Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Значительно сложнее обстоит дело с рассмотрением точности нелинейных разностных схем. В частности, вывод о том, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость разностной схемы (см. п.4.2) относится только к линейным разностным схемам. В настоящее время нет общей теории нелинейных разностных схем, поэтому зачастую приходится исследовать конкретную нелинейную разностную схему каждый раз самостоятельно. Кроме того„это исследование базируется на более технически сложном математическом аппарате (более громоздком).
Поэтому мы ограничимся здесь простейшим случаем задачи (1), (2), когда коэффициент теплопроводности линейный, а нелинейность только в правой части. Основной математический аппарат нашего рассмотрения ограничивается принципом максимума разностных схем, который сформулирован нами в и. 4.3. 220 13!ава 4. Стационарные задачи теплонроводногти Для разностной задачи (10)-(12), (17) однозначная разрешимость имеет место при выполнении условия (8). Доказательство этого факта не совсем просто, и поэтому мы его опускаем. Остановимся на единственности решения разностной задачи (!0)-(12), (17). Как и для дифференциальной задачи (!)-(3) будем считать, что имеется два решения разностной задачи (10)-(12), (17), которые обозначим уз, Р = 1, 2.
Для разности о(х) = уз(х) — у1(х) получим задачу Ле = — (х, у)о, х б ю, дГ (18) ди и(х) = О, хбдю, (!9) где ! — (а1 у) = / — (х, уе) СЫ1, ус(х) = !уз(х) — (1 — 1)у,(х). (20) дГ ГдГ ди,/ ду о На основе принципа максимума (см. п.4.3) для сеточной задачи (И), (19) при выполнении (8) получим о(х) = О, х Е й, т. е. решение нелинейной разностной задачи (10) — (12)„(!7) единственно при выполнении (8).
Сформулируем теперь задачу для погрешности. Для х(х) =у(х) — и(х), х Е Р имеем Лз — — (х,у)е=-ф, хбы, д,Г (21) ди х(х)=0, ходю, (22) где у определяется аналогично (20), а погрешность аппроксимации зр(х) = Ла — У(х,а). Для достаточно гладких коэффициентов и ре- шения дифференциальной задачи (см. п.4.2) получим 1Ь(х) = 0(!Ь(з), (Ь/з = Ь', + Ь~~. Для решения линейной разностной задачи (2!), (22) при выполнении условия (8) справедлива оценка в равномерной норме: Цх(х)Цс1 ! < МЦзе(х)(!с! р (23) где М = Цзо(х)Цс! 1, а зо(х) определяется из условий Лзо >1, х Еы, зо(х) >О, х бди.
Тем самым для нелинейной разностной схемы (10)-(12), (17) при выпол- нении (8) устанавливается сходимость со вторым порядком. Заметим, что на основании принципа максимума легко устанавли- вается ограниченность решения разностной задачи. Имеем Г(х, у) = У(х, 0) + Г(х, у) — Г(х, 0) = Г(х, 0) + †(х, у)у, (24) дГ где теперь — (х,у) = / — (х,еу) й.
дГ ГОГ да ди 221 4.9. Нелонеоные задано стационарной тенлолроводносто Разностное уравнение (10), (12) запишем с учетом (24) в виде Лу — — (х,у)у = -7(Х,О), х Е ы. ду (25) дв Для решения задачи (11), (25) при выполнении (8) оценка (23) дает ЫхН!с1о> Е М!~У(х, О)1!с1„>, где постоянная М определена выше.
Л(уд)удь1 = Г(х, уд), х Е ы, удь1(х) = 9(х), х Е ды, (26) (27) где 2 Л(уд)удь1 = — ~~~ (а„(х, уд)(удь1)-,.), . а=! Для решения нелинейных уравнений большое распространение получили методы, родственные классическому методу Ньютона (методы квазилонеаризации) . Линеаризацня нелинейной правой части 7 (х, Удь,) т 7(х, Уд) + †(х, Уд)(рд+~ — Уд) приводит к итерационному процессу, который основан на решении разностного уравнения д! ~Ч Л(уд)удь~ — — (х, уд)удь1 = ~(х, уд) — — (х, уд)уд, х Е ы (28) с граничными условиями (27).
Более последовательным представляется использование квазилинеаризации для всего разностного уравнения (10) — (13), что соответствует применению метода Ньютона. В этом случае новое приближение определяется из разностного уравнения Л (уд)удь1 = е (х, уд), х Е ы (29) 4.9.4. Итерационное решение нелинейной сеточной задачи Решение нелинейных разностных уравнений возможно на основе использования итерационных методов.
Не касаясь сколько-нибудь подробно вопросов общей теории методов итерационного решения нелинейных разностных задач, отметим некоторые возможности в этом направлении. Сначала опишем итерационные методы для нелинейной сеточной задачи (10)-(13), а исследование сходимости проиллюстрируем снова на простейшей задаче (10)-(12), (17). Будем рассматривать нелинейную разностную задачу (10)-(13). Простейший итерационный процесс связан с вычислением коэффициентов сеточного оператора Л по предыдущей итерации. Если так вычисляется и правая часть, то новое приближение уд+~(х) находится из решения линейной задачи: 222 Пгава 4.
Стационарные задави теплопроводности и граничных условий (27). Сеточный оператор Л'(уь) в (29) имеет вид /да, Л'(уь)о = Л(уь)о — К~' ( †' (х, уь)(уь)и о . (30) Для правой части теперь имеем ду /ди, е'(х, уь) = 7'(х, уь) — — (х, уь)уь — ~~~ ~ — (х, уь)(уь)е.ух~ . (31) ди, х ду Решение нелинейной разностной задачи ( 1О) — (13) методом Ньютона (27), (29) — (31) связано с обращением на каждой итерации сеточного эллиптического оператора Л'(уь).
Зтот оператор в отличие от оператора Л(уь) не является самосопряженным, что существенно усложняет проблему. Итерационный метод (27), (28) с частичной линеаризацией (только по правой части, а не по коэффициенту теплопроводности) в этом смысле является более предпочтительным. Необходимо, однако„отметить, что метод Ньютона обладает более высокой (квадратичной) скоростью сходимости. При решении нелинейных систем уравнений получили распространение различные обобщения классических итерационных методов решения линейных систем уравнений.
В качестве примера можно отметить методы нелинейной релаксации. Простейшую нелинейную разностную схему (10)-(12), (17) запишем в виде (Е+Ю+,С')у — 7(х,у) = О, где использованы обозначения п.4.7. Итерационный метод релаксации при итерационном параметре ы = 1 соответствует определению нового приближения из решения задачи: (Ю+Р)ух~~ +С'уь — 7(х, уе) = О.
(32) Реализация итерационного процесса (32) связана с решением одномерного нелинейного уравнения в каждом внутреннем узле сетки. Возможности оптимизации итерационных методов решения нелинейных разностных задач значительно уже, чем для линейных сеточных уравнений. В частности, зто относится к выбору итерационных параметров.
При использовании итерационных процессов типа (27), (28) и (27), (29) на каждой итерации решается сеточная эллиптическая задача. Такая линейная задача может, в свою очередь, решаться на основе использования итерационных методов. Тем самым мы приходим к двухступенчатым итерационным методам, которые характеризуются внешними и внутренними итерациями. Оптимизация двухступенчатых итерационных методов может достигаться за счет ограничения числа внутренних итераций (решениелинейной задачи не обязательно проводить до полной сходимости, до точности решения всей задачи), 223 4.9. Нелинейные задачи стационарной меплопроводности 4.9.6. Сходимоеть итерационных методов На примере простейшей нелинейной разностной задачи (10)-(12), (17) обсудим вопросы исследования сходимости итерационных процессов типа (26), (27) и (27), (29).
Рассмотрим вначале следующий метод простой итерации Л +Лун — /(х,уь) =О, х 6 ы. т Итерационный процесс (33) соответствует использованию (26) при т = 1 (последовательные приближения по нелинейности, метод Пикара) лля приближенного решения задачи (10) — (12), (17). Задача для погрешности еь = уь — у итерационного процесса (27), (33) имеет вид: (33) еьы — еа д/ Л + Лен — — (х, уь)еь = О, х б ы, (34) т ду где — (х, уь)еь = У(х, уь) — У(х, у).
д/ ду На множестве сеточных функций у(х), обращающихся в нуль на ды, определим обычным образом сеточные операторы Ве = Ле, Аье = Ле — — (х, уь)е, х 6 ы. д/ ду (35) Итерационный процесс (34) переписывается в виде еем — еь В + +Анен=О, т (Зб) й = О, 1, Скорость сходимости итерационного процесса (36) (см. п.4.6) определя- ется постоянными у„а = 1, 2 неравенства (37) 7~В ( А ~(7зВ, Ъ > 0 Из (35) при — М < д//ду ( 0 непосредственно следует 71 = 1, 7з = 1+ б 'М. Здесь б > Π— постоянная в оценке В > бЕ.
Для оптимального значения итерационного параметра т в (36) имеем 2 2 т= — = 7~ + 'уз 2 + б 1М Для погрешности справедлива оценка !!ее+~1! 6 Ро!!еь11, где ра = (! — 6)/(1+ ~), б = Ъ/7з. Тем самым исследование скорости сходимости простейшего итерационного метода (27), (33) во многих основных моментах повторяет исследование сходимости метода простой итерации (п. 4.6) дяя линейных задач.
Глава 4. Стационарные задачи тенаолроаодности 224 дз Лес+~ — — (х, ес)ес, —— Р'(х, У, Ус), ос+~(х) = О, х бы, (39) х б ды, (40) Правая часть уравнения (39) представляется следуюшим образом: ду Р(х, У, Ус) = 1(х, Ус) — )'(х, У) — — (х, Ус)(рс — У). дУ В силу разложения ду 1 дзу У(У) = з(Ус)+ д (х~У )(У вЂ” Ус)+ 9 з(х УСНУ вЂ” Ус) имеем 1 д~,г р'(х, у, ус) = — — —,(х, ус)отсы 2 дУ2 и уравнение (39) принимает вид 1 дзз — з Лес+, — — (х, ес)есч~ — — — — — (х, ус)ес, х Е ы.
(41) дв ' 2 дуг На основе исследования линейной задачи (40), (41) можно сделать заключения о скорости сходимостн метода Ньютона. Для погрешности на основе принципа максимума (см. (23)) имеем оценку Ьсс1 бс1ч1 ( ММ~ Ыс1ч1 (42) при условии, что — ( Мь Пусть д = ММ,, тогда из (42) получаем 1 зм~ Ьсч-1!!с< > ( -Йео!1с1ч>. Ч Отсюда следует, что метод Ньютона сходится при условии, что начальное приближение достаточно близко к решению. А именно, прн условии 911Ус — уйсна ( 1, итерации сходятся по квадратичному закону.
Рассмотрим теперь метод Ньютона для приближенного решения разностной задачи (! О)-(12), (17). В соответствии с (28) новое приближение определяется из разносгного уравнения дУ Ю Лус+1 — — (х> ус)усы —— 7(х, Ус) — — (х, ус)ус, х Е ы, (38) ди дв дополненного граничными условиями (27). Для погрешности получим задачу 225 4.9. Нелинейные задачи стационарной теплопроводности При рассмотрении итерационных процессов (атом числе и для нелинейных задач) значительное внимание уделяется монотонности приближенного решения. Например, монотонный итерационный процесс может давать приближение снизу, т.е.
уч < у~ < ... (~ уь < уь~-~ < < у. Пример монотонного процесса для нелинейной задачи (!0) — (12), (17) рассмотрен в задаче 2. Метод Ньютона при условии, что функция У(х, у) выпуклая илн вогнутая по второму аргументу, дает приближение сверху или снизу для точною решения задачи. Пусть, например, 7(х, у)— вогнутая функция, т. е. д~г — (х,у) > О.
д з ) Тогда из (41) (принцип максимума) следует оьг~ — — укы — у < О, т.е. метод Ньютона дает приближение снизу (уье, < у). 4.9.6. Задачи Задача 1. Покажите, что задача Дирихле для эллиптического уравнения д г' дв ж — = — г — 1чч —;.ь (ч )-.'- ы =к*ь *ей чэ , дх~ 'х дх, имеет единственное решение при с(х) > 0 и )Ь (хИ < М.
Решение. Необходимо показать, что однородная звдача Бы=О, хбй, (44) в(х) = О, х б дй (45) имеет лишь тривиальное решение. Для этого покажем, что и(х) < О, х Е й при у(х) < О, х Е й и в(х) < О, х Е дй (принцип максимума). Аналогично доказывается, что в(х) > О, х б й при ~(х) > О, х б й н в(х) > О, х Е дй. В этих условиях задача (44), (45) имеет лишь тривиальное решение. Доказательство проведем от противного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
