Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поэтому представляется целесообразным рассмотрение итерационного метода с диагональным оператором В, построенным непосредственно по оператору А (без регуляризатора). Рассмотрим итерационный метод (7) для задачи (4) при задании В в виде (12), где с учетом (1) — (3) 1 1 Ь(х) = — (аг(х1+ Угп хг) + а~(х)) + — (аг(хн хг + Угг) + аг(х)), (19) ! ~г Для оценки скорости сходимости итерационного метода (7), (12), (19) необходимо найти постоянные 7„, а = 1, 2 в неравенстве (8).
Покажем вначале, что в нашем случае имеет место равенство (17) (20) 7г +7г = 2. (21) На множестве сеточных функций Н, заданных на ьу и равных нулю на ды„рассмотрим новую сеточную функцию об = е(хн,хгу) = ( — 1)'+Ум(хи, хгу), для которой в силу (12) (Во,о) = (Вв,и). 180 Глава 4. Стационарныг задачи тгплопроводности Принимая во внимание (1) — (4) лля Ав, в отдельном узле сетки х=(хн>хт') имеем: 1 Лю = — — (а!(хи + Л!, хзу)(о!ь! ! — оу) — о!(х)(оьз — е! !А))— ! 1 з (аз(хн~ х21 + Л2)(о!Аь! гиу) !г2(х)(еьу е!р-!))— ~2 = ( — 1)!+зЛа+ 2( — 1)!+3Ь(х!!, хт,)иц = ( — !)ььу(2 — Л)и.
На основании этого (Ао, е) = 2(Ви, а) — (Аа, и). (22) Постоянные у, и уг в неравенстве (8) определяются отношениями (Аа, а) (Ав, о) у! — — ш!и ', тг = шах ьле (Ви, а) ',цю (Во, о) Принимая во внимание (21) и (22), получим (Ае, о), (Аи, и) 'уз=шах ' =2 — пцп ' =2 — у!. ь|е (Ве, о) ыьь (Ви~ и) Таким образом, приходим к соотношению (20). Из (20) следует, что в методе простой итерации при выборе В согласно (12), (19) оптимальное значение итерационного параметра то = 2/(т! + ут) = 1.
Оценка у! базируется на использовании следующего обобщения сеточного аналога неравенства Фридрихса (лемма 3 в п. 4.4). Рассмотрим одномерную сеточную функцию у(х) на равномерной сетке й. Имеет место следующее утверждение (задача 1). Лемма 1. Пусть р(х) > 0 и о(х) > и > 0 длл х Е ы, у(0) = О, у(1) = О, Тогда справедливо неравенство (ау~,1),+ > М(ру,у)„ (23) где М ' = шах о(х), а о(х) — решение задачи лен (аог), = -р(х), х б иг, а(0) = О, о(1) = О. (24) Воспользуемся теперь оценкой (23) для того, чтобы получить левое неравенство (8) при (12), (19). На основании (23) имеем (аьу,'-., 1),+ > М,(ру, у),„, а = 1, 2.
(25) Сеточные функции М, '(хг), Мт '(х!), где М ' = шахе (х,), а = 1, 2, лен, в соответствии с (24) определяются из решения трехточечных задач: (оовгс„)ь„= Ь(х), х Е ь!, а (х) = О, хь = 0 1ь (26) 187 4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений На основании (25) имеем ,, г (.~у,ф ~ (г ' ы, ч( (р, д). «=( Сопоставляя с (8), (12), в качестве у( можем взять г у, = ппп ~( М, ' = ппп М, '(хг) + ппп Мг '(х,). (27) ачы агяыг а(е«1 Исследование влияния коэффициента теплопроводности (отношения 7~ = кг)к() сводится с учетом (20) к изучению величины у(, которая определяется согласно (26), (27).
Определенные выводы можно сделать на основе асимптотического, (1(~ — ( О, анализа. Вместо краевых задач (26) с учетом (19) будем рассматривать следующие краевые задачи: — й(х) — = 2й(х)(1г~ + Ьг ), д деа -г -г дха дха (28) х 6 й, и (х) = О, х 6 дй. Анализ краевых задач (27) показывает, например, что для сред с кусочно постоянным коэффициентом теплопроводности (составные конструкции) имеются случаи, когда 7( существенно зависит от перепада коэффициентов т = кг(н( (у, т (). Тем самым в отдельных случаях как и при использовании регуляризатора, так и без него не удается избежать зависимости числа итераций от гг = яг/я(.
При построении оператора В по диагональной части А эта зависимость может быть только слабее. Надо сказать, что приведенные соображения в той или иной мере относятся и к другим способам выбора оператора В, которые обсуждаются ниже, в частности, к методу переменных направлений, треугольным итерационным методам. На задачах в составных телах с большим перепадом коэффициентов преимущества итерационных методов вариационного типа проявляются еше более зримо.
В чебышевском итерационном методе выбор итерационных параметров регламентируется только постоянными энергетической эквивалентности операторов А и В 7( и Тг. Выбор итерационных параметров в методах вариационного типа адаптирован к поведению погрешности приближенного решения и определяется не только границами спектра (7( и уг) соответствующей обобщенной спектральной задачи, но и распределением собственных значений. Поэтому при использовании итерационных методов вариационного типа для приближенного решения задач теплопроводности в составных телах зависимость числа теоапий от т = н.!и, слабая. 188 П~ава 4.
Стационарные задачи теплопроаодности 4.7.4. Треугольные итерационные методы В качестве оператора В можно взять не диагональный оператор (см, (12)), а оператор В, который соответствует нижней (верхней) треугольной матрице или произведение операторов такой структуры.
Итерационные методы такого класса наиболее популярны в прикладных расчетах. Вначале остановимся на случае выбора В, который соответствует одной треугольной матрице (несимметричный случай). После этого будут рассмотрены итерационные методы с факторизованными треугольными операторами. Рассмотрим задачу (4) в условиях, когда самосопряженный и положительный оператор А представляется в виде: А = А~ + Аз, А1 = Аз. (29) Пусть оператор Ю соответствует диагональной части А, ь" — нижней треугольной матрице. Тогда в силу А —.— ь" + Э+ ь"' для операторов А а = 1, 2 из разложения (29) получим 1 А = -2з+С.
2 (30) Для итерационного решения уравнения (4) используем следуюший вари- ант метода простой итерации: (23+ тА1) ™ уь + Ауь = /, й = О, 1,..., т (31) известный как треугольный итерационный метод. В канонической записи двухслойного итерационного метода (31) соответствует выбору (32) В = Ю+тАо Треугольные итерационные методы часто записывают в виде ('В+ыС) ~ +Аул =/, й=0,1, Ы Теорема 1. Итерационный метод (29) „(31), (32), (33) при оптимальном T = ть = 2/(Ы) с 7з=зз >О сгодится я гг я дт иогьяюяояяя Принимая во внимание (30), получаем т = 2ы/(2 — ы), Среди треугольных итерационных методов (44) отметим метод Зейде- ля, для которого т = 2 (ы = 1). Отдельною упоминания заслуживает ме- тод верхней релаксации, который соответствует выбору т = 2/(б(2 — б)) '/з, где б — постоянная в неравенстве А > бР, б > О.
Априорная информация в треугольных итерационных методах может задаваться в виде следуюших операторных неравенств: бай<А, А~2з Аз< — А б>0. Ь 4 (33) 4.7. Иверационные зеенюды решения сегпоиных уравнений 189 справедлива оценка ае„1~4 < р" лео114, где г1 нч 1~(г р= (1,~з) 1 г1=,~. ~+и ) Из (34) обычным образом следует оценка для числа итераций и > по(е) = 1и (1/е) 1и (1/р) (34) необходимых для достижения относительной точности е. Заметим, что в вышеприведенных рассуждениях Р не обязательно представляет собой диагональную часть оператора А.
Метод верхней релаксации соответствует выбору итерационного параметра т, близкого к оптимальному итерационному параметру. Для метода верхней релаксации справедлива та же оценка (34) для числа итераций. Возможности треугольных итерационных методов (31) проиллюстрируем на сеточной задаче Дирихле для уравнения Пуассона (уравнение (4) при А = А), т. е. рассмотрим задачу (1)-(3) при о (х) = 1, а = 1, 2. В качестве 2З выберем диагональную часть оператора А: РУ = д(х)и д(х) = 2(Ь! + Ьз ) (35) Для операторов А„а = 1, 2 разложения (29) имеем следующие представления на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на дш: 1 1 1 1 А1У = — уе, + — уе„Азу = ув, ую.
(36) Найдем теперь постоянные б н Ь в неравенствах (33). На основе выбора (35) и известного минимального собственного значения (см. (15)) сеточного оператора Лапласа, имеем 2нз . гил1 2"1 . з низ Принимая во внимание (35), (36), получим "1 "з г з (А~Э Азу,у) = г г (Азу, Азу). 2(й', + 1г,') Для правой части имеем (Азу>А2У) = з(уво ")+ (уш~ую)+ т(увы 1)" Принимая во внимание (Увоую) ~~ Уво 1 Ув2) ~ ~1з(Уно )+ т(ум~ )1 ! 2 2 1 (90 П»ава 4. Стационарные задачи теплопрпеодиости получим / 1 1 » (МУ Азу) ~ ~~ з + з) (4У У) (37) Тем самым приходим к неравенству (А~27 'Азу, у) < 0,5(АУ, у). Сопоставляя со вторым неравенством (33), имеем»3, = 2.
При оптимальном значении итерационного параметра т = те для числа итераций из (34) получим оценку (38) которая близка к оценке чебышевского итерационного люетода (см. (1О)) с диагональным выбором оператора В. Метод Зейделя характеризуется выбором т = 2. Число итераций оценивается величиной /1 1» пе(е) = О1 — 1и -) . 1, 11»1' е) Тем самым метод Зейделя сходится значительно медленнее метода верхней релаксации. Число итераций как и в методе простой итерации с диаго- нальным оператором В в рассматриваемых двумерных сеточных задачах пропорционально общему числу узлов. (Р+тА~) +Ау» =7, т (27+ тА») + Ау»ецг =,у, й = О, 1,.... У»н — У»м!з т Исключая промежуточное значение, приходим к итерационной схеме метода простой итерации В е +Ау» =7, 7»=0,1, 2т с оператором В = (27+ тА~)Р (В+ тА»). (39) Оператор В в этом случае соответствует произведению двух треугольных и диагональной матриц.
В (32) оператор В несамосопряжен, а факторизованный оператор (39) при разложении (29) уже самосопряжен. Поэтому здесь возможно повышение скорости схолимости итерационных методов 4.7.б. Поиеремеиио-треугольные методы В треугольных итерационных методах (31) оператор В строится согласно (32). Естественно, что можно строить В и по оператору Ам Поочередное использование операторов А„гг = 1, 2 характерно, например, для метода симметричной еерхнед релаксации, когда новое итерационное приближение находится следующим образом; 191 4.7.
Вгнероционные ггенгоды реигенил сенгочных уравнений за счет выбора итерационных параметров ть. Не связывая выбор оператора В с итерационными параметрами, зададим класс попеременнонгреугольных ингерационных ыенгодое выбором оператора В в следующем факторизованном виде В = (Р+шА~)2г '(2г+шАг) (40) лля итерационного решения уравнения (4) с оператором А, подчиняющимся условиям (29). Скорость сходимости итерационного метода (7), (40) определяется постоанными энеРгетической эквивалентности 7ы 7г в двУхстоРоннем неравенстве (8). Найдем эти постоянные при априорной информации в виде неравенств (53). Для оператора В имеем В =(Р+шА~)Р '(гг+шАг) =2г+ш(А~+Аг)+ш А,уг 'Аг. (41) Принимая во внимание (33), получим /1 гЬ\ В < ~ — +ш+ш — ) А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
