Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(11) Тогда разностное уравнение (1) на подмножестве узлов И' можно записать в виде (12) Лу(х) = е'(х), х Е И). 4.3. Равномерная сходииость разностных схем 137 Для сеточного уравнения (12) справедлив принцип максимума (ср. с теоремой 1 в п.4.1). Теорема 1. Пусть у(х) ~ сопя! на связной сетке К и выполнены условия (10), (!1). Тогда, если Ьу(х) < О, х Е И~ (Ьу(х) > О, х Е И~), то у(х) не может принимать положительного максимального (отрицательного минимального) значения на гу. Доказательство проводиться от противного. Пусть, например, выполнено условие Ьу(х) < О, х Е И'. (13) Допустим, что наибольшее положительное значение сеточной функции у(х) достигается в некоторой точке х Е И~, т, е.
у(х') = шаху(х) > О. (14) Принимая во внимание (9), (10), получим Ьу(х ) Р(х )у(хл) + ~ В(х 0(у(х~) у(0) (15) гезй1ы! При выполнении условий (11) и в предположении (14) из (15) непосредственно получим Ьу(х') > О. Это не будет противоречить (13), если Ьу(х') = О. Последнее будет иметь место, если оба слагаемых в правой части (15) равны нулю; Р(х')у(х') = О, ~ В(х', 6) (у(х') — у(6)) = О.
ееоя'(в! Принимая во внимание то, что у(х') > 0 и В(х', р) > О, получим у(с) = у(х'), х Е ОЛ'(х'). (16) Так как у(х) Фсопзг, существует точка хпЕК такая, что у(х ) <у(х'). В силу связности сетки И> существует последовательность точек хн хз,..., хь, такая, что каждый последующий узел принадлежит окрестности предыдущего.
Принимая во внимание (16), получим у(х~ ) = у(х'). Повторяя предыдущие рассуждения сначала для узла хы затем для узла хз и т.д., получим у(х') = у(х~) = у(хз) =... = у(хь). Имеем Ьу(хь) = Р(хь)у(хь) + ~~) В(хь, 6) (у(хь) — у(6)) > геая'1т) > В(хь,хн)(У(хь) — У(хн)) > О, Это противоречит условию (13), и тем самым допущение (14) неверно.
Случай отрицательного минимума рассматривается заменой у(х) на — у(х). Теорема доказана. Еще раз специально подчеркнем, что принцип максимума устанавливается на любом связном подмножестве узлов Из разностной сетки й. 138 !Зава 4. Стационарные задачи тедеопроводности 4.3.3. Однозначная разрешимость разиостиых задач В краевых задачах для дифференциальных уравнений эллиптического и параболического типа принцип максимума позволяет доказать единственность решения.
В случае разностных задач ситуация еще более благоприятная — можно показать и существование решения. Разностная задача, записанная в канонической форме (1), представляет собой систему линейных алгебраических уравнениЯ, в которой число неизвестных равно числу уравнений. Поэтому лля того, чтобы зта задача была однозначно разрешима при любой правой части, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение имело только тривиальное решение. При рассмотрении разностного уравнения (!) на всей сетке й для каждого узла х возможны два случая. Первый из них связан с тем, что окрестность узла 97!'(х) есть пустое множество, и такой узел называется граничным узлом (см.„например, (7)). Второй возможный случай (внутренний узел) характерен тем, что 9Л'(х) содержит хотя бы один узел.
Если все узлы сетки внутренние, то й= гз 9Л'(х) =ы, ды =Ы,ш = а. я ее В зависимости от того, присутствуют ли граничные узлы или нет, сформулируем условия однозначной разрешимости разностной задачи, записанной в канонической форме (1), непосредственно вытекающие из принципа максимума (ге = ы). Следствие 1.
Пусть для разностного оператора (9), (10) выполнены условия (11) на связной сетке ш и ды ~ О. Тогда разностная задача (1) имеет единственное решение. Нам необходимо показать, что однородное уравнение йу(х)=0, хбй (17) имеет лишь тривиальное решение. Очевидно, что у(х) = О, х б ьу является решением (17). Покажем, что других решений нет. Для граничных узлов х б ды при выполнении (1!) из (17) следует, что у(х) = О, х б ды. Для внутренних узлов ш справедлив принцип максимума, в силу которого, с одной стороны, у(х) < 0 (не может достигать положительного максимума), а с другой стороны, у(х) > 0 (не может достигать отрицательного минимума).
Это возможно лишь при у(х) ь— з О, х б й. Обратимся теперь к случаю, когда сетка не содержит граничных узлов. Следствие 2. Пусть для разностного оператора (9), (10) выполнены условия (11) на связной сетке ш, и суи!ествует хотя оы один узел х' сетки ы, в котором 11(х ) > О, х Е ш. (18) Тогда лазностноя задача (11 нчеет единетяеяяпе «етеяяе 4.3. Равномерная сходнмоснгь разноснгнмх схем 139 Для однородного уравнения (17) мы можем применить принцип максимума (й = ы). В силу которого имеем у(а) < 0 (у(л) > 0), т.е.
имеетсл единственная возможность у(а) = сопзг, а б ы. На таких у(х) в точке х' имеем Лу(л') = 27(х')у(л') + ~~~ В(х', С)(у(х') — р(С)) = 27(х')у(х') = О. свае( '9 Тем самым у(л) = у(а') = О, а Е ы. На основании следствия 1 устанавливается однозначная разрешимость разностной задачи Дирихле (4), (5), коэффициенты которой удовлетворяют условиям (7), (8). Для доказательства разрешимости разностных задач с условиями третьего рода используется следствие 2. В качестве характерного примера рассмотрим задачу стационарной теплопроводности с конвективным теплообменом с внешней средой (см. п.4.1).
Искомая функция н(х) удовлетворяет уравнению (2) в прямоугольнике П, и заданы граничные условия третьего рода: ди -Ь(л) — (х) + о(л)и = у(л), хь = 0 дав ди Ь(х) †(а) + о(х)и = д(л), ав = 1„ а = 1, 2. дав В узлах равномерной сетки ы внутри области П исходное уравнение (2) аппроксимируется разностным уравнением (4), а граничные условия третьего рода (19) аппроксимируются со вторым порядком на решениях задачи (2), (19) аналогично одномерному случаю (см.
п.4.2). Например, лри х = (О, хз ), 7' = 1, 2,..., Лгз — 1 имеем ди Ь1 д / ди'ь - Ь(* рлз) ., = -Ь(*) — — — — ~Ь( ) — ) + О(Ь~) = да1 2 дл1 1, дх1 ) =-о(а)и(л)+у(а)+ — ~~(а)+ — ~й(л) — ) +0(Ь,)~ = 2 даз длз = — а(а)и(л)+д(л)+ — (г(и)+(азиз,)ь,)+(1Ь! ) Отсюда и следует аппроксимация второго порядка, которую запишем в виде: (19) Ь1 Ь! — а,(л;ь1 )у, +о(х)у — — (азуе,), = — з(а)+у(л), (20) Аналогичные аппроксимации используются и в других точках на границе дй. При записи разностной задачи в канонической форме (1) в узлах внутри й имеем выражения (6). Для узлов на границе дй в соответствии 140 Б~ава 4.
Стационарные задачи теплопроводности с (20) получим Р(х) > о(х). Принимая во внимание следствие 2, можем заключить, что разностная задача, соответствующая третьей краевой задаче (2), (19), при а(х) > 0 и а(х) > 0 хотя бы в одном узле на границе дй однозначно разрешима. 4.3.4. Теоремы сравнения На осиове принципа максимума доказываются теоремы сравнения для различных решений задач. Примером такого результата может выступать теорема 2 из п.4.1, Аналогичные результаты имеют место и в случае разностной задачи (1). Снова рассмотрим отдельно случай, когда имеются граничные узлы (дш ~ гз) и когда их нет (дш = гз). Теорема 2. Пусть для разностного оператора (9), (!0) выполнены устмия (11) на связной сетке ш и дш ф ш, а для сеточных функций р(х) и «(х) справедливы неравенства Лу<Л«, хЕы, и(х)<«(х), хбды.
(21) Тогда р(х) < «(х) и во внутренних узлах сетки х б ы. Для доказательства рассмотрим функцию о(х) = р(х) — «(х). Из (21) имеем Ле < О, х Е ш и у(х) < О, х Е ды. В силу принципа максимума получим и(х) < О, х Е ш, что и доказывает теорему 2. Для оценок разностного решения полезно следующее следствие из теоремы сравнения.
Следствие 3. Пусть у(х) и У(х) — решение задач Лр = Р(х), х Е ш, у(х) = о(х), х Е дш, (22) ЛТ = 3(х), х Е ш, У(х) = б(х), х Е дш. (23) Тогда, если (Р(х)~ < 3(х), х Е ш, !д(х)~ ~< 4!(х), х е дш, (24) то !у(х) ! < У(х) для всех х Е ш. Доказательство основано на применении теоремы сравнения 2 для функ« ий у(х) (-р(х)) и 1'(х).
Сеточную функцию У(х), присутствующую в этом утверждении, естественно называть махсорантной функцией для решения разностной задачи (22). Она определяется как решение задачи (23) при ограничениях (24). Бще проще формулируется теорема сравнения, когда граничных узлов нет. Теорема 3.
Пусть для разностного оператора (9), (10) выполнены условия (1!) на связной сетке Р = ш, и суиГествует хотя бы один узел х' сетки ш, в котором выполнено условие (13). Тогда, если для функций р(х) и «(х) имеет место Лу < Л«, х Е ш, то р(х) < «(х) во всех узлах сетки. 141 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
