Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 29
Текст из файла (страница 29)
п. 4.1). На основе (53) обычным образом устанавливается скорость сходимости соответствуюшей разностной схемы. Задача для погрешности формулируется в виде: где 1й(х) — погрешность аппроксимации уравнения, а о(х) — погреш- ность аппроксимации граничных условий третьего рода. Для погрешности разностной схемы (4), (20) справедлива оценка типа (4), т. е, разностная схема (4), (20) сходится со вторым порялком. (5б) ') , 4.3. Равномерное сходимость разностных схем Лз = В(х), х Ев~ ~, Лз =и(х), х бы 4.3Л.
Задачи Задача 1. Локахеите, что длн разностной задачи — (ауе)а=1, Ь(х~(1 — Л, у(О) =О, у(1) =О нри а(х) > к > 0 имеет место оценка О < у(х) < к-'1'. (54) ) (55) ) Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности 146 Решение. Представим правую часть уравнения (54) в виде х, = 1 и получим ауе+ х = с = сопз!. 1 = 1, 2,..., ВГ, причем Ь1 = х!. Суммирование по 1 от 1 до Ь с учетом первого уело- вия (55) дает: (57) ПРинимая во внимание второго условие (55), при 1 = йг получим выражение лля постоянной с: Подстановка в (57) дает Ьз( А» Ь1 а! Ап », а; Принимая во внимание А» < Ан, отсюда получим 1У»1 < ~ — < к Ь » 1Ь» г(РГ + <и 1, а; 2 Задача а. Установите условия выполнения принципа максимума для разностной задачи Дирихле (и.
4.2) повышенного порядка аппроксима- ции. Решение. Во внутренних узлах прямоугольной сетки й разностное уравнение записывается в виде Ьз+ Ьз л!У+ л2У вЂ” л!Агу = Р(х) 2 (58) тле й,и = из..„, а = 1,2. Запишем УРавнение (58) в канонической Форме (1) и проверим выполнение условий (П), которые обеспечивают выполнение принципа максимума. Отсюда получим рекуррентное соотношение »3 с У! =У»-! Ь +Ь а! а1 Ьг1 у» = — ~~! — + сА;, А» а; »=! к 12, с = — 1! Ап, а;' т.
е. имеет место искомая оценка (5б). Ь =Е- ю=! а; 4.4. Сгодимость разностных схем в энергетическом пространстве 147 Непосредственные выкладки дают: А(х) — — — з + — з 1/5 1'~ В(х () = — ~ — — — ) бойз ь2)' 1 в(.,д= ' 1ь 1 1~ В(х,е) = — ~ — + — ), — 12( дз йз) х = хни С = х'ьк1~ Е = хь,д, ( = х14-ц С = хьд+н ~ = хь ьу+н е = х;+ц+ь 4=х;,„н С=ХЬьд Н Имеем Р(х) = О, х Е ы, А(х) > О при любых шагах сетки. Однако условия В(х, с) > О выполнены только при 1 Ь', -( — (5. 5 /ьз (59) Условие (59) показывает, что для того, чтобы для разностной задачи Дирихле повышенного порядка аппроксимации (58) был выполнен принцип максимума, достаточно использовать прямоугольную сетку с не очень сильно различающимися шагами.
ь 4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве И1 = ацр 11АИ. !И=1 Если для любых рн рз Е Н выполнено (Аун уз) = (рн А*уз), то оператор А' называется сопряженным оператору А. Для линейного ограниченного оператора А имеет место )~А*(~ = ~~Ах. Если А = А*, то оператор А называется самосопряженным, если же А = — А", то оператор А назын ~ ', нч~ тронным г нмгм'опряженными являются операторы АА 4.4.1. Уравяення в конечномерном гнльбертовом пространстве Исследование разностных схем проводится в конечномсрном пространстве, поэтому ограничимся свойствами линейных операторов в конечномерных гильбертовых пространствах (см. также дополнение).
Прежде всего отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный оператор ограничен. Рассматривается гильбертово пространство Н со скалярным произведением (Рн Рз) и ноРмой ОРО' = (Р,У). В Н действУет линейный ограниченный оператор А. Норма оператора А определяется выражением 148 ь)зава 4. Стационарные задачи теплонроваднасти и А'А. Отметим также, что (А')' = А н (А') ' = (А ')*, если обратный оператор А ' существует. Любой оператор можно представить в виде суммы самосопряженного Аь и кососимметричного А1 операторов: А = Аь+ Ам причем 1 1 Аа = -(А+А ) А> = -(А — А*).
2 ' 2 Имеют место равенства (Ау, у) = (Аьу, у), (А~у, у) = О. Оператор А называется положительным (А > О), если (Ау, у) > 0 для всех у б Н кроме у = О. Если (Ау, у) > б(у, у), б > О, то оператор А называется положительно определенным. Число (Ау, у) называется энергией оператора. Запись А > В соответствует тому, что для всех у Е Н имеет место неравенство ((А — В)у, у) > 0 Если лля операторов А и В существуют постоянные 7з > у, > О, такие, что у>В ~ (А < 7зВ, то операторы А и В называются энергетически эквивалентными. Если бЕ<А<ЬЕ, где Š— тождественный оператор (Еу = у), то числа б и Ь называются границами оператора А. Операторы А и В называются нерестанавачными, если (АВ)у = (ВА)у дяя всех у Е Н.
Для любого самосопряженного неотрицательного оператора А существует квадратныйкарень В, такой что В = А, который обозначается А'~'. Для положительного и самосопряженного оператора А можно определить энергетическое чространства Нл, определяемое скалярным произведением (ун уз)л — — (Аун уз) и нормой Оуя~л — — (Ау, у). Неравенства Коши-Буняковского (неравенство Шварца) !(у узН < Ь1!! Ьз!! в Нл принимает вид (Аун уз) < (Аун у~)(Аун у>). Если А — положительно определенный оператор А > бЕ, б > О, то существует обратный оператор А ' и ОА 'О < б '.
В конечномерном пространстве любой положительный оператор положительно определен, и поэтому для него существует обратный. Для самосопряженного оператора А при любом целом и имеет место ОА" 0 = 'ОАО". Для самосопряженного положительного оператора А можно ввести негативную норму !Ил- = ((А >р р)) 4.4. Сходимость раэностных схем в энергетическом нространстве 149 (6) Можно использовать эквивалентное определение этой нормы: !И вЂ” = звр !(р у)! эео !!У!!в Рассмотрим в конечномерном гильбертовом пространстве Н операторное уравнение первого рода Ау = зь, (1) где А — линейный оператор, 1э — заданный, а у — искомый элементы Н.
Уравнение (1) однозначно разрешимо, если однородное уравнение Ау = 0 имеет лишь тривиальное решение у = О. Приведем некоторые простейшие априорные оценки решения уравнения (1) при различной информации об операторе А. Пусть А — положительно определенный оператор А>бЕ, 6>0. (2) Тогда для решения (1) верна оценка 1 !!У!! - б!!Ф!. Домножая уравнение (1) скалярно на у, получим (Ау,у) = (1о,у). (4) Для оценки левой части (4) используем условие (2), а для правой — неравенство Коши — Буняковского (неравенство Шварца): !(1о, у)! < !!1ь!! !!у!!. Для нормы решения получим искомую оценку (3). Оценка (3) обеспечивает устойчивость решения уравнения (1) по отношению к малым возмушениям правой части. Для самосопряженного и положительного оператора А (А = А' > 0) априорную оценку решения уравнения (1) можно получить в энергетическом пространстве, а именно, имеет место точная оценка !!У!!в = !Ил- .
(5) Принимая во внимание у = А '~р, из (4) непосредственно получим равенство (5). Для несамосопряженного оператора А оценки типа (5) можно получить в энергетическом пространстве, порожденном самосопряженной положительной частью оператора А. Пусть А=Ао+Ап Ав=Ао>0 А1 = А~ тогда для уравнения (1) справедлива априорная оценка: !!У!!вь ~ ~!!1о!!в"' В этом случае равенство (4) принимает вид: (Аор, У) = (У, У) 150 Егава 4, Слациаиарныа задачи теллалроаадиасаги Для правой части на основе обобщенного неравенства Коши — Буняковского имеем: (р, р) = (А '~' р, А„'~'Й < !! р!!~; !!р!!з, Это позволяет получить оценку (6).
На основе (6) для положительно определенного оператора Аи > бЕ, б > 0 имеем: !!г ( ~-~ ) < !!А-~!!!! !!з < !! !!з Тем самым имеет место априорная оценка !!у!!„, < б-'"!! р!!. (7) В отличие от (6), в (7) правая часть уравнения (1) оценивается в обычной, а не в негативной норме. Предположим теперь, что несамосопряженный оператор А удовлетворяет условию А> уА, А=(А)'>О.
(8) Тогда решение уравнения (1) можно оценить в энергетической норме, связанной с самосопряженным оператором А. А именно, справедлива оценка 1 !!р!! т < -!!'р!! т, (9) Из равенства (4) и условия (8) следует 7(Ар р) < (Ар р) = (р у) < !!р!! ~,!!у!!,( Из этого соотношения и следует искомая оценка (9). При выполнении условий (8) можно оценить правую часть (6) в другой негативной норме на основании неравенства (10) !!1и!!х-' < 7 !!'Р!! т, и Это следует из эквивалентности неравенств А > 7А, А ' > 7А ' для самосопряженных и положительных операторов.
4.4.2. Некоторые разностные соотношения Прежде всего напомним некоторые введенные ранее и введем новые обозначения теории разностных схем. Для простоты изложения ограничимся рассмотрением равномерных сеток. На отрезке [0,1] введем сетку Р=(х ! х=х; =11г, 1=0,1,...,лГ). Для отдельных частей сетки используем обозначения: 4,4. Сходлмоста раэностньи схем е энереетическаи пространстве 151 ы = (х ! х = х; = 1Ь, ь = 1, 2,..., 1т — Ц, ыш=(х!х=х;=ьЬ, ь=1,2,...,К), ьи = (х ~ х = х; = ь'Ь, ь' = О, 1,..., Вà — Ц.
Обозначим через Ь(хь) = Ь, — средний шаг сетки: 1 1 Ьь тЬ> (т1,2,...,Ьг — 1, Ье = -Ь, Ьи — — -Ь. 2 ' 2 На сетке ю определим гильбертово пространство Х(ье) с помощью скалярного проиаведения (у, е)в ы ) у(х)о(х)й(х). Аналогично определяется скалярное произведение в Х(И'): (у, е)и: —,~ у(х)е(х)Ь(х), швы (12) где, например, УУ ье,иг+,ьи . Приводам также сеточные аналоги формул дифференпировання произведения функций и интегрирования по частям. На основе введенных ранее определений операторов правой и левой разностной производной (см. п.4.2) непосредственно проверяется справедливость равенств: (Уе)эь = еэлуь-! + оьув< = сверь + еь-ьуэз~ (11) (УЕ)ЕЛ ю Ешеу|Ш! + ЕЬушз = Ешдуз + ЕЬШЬушл равенства (Н) являются сеточным аналогом формулы дифференцирования Ие Иу — (уе) = у — +е —. йх Их Кх' Сеточными аналогами формулы интегрирования по частям ь ь лу ае — и Нх = у(Ь)е(Ь) — у(а)о(а) — з( у в лх ах / ь ь а являются сеточные тождества: (Уш~ е)ш = -(У, еэ)ш+ + Умен — Уьее, (Уш~ ")ш = (у~ еш)ш- + Уп-1ен уоео.
Заменяя в (12) уг на а;уэ;, получим верную розностную Формулу Грина: ((ауэ)„о)„= — (ауе, ев) + + ануа иеи — ан уш,зео. (13) Вторая розностноя формула Грина имеет вид: ((ау;)„е), — (у, (аеш),)„= аи(уэ — еэу)н — аю(уше — о,у)о (14) 152 Бгава 4. Стационарные задачи теллонроводности Аналогичные определения используются при рассмотрении двумерных (в общем случае и многомерных) сеточных функций. В прямоуголь- нике й=(х/х=(х!,хз), 0(х„<1), а=1,2, введем равномерную сетку ы! с шагом Ь! по х! и сетку !вз с шагом Ьз по второму направлению. Пусть ы = !и! х !вз и поэтому !и = (х ~ х = х;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
