Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 39
Текст из файла (страница 39)
На основе этого могут быть получены оценки точности разностных схем типа (12) в равномерной норме. Более сложным представляется вопрос исследования свойств разностного оператора в гильбертовом сеточном пространстве Н. Для задачи Дирихле естественно (см. п. 4.4) определить Н как множество сеточных функций, обращающихся в нуль на дш, со скалярным произведением (у, га) = ~ ~у(х)ш(,х)Ь~Ьм (13) хеч где ш, как обычно, множество внутренних узлов. Нетрудно убедиться, что во введенном пространстве Н оператор А, соответствующий аппроксимации типа (12) не является самосопряженным.
Потеря такого важного свойства при переходе от дифференциальной задачи к разностной существенно усложняет исследование сходи- мости разностной схемы, затрудняет построение эффективных методов решения сеточной задачи. В своем рассмотрении итерационных методов (см. п, 4.6, п. 4.7) мы вообще ограничились рассмотрением задач с самосопряженными сеточными операторами А. Разрешить эту проблему можно двумя различными путями.
Определим новое пространство Н, в котором скалярное произведение вводится более сложным образом. В нашем случае шаг сетки зависит от узла (для нас уже несущественно, что сетка квазиравномерна). Определим средние шаги Ь~(х) и Ьз(х) по отдельным направлениям для каждого узла. Например, для (12) 204 Глава 4. Стационарные задачи тенлолроводности Второе интересное направление связано с сохранением гильбертового пространства со скалярным произведением (13) и небольшой модификацией самого сеточного оператора. Вместо разностного уравнения (12) будем использовать 1 /уг — уо уо — у~ '1 / уз* = з(зо). Ь,~, Ь, тт (!5) Как показывает анализ, такая модификация не ухудшает свойств монотонности разностной схемы, точность ее сохраняется, а условие самосопряженности выполнено в простом гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением (13).
Тем самым, представляется возможность выбора между (12), (14) и (13), (15). Здесь мы отметили некоторые возможности решения задач стационарной теплопроводности при использовании нерегулярных ортогональных (прямоугольных) сеток. Естественно, что еше более широкие возможности предоставляет выбор неортогональных сеток, Например, можно ориентироваться на применение неортогональных четырехугольных сеток. Такая технология имеет свои особенности как в части построения разностных схем на таких сетках, так и в части их исследования, Зта тематика лежит в стороне от основной проблематики книги и поэтому здесь не рассматривается. 4.8.8, Метод фиктивных областей Большой технологичностью при приближенном решении краевых задач в нерегулярных областях обладает метод фиктивных областей, Он основан на дополнении исходной расчетной области до некоторой регулярной области По (П С Па), например, до прямоугольника в двумерных задачах (рис.4.8).
После этого задача в Пв решается обычными разностными методами. Необходимо так продолжить решение исходной задачи о г в фиктивную область й, = й '1 По, чтобы разностное решение задачи в расширенной области Пв давало приближенное решение в исходной области П. Задача в расширенной области характеризуется наличием малых (боль- 0 х, ших) коэффициентов дифференциального уравнения.
Зто обуславливает необходимость специального исследования вопросов точности и вычислительной реализации итерационных методов решения соответствующих задач. Некоторые возможности метода фиктивных областей проиллюстрируем на примере задачи (10), (11) при однородных граничных условиях. Ограничимся, для простоты, рассмотрением вопросов сходимости приближенного решения к точному на дифференциальном уровне. 4.8. Численное решение задач в нерегулярных абяасгнях 205 Приближенное решение (10), (11) при д(х) = 0 обозначим и,(х), где е — параметр продолжения. Будем определять его как решение следующей краевой задачи Дирихле: д / да,'! — — ~й,(х) — ) +с,(х)и, = Ях), х б Йе, (16) , дх, ~, ' дх,) а,(х) = О, х 6 дйе.
(!7) Среди основных вариантов метода фиктивных областей выделим вариант с продолжением по старшим коэффициентам. Для задачи (10), (!!) при д(х) = О определим коэффициенты задачи в расширенной области следующим образом: !ег(х)~ сг(х)~ ~г(х) = з ( 1, О, 7(х), х 6 Й, (18) е ~,0,0, хай~ при достаточно малом е. Вариант метода фиктивных областей (16)-(18) соответствует рассмотрению задачи стационарной теплопроводности в составном теле Йе — — Й~ 0 Й в условиях, когда коэффициент теплопроводности в части расчетной области (в Й~) большой. Естественно рассчитывать, что в этих условиях температура в Й~ будет выравниваться, а условия на границе (17) дадут а,(х) — 0 при е — О, Соответствующая оценка близости приближенного и точного решений имеет вид !!и,(х) — и(х)(~ш !и! < Ме~. Вторым хорошо известным вариантом метода фиктивных областей лля приближенного решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений является вариант с продолжением по младшим коэффициентам. В этом случае коэффициенты при вторых производных продолжаются в фиктивную область непрерывно.
Для приближенного решения задачи (10), (11) с однородными граничными условиями используется краевая задача (16), (17) с 1ч(х), еч(х)1 ~г(х) = ! 1,0,У(х), хай, (19) ! 1,е,О, хай, Соответствующая оценка точности для варианта (16), (! 7), (19) имеет вид !!аг(х) и(х)!!и !и! яч Ме. (20) Вариант метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэф- фициентам позволяет рассмотреть задачи типа (10), (11) с неоднородными условиями дирихле. Для этого продолжим функцию д(х) в фиктивную область Й1 и зададим правую часть уравнения (!6) равной Ях) = е д(х) при х Е Йн Приближенное задание граничных условий на дЙ, лежащей внутри расширенной области Йю наиболее естественно реализуется в варианте 206 Глава 4. Стационарные задачи тенлонронодногти ,Г(х) в фиктивную область Й! и вместо (10), (11) рассмотрим задачу дяя уравнения 2 2 д ид -2 — 2 + е бвп(х)(вд — д(х)) = .7(х)д х Е Йо (21) дх2 а=! с граничными условиями (17).
Получим оценку точности варианта метода фиктивных областей с использованием поверхностной б — функции. Теорема 1. Для нриближенного решения нд(х), онределяел(ого из (21), (17), и точного решения в(х) задачи (!0), (11) верна оценка (20). Доопределим решение задачи (10), (11) в фиктивной области Й, как решение задачи (25) (29) д2и — —, =,Г(х), х Е Й(, дх,' а=! и(х) = а(х), х Е дй, (23) в(х) = О, х Е дйа (24) Домножая уравнения (10), (22) на погрешность ндд(х) = и,(х) — и(х) н интегрируя их по Й и Й! соответственно, получим — — /[,'— '1..д.= ~!..д., где Я означает скачок при переходе границы дй. Аналогично лля задачи (21), (17) имеем 2 дид ддддд ~~7 — и,.—, д1(,-д(*((~д*= /д,д*.
(дд( дх, дх, е2,/ ='и, вп пд Вычитая (25) из (26) и принимая во внимание граничные условия (11), (23), придем к соотношению — д*д — г,д*=2 [ — 1 дд*. (2д! О=(п ч вп вп Для правой части (27) неравенство Коши — Буняковском! дает — (вд (1х » (— '(Гшд[(ьд(вп1. (28) Отбрасывая первое слагаемое в (27), из (27), (28) получаем ((е(д((с!<во! » ~Се 207 4,8. Численное решение задан в нерегулярных областях При выполнении (29) на основе неравенства Фридрихса (см.
п.4.1, однородные граничные условия первого рода (17), (24)) из (28) следует оценка ~!к,(х) — в(х)лнДп,1 < Ме. Эта оценка тем более выполнена для части области й С йе, т.е. справедливо искомое неравенство (20). В настоящее время известны варианты метода фиктивных областей и для более сложных, чем (10), (11), задач. Например, вместо условиИ первого рода могут задаваться граничные условия второго, третьего рода. Краевые задачи метода фиктивных областей типа (16), (17) характеризуются большим перепадом коэффициентов эллиптического оператора.
В варианте с продолжением по старшим коэффициентам (см., например, (18)) малый (большой) параметр присутствует при старших производных и поэтому мы сталкиваемся с сингулярно возмущенной задачей. Вариант с продолжением по младшим коэффициентам (см. (19)) не связан со столь существенной трансформацией задачи.
Поэтому при прикладном математическом моделировании лучше ориентироваться именно на такие варианты метода фиктивных областей. Для построения разностных схем метода фиктивных областей естественно использовать интегро-интерполяционный метод, который как раз и ориентирован на задачи с разрывными коэффициентами. Сеточные задачи решаются на основе использования различных итерационных методов. И по скорости сходимости итерационных процессов варианты метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам предпочтительнее вариантов с продолжением по старшим коэффициентам.
4.8.4. Методы декомпозиции беа наложения подобластей Альтернативным методу фиктивных областей подходом к приближенному решению краевых задач в нерегулярных расчетных областях является метод декомпозиции (разделения) расчетной области на простые подобласти. Такой подход активно обсуждается применительно к разработке методов решения краевых задач на параллельных ЭВМ. В каждой отдельной подобласти решаются свои краевые задачи, связь осуществляется посредством граничных условий.
В подобластях может вводиться своя сетка, согласованная или несогласованная с сетками в других подобластях. Поэтому разностные схемы декомпозиции области на сеточном уровне могут интерпретироваться как разностные методы на составных сетках. Среди методов декомпозиции расчетной области можно вылепить два важнейших класса.
Первый из них связан с использованием разделения на подобласти без налегания. Второй класс методов представлен методами декомпозиции с налеганием отдельных подобластей. Для пояснения существа методов декомпозиции будем рассматривать в качестве модельной задачу в Ь-образной (рис.4.9) области. Эту нерегулярную область й удобно разбить на две регулярные подобласти (прямоугольники) й~ и йг без налегания. Два очевидных варианта 20З !!кала 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
