Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Равномерная сходишкть разностных схем Это утверждение есть непосредственное следствие принципа максимума для функции о(х) = у(х) — «(х). Мажорантная функция определяется аналогичным образом. Следствие 4. Пусть у(х) и У(х) — решение задач Лу=р(х), хЕш, (25) ЛУ=3(х), хЕш, (26) Тогда, если (28) справедлива оценка ЦУ(х)Цсйд < р'(х) Р(х) стч) ' (29) Пусть У(х) — решение уравнения ЛУ = 1с(х)~, х Е ш.
(30) Тогда в силу следствия 4 )у(х)) < У(х), х Е ш. Мажорантная функция У(х) достигает своего максимального значения в некотором узле х'. Запишем в этом узле уравнение (30): Р(х )У(х) + ~ В(х, ~)(У(х) — У(с)) = (Г(х~)~. геях(и) )Р(х)! < а(х), х Е ш, (27) то (у(х)! ~ (У(х) для всех х Е ьт, На основе приведенных теорем сравнения строятся простейшие априорные оценки решения ревностной задачи (1). Следствие б. Для решения задачи Лу=О, хЕш, у(х)=д(х), хЕдш справедиива оценка Цу(х)Цс1 1 = птах ~у(х)! < Цд(х)Цс1в 1 чгч Для доказательства определим мажорантную функцию У(х) как решение задачи ЛУ = О, х Е ш, У(х) = Цд(х)Цс1~ 1, х Е ш.
В силу следствия 3 имеем !у(х)! < У(х), х Е ш. Для функции о(х) = Цд(х)Цств„1 — У(х) имеем ло > О, х е и и о(х) = О, а е дш и поэтому о(х) > О, а Е ш. Следовательно, У(х) < Цд(х)Цс<д 1, н поэтому имеет место неравенство (28). Приведем также простейшую априорную оценку и по правой части разностного уравнения (1). Следствие 6. Если Р(х) > 0 при х Е Р= ш, то для решения задачи Лу=Г(х), хЕш 142 1Лава 4. Стационарные задачи теллолроеодностн Но У(х') > У(с) и поэтому 23(х')У(х ) < )Е(х')!. Следовательно, ~л'(х ) ~ л'(х) з'(х ) « —, () () сй» Тем самым необходимая оценка для мажорантной функции получена.
4.3.6. Устойчивость и еходимоеть разиоетиой задачи Дирихле Полученные выше результаты используем для получения априорных оценок решений разностной задачи Днрихле (4), (5) и исследования скорости сходимости. Разностная задача (4), (5) записывается в виде (22) с соответствующими свойствами сеточного оператора Л. Представим решение задачи (22) в виде суммы р(х) = р11(х)+у11(х), х Е в, (31) где у01(х) — решение однородного уравнения с неоднородными граничными условиями: Лр11=0, х Ев, р1 1(х) =д(х), х Еды, (32) а р10(х) — решение неоднородного уравнения с однородными граничными условиями: Лрйб = Р(х), х б в, рбй(х) = О, х Е ды.
(33) Для решения задачи (32) на основании следствия 5 имеем оценку Пу01(х)Пс1 > < Пд(х)Пс<о 1. (34) Для оценки решения задачи (33) для неоднородного уравнения необходимо построить соответствующую мажорантную функцию Я(х). Пусть имеется (ср. со случаем задачи Дирихле для эллиптического уравнения— задача 1 из и. 4. 1) некоторая сеточная функция в(х) такая, что Лв)1, хЕи, в(х))0, хбдв.
(35) Тогда на основании следствия 3 в качестве мажорантной функции для задачи (33) может выступать л(х) = в(х)ПГ(х)Пс1„>, И поэтому имеет место оценка Прцд(*)П . < мПР(*)П °, (36) где М = Пв(х)Псй» В силу (31), (34), (36) для решения разностной задачи Дирилле (22) имеет место априорная оценка: ПУ(х)Пс1 1П < Пд(х)Пс1в > +МПР(х)Пс1 >.
(37) Постоянная М в этой оценке определяется как максимальное решение (35). Для оценки разностного решения типа (37) важно показать, что 143 4.3, Равномерное сходимость разностных схем Приведем характерную оценку для постоянной М. Пусть в прямоугольнике Й для длин сторон имеет место 1, < 1!. Будем считать, что функция в(х), удовлетворяющая условиям (35), зависит только от переменной х,, Можно определить в(х~), принимая во внимание исходную разностную схему (4), (5), как решение следуюшей одномерной задачи: -(а~ве,)„= 1, Ь1 < х, < 1! — Ьн (38) в(0) = О, в(1~) = О.
(39) При Ь(х) > к~ ) 0 (условие эллиптичности) для решения одномерной задачи (38), (39) нетрудно получить оценку 0 < в(х) < к, '1!. Поэтому в априорной оценке (37) можно положить 1п(1!з, 1з!) (40) М= К1 Таким образом константа М в (37) не зависит от шагов сетки. Сама оценка (37) выражает устойчивость разностного решения по правой части и граничным условиям. На основе оценки устойчивости (37), (40) можно получить и соответствующие оценки для погрешности разностного решения. Для г(з) = у(х) — и(х), где в(х) — решение дифференциальной задачи (2), (3), получим уравнение Лг =гг(х)) х Еы1 г(х) = О, хЕ ды, (41) где у (х) — погрешность аппроксимации на решениях задачи (2), (3). Для достаточно гладких коэффициентов и решений (см.
п.4.2) имеем нФ(х)нс( > < М!(Ь! + Ь!). (42) На основании оценки (37) для решения задачи (41) с учетом (42) получим оценку погрешности: ~~г(хисйб < ММ~(Ь~+ Ь!з). (43) Таким образом разностная схема (4), (5) равномерно сходится со вторым порядком. 4.3.6. Третья краевая задача Аналогично рассматривается задача стационарной теплопроводности (2) с условиями третьего рода (19). Не останавливаясь подробно на деталях, отметим некоторые основные моменты исследования.
Обозначим через ы01 — множество узлов сетки й, лежаших внутри прямоугольника й, а через но~> — множество узлов на его границе (й = ы01+ в1г!). Разностное решение определяется из уравнений Лу = Ф'1(х), х б ы01, Ау = Ф'~(х), х Е в01. (44) 144 Глава 4.
Стог(наварные задачи теллонроеодности В (44) сеточный оператор Л при х Е иг('> определяется согласно (4), а при х Е го(2> оператор Л соответствует аппроксимации (20). Снова представим решение разностной задачи в виде (3!), причем для у('>(х) разностная задача имеет внд: Лр(>=Ф)(х), хЕиг(), Лр() =О, х Его(). (45) Разностное решение р~ )(х) находится из условий Лу() =О, хЕиг(), Лр(>=У()(х), х Его(). (46) Получим сначала оценку решения у(2)(х).
Определим мажорантную функцию У(')(х) как решение задачи ЛУ(2) = О, х Е иг( ), Л -Р> Р> = (! Р>( )(! „, Р) (47) В силу принципа максимума (>4' = иг('>) решение задачи (47) достигает максимального значения на множестве узлов иг ° . Аналогично след(г> ствию 6 имеем (2) ! Р(2)(х) ! !)У (х))!с(ио> < 27(х) с( л~ г> Принимая во внимание (см. (20)) условие 27(х) > а(х) > ао > О, из последнего неравенства для задач (46),(47) следует, что !!р(')(х)!)с(ч) ( )!У")(х)!)с(,> ( и, 'М'" (48) Рассмотрим теперь задачу (45). Для нее мажорантная функция определяется как решение задачи: ЛУ(') = М(') = ))Р(г>(х)!! „„, Е ('>, (49) ЛУ('> = О, х Е ы(2) Искомую оценку для решения задачи (49) ))У( )(х)()~( ) < ММ» (50) с постоянной М, не зависящей от параметров сетки, получим в случае однородной среды, т.
е. когда в уравнении (2) Й(х) = сопз(. Рассмотрим вспомогательную функцию иг(х), зависящую от одной переменной хо Пусть прн постоянном (с(х) зта функция определяется из условий: Лт М(г>, х Е ы('>, Л('>го = О, х Е го">. (51) При х Е го( > оператор Л('> соответствует аппроксимации граничных условий третьего рода с а(х) = оо на участках границы хг = О, х~ = 1г н а(х) = 0 на оставшихся (чсловия Неймана) 145 Сравним решения двух задач (49) и (51). Для их разности о(х) = У01(х) — в(х) имеем: Ло = О, х Е «Р, Л10о+ (Л вЂ” Л10)у10 = О, х Е вр1. (52) Имеем Л вЂ” Л01 = РО>(х) > 0 и для решения задачи (52) получим о(х) < О, т.
е, функция в(х) выступает в качестве мажоранты для задачи (49). Разностная задача (51) соответствует определению решения из следующей одномерной задачи: — йвзан = 1, — 1гвкно+оево = 0~ Ь| (х~ <1~ — Ьн Йв~„к+ оовн = О. Для этой задачи имеет место оценка 0 < в(х) < М = М(к, от 11), т.е. постоянная М не зависит от шагов сетки. На этом основании можем получить оценку (50). Объединяя (48) и (50), получим априорную оценку для решения задачи (44): ~)у(х)((сйб < М)~р40(х)!!с<,„щ1+ оа '!!Р~ ~(х)цЛ211 (53) Эта оценка полностью согласуется с соответствукицей оценкой для решения дифференциальной задачи (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
