Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Аналитические методы в тепнолроводноетн твердых тел. Мл Высшая школа, 1979. 7. Коул Яак. Методы возмущений в прикладной математике. Мл Мир, 1972. 8. Ованнникавл В. 1)ьупловой анализ дифференциальных уравнений. Мл Наука, 1978. 9. Санчес-Палвнанн Э. Неоднородные среды и теория колебаний. Мл Мир, 1984.
10. ТихоновА. Н., СаиаргкнйА.А. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1972. 11. Чердаков П. В. Теория реьуляриого режима. Мл Энерпья, 1975. Глава 4 Стационарные задачи тепло проводности Изложение численных методов решения задач теплофизики мы начинаем с простейшей задачи, связанной с описанием стационарного температурного поля. Перенос тепла осуществляется теплопроводностью, а температура описывается эллиптическим уравнением второго порядка с соответствующими краевыми условиями. Излагаются основные вопросы теории разностных схем, связанные с переходом к дискретной задаче, ее исследованием и приближенным решением. Вначале мы приводим основные факты из теории краевых задач лля эллиптических уравнений.
Сеточная задача с необходимостью должна наследовать те или иные свойства исходной дифференциальной задачи. Например, таким свойством может выступать принцип максимума. Исследование краевых задач базируется на получении тех или иных априорных оценок решения задачи. Аналогичная техника используется и при обосновании сходнмостн разностного решения к точному.
В качестве основного применяется аппарат теории операторов в гильбертовых пространствах. Поэтому представляет интерес рассмотрение дифференциальных задач именно с этих позиций. Первый основной вопрос, который возникает прн решении прикладных проблем, связан с построением дискретной задачи. На примере простейшей одномерной задачи рассмотрены различные возможности пострв:ния сеточных задач.
Применяется, в частности, интегро-интерполяционный метод, который имеет прозрачную физическую интерпретацию. Разностные схемы могут быть построены на основе использования метода конечных элементов. Основной теоретический вопрос связан с оценкой погрешности приближенного решения. Формулируется принцип максимума лля разностных задач. С его помошью доказана сходимость приближенного решения к точному для простейших стационарных задач теплопроводности в равномерной норме.
На основе сеточных априорных оценок показана сходимость разностного решения в соболевских пространствах. Рассмотрены основные методы решения сеточных эллиптических залач. В простейших случаях, когда переменные разделяются, можно 4.1. Рраевие задачи для зеяиятическик уравнений второго порядка 103 применять быстрые прямые методы. В более общей ситуации привлекаются итерационные методы. Излагается общая теория итерационных методов в гильбертовых пространствах. Среди итерационных методов основные успехи связаны с построением треугольных итерационных методов вариационного типа.
Определенные сложности возникают при решении эллиптических задач в нерегулярных областях. Кратко рассмотрены основные подходы к решению таких задач. Традиционно широко для таких задач применяются методы с использованием нерегулярных расчетных сеток. Среди подходов к решению задач в нерегулярных областях отмечается метод фиктивных областей. В последнее время значительное внимание уделяется методам разделения (декомпозиции) сложных областей на простые подобласти. Кратко обсуждаются вопросы приближенного решения нелинейных стационарных задач теплопроводности. Основное внимание уделяется методу Ньютона — Канторовича.
4.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка 4.1.1. Линейное стационарное уравнение теплопроводноети Для общей анизотропной среды, занимающей ограниченную область Й, уравнение теплопроводности (см. п. 2.1) имеет вид: а у аи'! — ~й«р(х) — ) = з«(х), х = (х!, хг,..., хт) Е Й. (1) дх, ~, дхр) «р=! Здесь в силу симметричности тензора теплопроводности выполнены условия: й«з = йр„а,)з = 1,2,...,пз. Для рассматриваемого дифференциального оператора теплопроводности естественно считать выполненными условия равномерной эллиптичности: к, ~~УЬ«( ~~! й«р( ~р ( кз ~~! («, к! ) 0 (2) «=! «„в=! «=! для произвольных С„а = 1, 2,..., пз. Принимая во внимание движение среды„уравнение теплопроводности (1) дополняется слагаемыми с первыми производными: ~ й«р(х) ) + ~ ~Ь„(х) — = У(х), х «Й, (3) , ах. ~ а*,), дх.
гле через Ь,(х) обозначены соответствующие компоненты скорости. Егааа 4, Саааиоларные задачи глеллопроводности хай, (б) когда на границе поддерживается заданная температура. Для уравнений теплопроводности (1) и (3) граничное условие Неймана (заданный тепловой поток) имеет вид: да — =у(х), х Е дй, (7) где ди да — х,р — соз(н,х ) ди, ' дхр — производная по конормали, причем сов(н, х ) — направляющие косинусы внешней нормали н.
В случае уравнений (4), (5) условие (7) упрощается с учетом того, что; дн да — = Й(х) —, х е дй. (8) ди дп' Задача Неймана (1), (7) разрешима с точностью до постоянной только при выполнении условия 7(х) 4х + / д(х) Ив = О. Конвективный теплообмен с окружающей средой моделируется граничным условием третьего рода: дп ди — +в(х)а =д(х), х Е дй, тле Их1 > Π— козффнпнент конвектнвного теплообмена Более простые модели связаны с использование уравнения тепло- проводности в форме: д / дег - Š— (,й(*) —,) = ~(*), ,дх,~ дх ) (4) которое описывает перенос тепла теплопроводностью в изотропной среде.
Для однородной среды (х(х) = сопят) имеем уравнение Пуассона т — ~~~, — = 7(х), х б й (5) дх~ (с заменой 7(х) на 7(х)/й), Уравнения (1), (3)-(5) могут рассматриваться как основные при моделировании стационарной теплопроводности. Они дополняются со- ответствующими граничными условиями. В качестве основного выступает условие Дирихле: в(х) = у(х), х б дй, 4.1, Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка 105 Всюду, если не оговорено противное, считаем, что коэффициенты в уравнении и граничных условиях, граница расчетной области и само решение задачи и(х) достаточно гладкие.
Например, полагаем, что функция и(х) дважды непрерывно дифференцируема в области, т.е. и(х) Е с.а(й) и т.д. 4.1.2, Принцип максимума Будем рассматривать уравнение теплопроводности в наиболее общей форме (3). Отражением простого факта о том, что в теле максимальная температура достигается только на границе, если отсутствуют внутренние нсточ ники тепла, является принцип максимума для эллиптических уравнений второго порядка. Теорема 1. Пусть Ьи < 0 (Ти > 0) в ограниченной области й. Тогда максимум (минимум) функции и(х) достигается на границе области, т. е. шахи(х) = тах и(х) ! т1п и(х) = пцп и(х)).
(10) ьео ьевп ~ влй вело Из принципа максимума следует единственность решения задачи Дирихле (3), (6). Важнейшим следствием принципа максимума является теорема сравнения. Теорема 2. Пусть длл функций и(х) и о(х) имеют место неравенства йи<Ьо, хбй, и(х)<о(х), хбдй, (11) тогда и(х) < о(х) во всей области й. Принцип максимума дает возможность получить простейшие априорные оценки для задачи Дирихле (3), (6) в равномерной норме. Теорема 3. Длл решения задачи Дирихле (3), (6) справедлива оценка !!и(х)!!с1о1 < !!у(х)!!с(вп1+ М!!У(х)!!с(ор (12) где настоянная М зависит от диаметра области й и коэффициентов уравнения (3). Априорная оценка (12) отражает непрерывную зависимость решения задачи Дирихле от правой части и граничных условий. Аналогичная оценка имеет место и для третьей краевой задачи (3), (9), если а(х) отделена от нуля.
Теорема 4. Длл решения задачи (3), (9) нри выполнении неравенства о(х) > ао > 0 справедлива оценка !!и(х)!!с1п1 < М(!!й(х)!!с1во1+ !!У(х)!!с!о1), (13) , ~сюл~ччся йг чплчсчт от О Г, н настоянной вп 1йава 4. Стационарные задачи теплопроеодности 106 Вместо (3) рассмотрим теперь уравнение Ьи+ с(х)и = З (и), к Е Й. (14) На основе принципа максимума можно установить следующее утверждение. Теорема б. Для решения задачи (14), (6) при с(л) > 0 сяраеедлиеа оценка 1!и(лИ!с1п1 ~ Ь(л)!!с1вп1 + У~~)! с(х) ~ с1о1 (15) Обобшение простейших априорных оценок (12), (13), (15) в различных направлениях можно найти в литературе по уравнениям математической физики.
4.1.3. Задачи стационарной теплопроводностн в гнлъбертовом пространстве Сформулируем задачи стационарной теплопроводности в пространстве функций, квадратично интегрируемых на Й, т.е. в простейшем гильбертовом пространстве Х = Ьз(й). Скалярное произведение в Н определяется выражением (у,е) = / у(х)е(е) дх, дг д'1 Аи = — ~ — ( кол(х) — ), , дк, (, дал)' лбй (16) на множестве функций и(х)=0, лбдй. (17) Такой оператор А самосопряжен и положительно определен в Н (А = А' и А > бЕ, где Š— тождественный оператор), т.е.
(Аи,е) = (и,Ао), (18) (Аи, и) > б(~иц', б > О. (19) Доказательство (18) основано на использовании следующей формулы интегрирования по частям функции многих переменных: д~~ / Г дуз д*„ — уз(л) да = ~ у~(а)уз(х) соз (и, х,) дв — 1 — у~(х) дв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
