Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Имеем Ь„()З(1 — хл м) — (1 — ах„)) + а„ай = О, (48) Ь„+1!Зй+ а„ы(!У(! — хл.ы) — (1 — ах„)) = О, где а„= (5й| — йз'у 4, а„+1 — — (й~ + Зйз)/4, Ь„= (Зй| + йз~/4 и Ь„~1 = (5йз-й1)/4. Принимая во внимание, что х„= 6-дй и хлы = 6+(1-й)й из (48) получим а = (!о+ (1 — а)р+ й(Л вЂ” й — (1 — р)!о)), !З = ра, Л(3+ Х) 5Х !о = Л = —. 5 — Х ЗХ+1 Предельный переход при й — 0 дает — 1 1!т а = ао, 1пп !З =,Оо, ао = (!о+ (1 р)с), Ро — — роо. ь-о л о С помощью линейной интерполяции доопределим сеточную функцию на всем отрезке 0 < х < 1 и при й -+ 0 получим предельную функцию 1 — аох, 0<х<6, и(х) = Д(! — х), 6<х<1, (49) Сравнивая (49) с (47), видим, что предельная функция Б(х) совпадает с точным решением задачи а(х) только при ао — — ао и Д = !Зо, а это возможно лишь при Х = 1, т.е.
при й1 = йз. Поэтому при й1 Ф йз разностная схема (45), (46) расходится. Нетрудно видеть, что функция й(х) есть решение задачи (42), (43) с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности, которое в точ- ке разрыва удовлетворяет неоднородным условиям сопряжения: АЗ [а(х)] = О, й — = Ч = ао(Х й)йз. дх~ Величина мощности сосредоточенного источника тепла д изменяется в широких пределах в зависимости от Х. Таким образом, физическая причина расходимости схемы (45), (46) проявляется в появлении допол- нительного источника (стока) тепла в точке х = 6, в том что в этой схеме нарушен баланс тепла (закон сохранения). Поэтому при постро- ении разностных схем необходимо ориентироваться на консервативные разностные схемы.
(25 4.2. Построение разнастних схем 4.2.6. Иптегро-иптерполяциоппый метод Для построения консервативных разностных схем естественно исходить иэ законов сохранения (балансов) для отдельных ячеек разностиой сетки. Такой метод построения консервативных разностных схем получил название интегра-интерналлцианний метод (метад баланса). К этому подходу тесно примыкает метод кантральнага абаема, который фактически не использует дифференциальную формулировку задачи и отражает законы сохранения непосредственно для отдельных ячеек среды. Рассмотрим применение интегро-интерполяционного метода на примере построения разностной схемы для модельной одномерной задачи (23)-(25), Обозначим д(х) = -й(х)ди/дх поток тепла.
Будем строить разностную схему на равномерной сетке Р. Проинтегрируем уравнение теплопроводности (23) на отрезке х; 1П < х < х;+1П.' лэт Ь+ П- а;- П = /(х) дх. (50) лит */' д(.) Г' дх и, ~ — и(= / — дх аг 1П3( / й(х) '- / й(х) (51) т-3 Обозначая (52) получим (53) %-цз орван 9+~/з т а~+1и~З. Балансное соотношение (50) отражает закон сохранения количества тепла для отрезка х; 1/з < х < х;+1П. Величина а; пз дает количество тепла, втекающее через сечение х;,П, аь,|П вЂ” количество тепла, вытекающее через сечение х;+,П. Дисбаланс этих потоков обусловлен распределенными источниками (правая часть (50)). В интегроинтерполяционном методе мы исходили из уравнения (23), в методе контрольного объема тоже соотношение (50) выписывается непосредственно. Для получения разностного уравнения из балансного соотношения (50) необходимо использовать те или иные восполнения сеточных функций.
Выразим потоки в полуцелых узлах через значения функции и(х) в узлах. Для этого проинтегрируемсоотношение ди/дх = -д(х)/й(х) на отрезке х; 1 < х < х<. Пгава 4. Стационарные задачи тенлопроеодности 126 При записи (52) величина о; имеет физический смысл среднего теплового сопротивления рассматриваемого отрезка х; ~7з < х < хс,цз. На осно- вании (50), (53) запишем для внутренних узлов разностиую схему (27) с правой частью гигго 1 1о = — 1,1(х) Их ь/ (54) *-нг 1раничное условие первого рода (25) аппроксимируется согласно (30). Для аппроксимации условия (24) снова используется ингегро-интерполяционный метод. Проинтегрируем уравнение (23) на отрезке 0 < х < х~ гз.
Соответствуюшее балансное соотношение теперь имеет вид: ~ггг в-91 = /.1(~)д*. о Как и ранее получим 9,7з = а,и, о, а для нахождения 9о используется граничное условие (24): уо — у, — оно. Это позволяет записать соотношение (32) при ггн 2 Г 1оо = — г,г(х) дх. ь/ о 1 / Уггы У' Уг Уг-~ 1 „~очгз оч, ) = 'Ргг 7г; г 1= 1,2,...,гг' — 1. (55) В (55) коэффициенты вычисляются по тем же формулам (52), (54), что и в случае равномерной сетки. Граничное условия имеют внд (30), (32).
Коэффициенты разностной схемы вычисляются с использованием тех или иных квадратурных формул. Например, для гладких коэффициентов первая формула в (29).,соответствует использованию формулы прямоугольников для вычисления интеграла (52), третья — формулы трапеций. Сравнивая со схемой (27), (30), (32), можем заключить, что консервативная схема имеет второй порядок аппроксимации для гладких коэффициентов и решений.
Эта схема принадлежит к классу однородных разностных схем (коэффициенты разностного уравнения и граничных условий рассчитываются по одним и тем же формулам для любою узла сетки). Полностью аналогично методом баланса строится разностная схема для модельной задачи в случае неравномерной сетки. Пусть на неравномерной сетке х; ~ гз = х< — й;/2, хсег гз = х;+ Ис,г/2. Тогда для внутренних узлов сетки получим разностное уравнение 127 4.2. Пас яроение разнос/нных схем Введем усредняющие анеранюры Стеклова с помощью соотношений." иЛ/2 Яи(х) = - /' и(0 К, ! Г Ь ./ е-Л/2 е+Л е Я+и(х) = — / и(о 46, Я и(х) = — / и(() 46. 1 г Ь/ Ф е-Л (56) В обозначениях (56) коэффициенты консервативной схемьг определя- ются выражениями: а(х) = (Я (й '(х))), 1а(х) = Яу(х), а балансное соотношение (50) есть результат применения усредняющего оператора Я к исходному уравнению (23): Я вЂ” — ( й(х) — ) ) = Я/ (х), х Е ы.
4 / Ии'л1 *)) Можно ввести оператор повторного усреднения Т = Я~ = Я+Я = Я Я+ (57) и строить разностную схему на основе применения оператора Т к исход- ному уравнению. Для усредняющего оператора Т с учетом (57) имеем Ти(х) = — ~ / (1+ Ь вЂ” х)и(1) 41+ (х+ Ь вЂ” 1)и(1) й1 1У Г *,-~л,/з 1 Я~и(х) = — )( и(6н хз) ~Кн Ь, *,-лан Ф2.~-Л2/2 1 Я, ( ) = — ( ~(*„ бз) 46 . Ьз (59) ю-Л~/2 Для уравнения (23) в таком варианте интегро-интерполяционного метода получим разностную схему (27) с коэффициентами: а(х) = Я й(х), х(х) = Ту(х).
(58) На основе ингегро-интерполяционного метода относительно просто с оягся разностные схемы н для многомерных задач. Некоторые более сложные случаи можно рассмотреть отдельно, а пока остановимс тр я на задаче стационарной теплопроводностн в однородной сРеде (33)-(35). Аналогично (56) зададим усредняющие операторы по отдельным направлениям, например, Пгава 4. С/нацнонарные задачи !лел«онрооодное/ли 128 По аналогии с (56), (57), (59) определяются операторы Я«+ и Т«2 22 = 1, 2.
Усредняющий оператор на плоскости естественно определить как произведение соответствующих одномерных операторов: Я = Я1 Яг, Т = Т!Тг. Построим для задачи (33)-(35) разностную схему на равномерной сетке на основе стандартного варианта интегро-интерполяционного метода. Для этого рассматривается уравнение баланса по прямоугольнику Й!4=(х~х=(х12хг) Х1! 112(х1(х1!2-1121 хгд цг(хг(хга+172). Такая процедура соответствует действию усредняюшего оператора Я к исходному уравнению: Яг«и = Яу(х), х е о/. На этой основе придем к разностной схеме (36)-(38) при «2.Н-1/2 «Ы 1 / / 1 г Их! ~ ! а1(х) = Яго/ (Ь '(х)) = — / ~ — / †) Ихг, Ь, ,) ~ Ь, ,1 Ь(х) ) «22-1/2 «1, -1 «12«/2 «22 — — 1 — 1 1 1 !1Х2 аг(х) = Я/лг (й (х) = — ) ( — ) †) дх1, Ь! Ьг Ь(х) «1, -1/2 «22-1 «22«/2 «12«/2 1 2 (Х) = 2182 / (Х) = — у(Х) дХ, Ь,Ь, ./ 4.2.7.
Рааиоетиые схемы метода конечных элементов Пост1юение разностных схем может осуществляться на основе метода конечных элементов. Снова рассмотрим модельное одномерное уравнение стационарной теплопроводности (23), ограничившись для простоты граничными условиями: и(0) = О, и(1) = О. (60) Будем использовать равномерную сетку й с шагом Ь. Проекционноразностную схему построим на основе метода Ритца. Поставленная задача (23), (60) эквивалентна минимизации функци- онала 2 ! / / Ии'2 ,У(и) = / ~ — ) дх — 2 2(х)и(х) дх. о о (61) «2,1-1/2 «1, -1/2 Аналогично рассматривается вариант с действием усредняющего оператора Т (в одномерном случае (27), (58)).
Та же техника позволяет рассматривать разностные схемы и для общего уравнения стационарной теплопроводности (33), (39), задачи с граничными условиями третьего рода. 4.2. Построение розностнмх схем 129 Я-! ин 1(х) = ~ ахи~а(х). (62) Функции в,(х), Й = 1, 2,..., Ж вЂ” 1 выберем в виде (рис.4.3): О, х<х; и х; ~<х<хо х — х;, Ь х,е! — х Ь О, (63) в;(х) = х;<х<хьп х) х;+ь х Рис. 4.3 х. «-1 Коэффициенты разложения определяются из системы линейных уравнений (9). Отметим, что в случае выбора функций вю Й = 1, 2,..., Г«г — 1 согласно (62), (63) и меем рь = аю Й = 1, 2,..., Рà — 1 и поэтому мы приходим к уравнению для определения сеточной Функции рю Й = 1, 2,..., !!à — 1. Непосредственные вычисления дают е;,« 1 Г ! à — / Й(х)Ых+ — / Й(х) 4х, Йз,/ Й,Г' ео е т«« 1 Г (Ьвп и~!+1) = — — / Й(х) 4х, Й'/ (Ьвн в!) = (Ьв;+и в;) = (64) со *««-« ! Г 1 Г (у, в;) = — / !о(х)(х — х; 1) Их + — ! <р(х)(х;«.~ — х) Ых, е « Будем искать приближенное решение задачи минимизации функциона- ла (61) в вице разложения (см.
(5) при М = Гà — 1): 1ЗО П(ава 4. Стационарные задачи теплопроводноети Полученную трехдиагональную систему уравнений для определения коэффициентов аы Ь = 1,2,..., Аà — 1, можно записать в виде разностиого уравнения (27). Соотношения (62) могут быль записаны в виде (58). Таким образом приведенная схема конечных элементов совпадает с разностной схемой, полученной на основе интегро-интерполяцнонного метода. Аналогично строятся разностные схемы при выборе базисных функций в виде кусочных полиномов более высокой степени (квадратичных, кубических и т.д.). В качестве иллюстративного примера построения схем конечных элементов в многомерном случае рассмотрим простейшую задачу стационарной теплопроволности в олноролной среде, когда (см.
п.4.1) процесс теплопроводности описывается уравнением (ЗЗ), (35) при Ь(х) = ! и пусть в (34) д(х) = О. Эта залача эквивалентна задаче минимизации функционала: о( (х) Для построения конечномерного подпространства разобьем исходную расчетную область Й на некоторые элементарные ячейки. В двумерном случае в качестве таковых естественно выбрать треугольники, причем внутри таких ячеек приближенное решение является линейной функцией. Связываясь с равномерной прямо"( угольной сеткой с шагами Ь, и Ь2, разоРис. 4.4 бьем окрестность узла (хн, хз ) на прямоугольные треугольники лиагоналями, которые проходят, например, через вершины узлов (хн,х2 ) и (х(; (,хзд (). В качестве базисных функций, связанных с внутренними узлами (хп, Х2 ), возьмем функции (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
