Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Лг $,и(х) = — / и(6!, хг) 86!, ! х~-ь,/г хх-а!/г Погрешность аппроксимации для разностной задачи (20)-(22), (46) имеет внд: г х/!(х) = !о — Ли = $!$г/ — йи = $!$гуи — йи= ~~ ($!$гЬ и — Лхи). (47) а=! Рассмотрим, например, первое слагаемое в правой части (47). Используя свойства усредняюших операторов, получим $!$гЬ|и — й!и = = — — ~~ $г/х(х) — /! — ~$гй(х) — /! + (аги;,),, = г/!хо дх!)!+!/г/ ~ дх!). !/г/~ где ди г г/! = — $г/е(х) †/! + а,и;н -!/г,/ Аналогично можно опрелелить ди 'г — $! Й(х) — / + агит,.
дхг! ! (48) (49) Таким образом, в разностной схеме (20)-(22), (46) погрешность предста- вляется в дивергентном виде з/!(х) = хр (х) = ~~! г/„„. (50) а=! Такой желаемый вид (48)-(50) имеет погрешность для схемы, полученной интегро-интерполяционным методом. В качестве характерного примера рассмотрим простейшую ситуацию, когда коэффициент теплопроводности разрывен, и линия разрыва х! =сопзг проходит через узлы равномерной прямоугольной сетки го (х1 — — хы = 7гЬ| Е ы,).
На этой границе раздела выполнены однородные условия сопряжения (см. п. 2.2): д.и 11 (и]=0, й — ~ =О, х~ =хы. В каждой отдельной подобласти х~ ) хы и х1 < хы прн достаточно гладких коэффициентах и решении из (48), (49) непосредственно вытекает, что по(х) = 0(~7г!'), н поэтому разностная схема (20) — (22), (4б) сходится со вторым порядком. Более сложная ситуация возникает при рассмотрении случая с разрывом х~ = сонм, который не проходит через узлы сетки, а тем более, когда разрыв коэффициента теплопроводности происходит на произвольной криволинейной поверхности.
Аналогичные рассуждения проходят н в случае ситуации с поверхностным тепловым источником. В этом случае вместо (5!) рассматриваются (см. и. 2.2) неоднородные условия сопряжения: ди ~ (и1 = О, 7г — ~ = рм х1 —— хы. дх1 Условия (52) моделируются рассмотрением краевой задачи для уравнения (51) (52) Ьи = б(х1 — хм)д, + 2(х), х Е П, где б(х1) — б-функция. Применяя интегро-ннтерполяционный метод, придем к разностной схеме, которая отличается от схемы (20)-(22), (46) лишь в узлах, лежащих на линии разрыва, где ЛУ = Х(х)+агро х, = хм.
Аналогично строятся аппроксимации условий типа сосредоточенного источника н в более общем случае. 4.4.0. Граничные условия третьего рода Отметим некоторые наиболее важные моменты исследования сеточ- ных эллиптических задач с граничными условиями третьего рода. В ка- честве модельной задачи рассмотрим уравнение (17), (19), дополненное граничными условиями ди — й(х) — (х) + о(х)и = О, х, = О, дх, ди Й(х) — (х) + о (х) и = О, х, = 1„ дха Соответствующую разностную задачу будем рассматривать на множестве сеточных функций Н, заданных на всех узлах сетки Р. Скалярное произведение в Н зададим соотношением а= 1,2. (53) (у е) = (у е)и 4.4.
Сходнмость разностных схем в энергетическом пространстве 159 1бО Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности где (у2 о)ж аа ~~' у(х)о(х)п!(х!)Г«2(хг) = У 1н(х1) ~~' у(х)о(х)Г«г(хг). «ьв «2ЕР2 «2ЬВ2 Для записи разностной задачи в операторном виде используем обо- значения (23), (24). С учетом аппроксимапии граничных условий (53) со вторым порядком на решениях задачи (см. (20) в и. 4.3) положим 2 — — (а!(х1 + Ь1,хг)у„ — о(х)у), х! — — О, ! А1У = — (а1у«,)„, Ь1 < х1 <11 — Ь1, (54) 2 — (а!Ух, + о(х)у), 1 2 — — (а2(Х1, Х2+ Ьг)ут о(х)у) Х2 = О, 2 42У = — (агуе,)*2, Ьг < хг < 12 — Ьг. (55) 2 — (агуе, + о(х)у), 2 При таком выборе операторов А„а = 1, 2, оператор А обладает не- обходимыми свойствами, а именно, справедливо следуюшее угвержление.
Лемма 4. Оператор А, определяемый согласно (24), (54), (55), само- сопряжен и полохсителен в Н при о(х) > О. Для доказательства покажем справедливость (25). В данном случае (Агу, о) = ~~2, Ь! ~~2, Агу(х)е(х)йг. (56) «2ЕР2 «!ЕЛА! На основе формулы Грина (14) имеем Агу(х)и(х)У«2 — — — ~~2 (агуа,) 2е(х)Ь2 + теи2 «2Е«2 + ( — аг(х1, Ьг)У,(х 1, 0) + о(Х1, 0) У(х1, 0)) о(х1, 0) + + (аг(х1, 12)уе,(Х1, 1г) + о(х 1, 12)у(х1, 12)) е(х1, 12) = (а2ие2)«2У(х)Ь2 + «2ЕЮ + ( — аг(х1, Ьг)о«(хг, 0) + о(х1, 0)о(х1, 0))у(х1, 0) + + (аг(Х1212)ие2(Х12 12) + Ег(я!212)в(Х12 12)) у(Х1212) у(х) Аге(х)122.
*2ЕВ2 Отсюда и вытекает самосопряженность оператора Аг. Аналогично устанавливается самосопряженность и оператора А,. х1 —— 11 хг — — 1г 4.4. Сходииость разностных схем в знергетическозг пространстве 161 Доказательство положительности операторов А„а = 1, 2, основывается на первой формуле фина (13). Выкладки подобно приведенным выше дают (Азу,у) = = г,ь(г,»ь»юю»*„ю»юн„ю»ю »*„» »ю »*„» !). »ю»» ь»гв» ь»ги» Поэтому при положительных о(х) оператор Аз положительный.
То же можно сказать и об операторе А,. Это завершает доказательство леммы. Учитывая то, что теперь у(х) ~ 0 на дш, определим Ь! ~~~ (Уз») Ьз + ~к~ »ю! ~к~ (Уя») Ьз ь»ги» ь»Е»ю+ *»ев» ь»ги»+ и норму согласно (30). Определим сеточный аналог нормы з з(йш) с помощью выражения ИуИд — — ~~ю (у (х», 0) + у (х», 1»))Ь! + ~~ю (уз(0, хз) + у (1», хз))Ьз. ь»ев» ю»ги» Для сеточных функций, не обращающихся в нуль на дш, имеет место неравенство Фридрихса в следующей форме. Лемма б. Дгя произвольной сеточной функции у(х), заданнои на сетке ш, справедливо неравенство: !)'Ру0~ + пю~(у(ф, > Мйуй~, М = М(т), (58) где «олоясительные постоянные и» и М не зависят от сетки.
Не приводя доказательства, отметим лишь, что оценки типа (58) могут быть получены аналогично приведенному выше доказательству леммы 3. Вместо (32), (33) достаточно использовать соотношения ю и ел =,» ег„ьЬ| +ем еч = —,~, оз„ьЬ»+ел ь=!ь! и г-неравенство !аЬ| < еаз+Ьз/(4г), где г — любое положительное число. Для разностной задачи с граничными условиями третьего рода, записанной в виде операторного уравнения (1), (24), (54), (55), устанавливается априорная оценка типа (38).
Теорема 2. Для разностной задачи (1), (24), (54), (55) при о(х) > о ь > 0 справедлива априорная оценка Щ~ <М!~р~~ и где М = М (к». югю, и». М) . 162 П!ава 4. Стационарные задачи теплопроводности 4.4.В. Задачи Задача 1. Показките энергетическую эквивален!пность раэностного оператора задачи стационарной теплопроводности в анизотропных средах с граничными условиями первого рода.
Решение. Рассматривается краевая задача (!7), (18), где д !г ди 'т Ьи= ~ йри Ь ги= — — !йр(х) ! "' дх. ~ дхр) ' при й р(х) = йр,(х). Соответствующая разностная схема (см, п.4,2) записывается в виде (20), (21) при йу= ,'!, 'Л.,у, «„в=! где 1 л.,у = --((й.,у„),.
+(й. у.„)-,). На множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на ды, определим оператор А с помощью соотношений: А = 0,5(А + Ае), где 2 А у = — ~ (й руел)«„ А+у = — ~~~ (й«ру«,)з . «„в=! «,р= ! Принимая во внимание разностные соотношения (12), непосредственно убеждаемся в том, что операторы А, А«самосопряженные при й„р(х) = йр,(х). Например, (А у, и) = — ~ ((й«руел)х«, е) = «гз= ! Принимая во внимание неравенство Фридрихса (58), имеем ЦуЦ, = ЦчуЦ +ЦуЦ < (1+М ')ЦчуЦ +тМ 'ЦуЦв„. (60) На основании (57) для оператора А с учетом ограничений на коэффициенты дифференциальной задачи получим оценку: (Ау,у) >к ЦуЦ'+ оЦуЦ3.
(61) Объединяя (60) и (61), получим оценку снизу (Ау, у) > М, !ЦуЦз!, из которой обычным образом (см, доказательство теоремы 1) следует искомая априорная оценка (59). Скорость сходимости разностной задачи с граничными условиями третьего рода исследуется полностью аналогично задаче Дирихле, что позволяет нам не останавливаться на этом подробнее. 4.4. Сходимость розностных схем е энергетическом пространстве 163 2 2 — (йаяуеа~ ез ) + Л~~ Х~~ наауз оз,««!««2~ (62) а«3=! а=! а«а«- если учесть то, что р(х) = е(х) = О, х Е да!. На основе неравенства равномерной зллиптичности (2) из п.4.! имеем з 2 з ,К(ь Г, и «(К!««а..а!) «,К(!аг.~), а=! а,о= ! а=! и, в частности, к! < й„ < кз, а = 1, 2.
С учетом этого неравенства из (62) получим Задача 2. Для розностной задачи (63) (64) — (аут)а = «р, х Е а), р,=о, и =О получите оценку ЦрЦС!а! < МЦИ-!. (65) Решение. По аналогии с теоремой ! для схемы (63), (64) имеем оценку Ь!1- < — Ц'рЦ-! (66) к, где а(х) > к, > О. Для одномерных сеточных функций о(х), обрашаюшихся в нуль при х = О, 1, справедливо неравенство: Ц Цс<! 4Ц Ц'УоЦ = ~ (ее) Ь. (67) ага" Доказательство неравенства проводится аналогично лемме 3.
Неравен- ство (36) в наших обозначениях имеет вид о (х) < ~~! (е;) й. ааа« к!(Ау, р) < (Ар, р) < кз(Ар, р). Аналогичными свойствами обладает и оператор А+. Тем самым разностный оператор задачи Дирихле для эллиптического уравнения со смешанными производными энергетически эквивалентен разностному оператору Лапласа с постоянными эквивалентности к! и кз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
