зависеть от т (от т не должна зависеть постоянная М~). Можно выбрать р в виде р=1+сг, р=е (15) где с > 0 не зависит от л, т, и. При выборе (15) для постоянной М| получим (М1 > о") М~ —— е 242 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности Однородную разностную схему (10) можно записать в виде (!6) и = О, 1, ..., где (17) Я= — тВ А есть оператор перехода разностной схемы с одного временного слоя на другой.
Вообще говоря, оператор Я может зависеть от и. Требование равномерной устойчивости разностной схемы (10) по начальным данным в силу (1б) н произвольности у„Е Нь эквивалентно ограниченности нормы оператора перехода Я постоянной р: (18) !!й < Р. Получение оценок устойчивости типа (9) для двухслойной разностной схемы (4) базируется на следующей разностной лемме Гронуолла (ср. п. 5.!). Лемма 1. Пусть Е„и Уь — неотрицательные функции, определенные на сетке ш, и р ) О. Тогда из неравенства (19) Е„+~ < РЕ„+ у=„, и = О, 1, следует оценка (20) Еьм < Р" Еь+,~ Р" ~к ь=о Доказательство (20) проводится по индукции. При и = 0 неравенство (20) очевидно выполнено (совпадает с (19)).
Пусть (20) выполнено и при некотором и = т — !. Из (19), (20) имеем ш-! с„„~~с„-~г ~ (Г ь-:-з;~ -'-'г,).~..= ь=о ы = Р ее+ ~~' Р Уь. Тем самым неравенство (20) выполнено и при и = пз. Связь между устойчивостью по начальным данным и по правой части устанавливается следующим утверждением. Теорема 1. Пусть разностнал схема (4) равномерно устоичива по начальным данным в норме !! . !!ио Тогда разшхтнал схема (4) устойчива и по правой части, и длн ее решения справедлива оценка (9) при фРь!!зь = !!Вь чзь!!а и Мз — — МьТ.
243 5.2. Разноолные схемы длн неснгацнонарных задач Принимая во внимание возможную зависимость операторов разиостиой схемы от временного слоя, перепишем уравнение (4) в виде у«,.~ — — Ялыу«+ тВ„'рл. Отсюда непосредственно вытекает !!у«+,!!,л ( !!о»ы!! !!у«!!и+т!!В«!р»!!~л. Условие равномерной устойчивости схемы (4) по иачальиым данным (см. (18)) позволяет перейти к неравенству !!ул„~!!1« < р!!ул!!и+ т!!В«р«!!,л. (21) На основании (20) из (2 !) получим оценку ч !!у ~!!и < р" ~!!уо!!и + ~~' тр «!!В» ~гр«!!~л. «=о (22) В силу предположений о равномерной устойчивости по начальным даииым р"+' < М~ и р" < Мы и поэтому из (22) получим и ь.
11»и (гы +~ 11»г»» ). «=о (23) Принимая во внимание ~~ 'т!!В„'р«йл (1„«~ шах !!В,'рлй!,л < Т шах !!В«1гл!Ьл, о<«<« ОК«ян Одиако в таком случае иет возможности получить из устойчивости по иа- чальиым данным устойчивость и по правой части. Переход к оценкам квадратов норм может производится на осиове трансформации (задача 1) разиостиой леммы Гропуолла. 5.2.5. Запись трехслойиой схемы в виде двухслойиой Пусть Н = Нл и введем пространство Н = Н Ю Н как прямую сумму двух пространств Н.
Для векторов У=(упуг) из Х (уп уг б Н) сложение и умножение иа число вводятся Покоордииатио. Пусть У = (уп уг) и У = (опог), а а и Ь вЂ” числа, тогда аУ+ ЬУ = (ау~ + Ьоп ауг + Ьог). Скалярное произведение в Нг определяется выражением 1У Ю = !н о )ы(н.,о ). приходим к оценке (9) устойчивости и по начальным данным, и по правой части для схемы (4) при !!ы»!!гл — — Я!В«'чг«|!,л и Мг = М,Т. Теорема доказана, Определение устойчивости может ориентироваться иа соответствую- щие оценки для квадрата нормы разиостиого решения (см. оценки (21), (27) в п.
5. ! для диффереициальиой задачи). Вместо (9) можно требовать выполнения неравенства !!у»!!~а < М1 !!уо!!~~л + Мг игах !)рл!!гл о<«< -~ Бгввв 5. Неегпацпопарпые задачи пгеплопроводпоспги х Представим трехслойную разиостиую схему, записанную в канонической форме (6), в виде двухслойной разиостиой схемы »»»+! у» В +Ау'" = Ф", и = 1,2,... т (24) Для этого введем вектор » У У» (25) Выбор вектора У" может проводиться и по-другому (вариаит, отличный от (25), рассматривается, например, в задаче 2). Непосредственные выкладки дают для операторов разиостиой схемы (24) следующие представления: А 0 1 О» — -А~' 4 т / ! В+ — А т( — -А) 2 ~, 4 ) -т Л вЂ” -А — Л вЂ” -А (26) (27) а для правой части (24) имеем Ф"=( „,0).
(28) Запись трехслойной разиостиой схемы (6) в виде двухслойной схемы (24)-(28) позволяет определить соответствующим образом устойчивость трехслойной схемы по начальным данным и по правой части. 5.2.6. Сходнмоеть рваностных схем для неетацнонврных задач В ~ + Аа» = Ф», и = 0,1,.", ео = уо — иь(0) (29) Для погрешности аппроксимации ф„имеем следующее выражение В (иь(1»+1) — иь(1»)) »Р» = — " — Аиь(1») + ь»» г Понятия аппроксимации, сходимости и точности разиостиых схем для иестациоиариых задач вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для стационарных задач (см, п.4.2).
Пусть и(я, 1) — точное решение некоторой дифференциальной задачи. Ьудем считать, для примера, что приближенное решение ищется иа основе разиостиой схемы (4). Для погрешности разиостиого решения а» = у» — иь(1») получим разиостиую задачу 245 5.2. Розностные схемы для нестационарных задач 6.2.7. Задачи Задача 1. 1гокахсите, что из выполнения оценки Е„вг < е Ев + 7'т н = О, 1,..., на сеансе иг„для неотрицательных Е„и х» следует неравенство (33) в Ег < гг»ьйцыЕг С г гг»ьюг„г (34) с произвольным е > О. Регаенне. Из (33) следует, что для любого е > 0 Е„, < (1+ее)е ыЕг+(1+ее) — х» ( рЕ„+е" — уг», ет ет где р = егг'~О'.
Используя разностное неравенство Гронуолла, отсюда и получаем оценку (34). Задача 2. Запишите трехслойную схему (6) в виде двухслоиной схемы у »Н ог,» фв (35) выбирая вектор У" = (у„н у„). Решение. Будем исходить из записи трехслойной схемы в виде Вгу»+~ + В~ ув + Воу»-г = угв, и = 1, 2, " .. (36) Тогда для элементов матрицы Е = (Я,р) получим С,, = О. В„= Л'. Я ~ — — — Вг 'Во, Ягг = — Вг Вн (37) Разностная схема (4) имеет аппроксимацию О(!И! + т'), пг > О, 1 > 0 на решениях и(х, 1), если игах !!»рь!!гь ( Мг(!И! + т ). о(ь(н Пусть с той же точностью аппроксимируется и начальное условие, т.
е. выполнена оценка !!Уо — иь(0)!!гь ( М4(!И! + т ). (31) Если разностная схема (4) устойчива, т. е. выполнена оценка (9), то для погрешности имеем !!яв!!~ь < М~!!Уо — аь(0)!!~о+Мг игах !!грь!!гь, (32) о<о<»-1 Из устойчивости (оценка (32)) и аппроксимации (оценки (30) и (31)) следует, что разностная схема (4) имеет точность О(!И! + т), т.е. из устойчивости и аппроксимации следует сходимость разностной схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
