Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а Общее решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (10), (11) хорошо известно (см. п. 3.2) и может быть представлено в виде е(х, 1) = еа / С(х — с, 1) ехр ( — — ) ос, (12) где С(х, 1) = (4~п4) '~~ ехр (-х~/(4и1)). Решение задачи для уравнения Бюргерса (7), (8) получается из (12) в соответствии со связью (9). 3.3.2. Преобрааоваиия независимых переменных Упрощение исходного нелинейного уравнения может достигаться за счет преобразования зависимых переменных.
Используя автомодельные переменные, можно свести исходное уравнение с частными производными к обыкновенному уравнению. Проиллюстрируем такие способы на некоторых хорошо известных примерах. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности в виде (см. (6)): З.З. ?очные решения нелинейнмл задач Будем исюпь решения уравнения (13), которые зависят только от одной переменной С = С(х, 1) — соответствующие решения и(х, 1) = о(С) называются аатаиадельнмии решенияии. Для уравнения (13) в качестве автомодельной переменной можно х 21цт' С учетом (14) для первмх производных имеем ди С йи ди 1 йо 81 21 й(' дх 21Ю ~Ц' (14) йо й / йи~ -24 — = — й(и)— й6 й61. Ы Тем самым для построения точного решения нелинейного уравнения теплопроводности (13) нужно найти решение обыкновенного дифференциального уравнения (15).
Во многих интересных случаях это можно сделать аналитически. Построим для уравнения (13) автомодельное решение типа бегущей волны: (16) С=и — Р1, где Р = солзг — скорость движения тепловой волны. Подстановка (16) в (13) дает для и(с) обыкновенное дифференциальное уравнение Из уравнения (15) непосредственно следует йи Ро + й(о) — = сопз1. Щ Выбирая постоянную равной нулю, получим й(и) йо — — = -Р. и йй Отсюда следует, что — йл = -Рр. +сопзг.
й(з) з (17) ь Конкретизация выбора коэффициента й(и) (см. задачу 2) позволяет на основе П 71 провести дальнейшие выкладки. Уравнение (13) при использовании автомодельной переменной примет вид (15) Йвзва 3. Анолитичепсие методы теплопроводности Автомодельное решение типа бегущей волны хорошо изучено для уравнения теплопроводности с нелинейным источником: дм дзв — = — + У(в), д1 дд уравнение Колмоюрова — Петровскою — Пискунова.
3.3.3. Общие преобразования Построение точных решений нелинейных уравнений может проводиться на основе одновременного преобразования как независимых, так и зависимых переменных. Поиск таких преобразований ведется в настоящее время на основе группового анализа уравнений. Ищутся такие преобразования, при которых исходное уравнение не меняется, остается инвариантным. Знание группы преобразований помогает находить частные решения, строить новые. Для модельного уравнения (13) ищутся преобразования зависимых и независимых переменных вида: в = в(х, 1, а, ан аз,..., а~), т = т(х,1, а, ан аз> ., а~), о = о(х, 1, и, а„аз,..., а~), (18) этого уравнения при й(в) = а з.
Для этого используется преобразование Гди~ ' я=о(в,т), т=1, м(х,т)= ~ — ) (19) Из (13), (19) непосредственно вытекает — — — — — = О. Отсюда следует, что всякое решение линейного уравнения до д~о — — — =О дт двз преобразованием (19) переводится в решение квазилинейного уравнения (13). 3.3.4.
Задачи Задача 1. Получите автамодельное решение двухфазной задачи Сте- фана в однородной среде, занимающей полупростронство, при ераничных условиях первого рода. где ан аз,..., а~ — параметры группы преобразований. В качестве примера преобразований типа (18), полученном при групповом анализе уравнения (13), отметим возможность линеаризации 3.3.
Точные решения нелинейных задач ,91 Решение. Ищется решение уравнения ди дзи дт дхз в отдельных фазах с граничным условием и(0, С) = и = сопзГ. (20) Начальное состояние характеризуется постоянной температурой г: и(х, 0) = К (21) В точке х = г1(Г) > 0 происходит фазовый переход и пусть температу- ра фазового перехода равна нулю. Тогда выполнены условия сопряжения: и(х — 0) = и(х+ О) = О, х = гу(Г), (22) ди ди бп — (х — 0) — — (х+0) = Ь вЂ”, х =0(Г). дх дх бг' (23) Будем искать решение, зависюцее от автомодельной переменной С (см, (14)). Для определения о(с) при й(о) = 1 получим )'а1+о1егг" (С), 0< С < а, 11 аз+ йз егг (С), а < С < оо, где параметр а = ОГ'(2Ги ) определяет положение границы фазового перехода, а 2 егг" (х) = — / е бв (н)!/2 / о — интеграл ошибок.
Подстановка (24) в (20)-(22) позволяет найти постоянные и а1 = и, ь,=- —, егг" (а) ' У егг (а) аз = Ьз = 1 — егг" (а) ' 1 — егг" (а) Для нахождения границы фазового перехода а из (23) получим уравнение: и Р Ба + =- — е егу (а) 1 — егг (а) яип На основе полученного решения можно рассмотреть и автомодельное решение однофазной задачи, когда 1г = О. Задача 2. Рассмотрите процесс распространенна бегущей тепловой ваены но среде с нулевой температурой прн степенной зависимости коэффициента теплопроводностн от температуры. 92 Егавя 3. Лиолитические методы теллоироеодиости Реисеиие. Рассматривается автомодельное решение (16) уравнении (13) при Гг(и) = и~, о = сопаГ > О. (25) Уравнение (17) при (25) дает — о = — 27С+сопзГ. е (26) о Полагая константу интегрирования равной нулю, получим, что о > О при С ( О. Из (26) следует Это решение характеризуется конечной скоростью (параметр 27) распространения тепловых возмущений.
ь 3.4. Асимптотические методы теплопроводпости 3.4.1. Регулярный решим теплопроводиоети При описании процесса распространения тепла в твердом теле выделяют три стадии. В качестве одной из ннх выступает стадия регулярного режима, которая реализуется при достаточно больших временах. Поэтому рассмотрим более подробно асимптотическое поведение решения уравнения теплопроводности от времени. Пусть температура определяется из уравнения ди с(х) — = б1т(й(х)риби), х Е й, Г > О, (1) дополненного начальным условием (2) и(х, О) = ие(х), х Е й, и стационарными граничными условиями третьею рода: гг(х) — + а(и(х, г) — д(х)) = О, х Е дй. ди (3) дп При $ — со решение задачи (1)-(3) стремитсл к стационарному, которое обозначим и (х).
Оно определяется из уравнения б1т (й(х) раба, ) = О, х Е й и граничных условий ди 1г(х) — + а(и (х) — д(х)) = О, х 6 й. 151 3.4. Лсимнтотические методы теллонрооодности Решение задачи (1)-(3) представим в виде: в(х, 1) = в„(х) + 1о(х, 1). Для отклонения от стационарного решения из (1) — (3) и (4), (5) получим: дш с(х) — = Йт (й(х) дгаб ш), д1 |о(х, 0) = ве(х), дш й(х) — +аш(х,1) = О, х Е дй. (8) Для проведения асимптотического анализа решения задачи (6) — (8) используем метод разделения переменных (см. п. 3.2).
Имеет место представление ш(х,1) = ~~~ '(ио,о;),е хне;(х), (9) нн где Л; и о;(х), 1 = 1,2,... — собственные функции и собственные значения задачи: д1т (й(х) дгаб о) + Лс(х)о = О, х Е й, (10) й(х) — + ао(х) = О, х Е дй. до (П) дп Поведение температуры при малых временах характеризуется тем, что в разложении (9) необходимо учитывать все гармоники, решение существенно зависит от начального распределения. На развитой стадии процесса, при достаточно больших временах реализуется так называемый регулярный режим тенлообмена.
В этом случае в силу быстрого возрастания собственных чисел Л; с номером гармоники 1 влияние высших гармоник практически не проявляется и позтому зта аснмптотическая стадия процесса характеризуется тем, что ш(х,т) то(х,1) ьз (ио,о1),е ""о,(х), (12) т.е. поведение решения определяется только первой гармоникой. На данной стадии процесса влияние начальных условий, распределение начальной температуры играет второстепенную раль. И наконец, третья стадия процесса соответствует стационарному режиму, когда ш(х, 1) = О.
На стадии регулярного режима имеем из (12) 1 до — — -Л~ = сопзг. о д1 Тем самым относительная скорость изменения температуры для регулярного режима постоянна (не зависит ни от координат, ни от времени). В теории регулярного теплообмена большое внимание уделяется выявлению зависимости темпа охлаждения Л1 от граничных режимов и теплофизичесхих свойств среды. Пгява 3. Аналитические методы теплопроеодности Цв(х)Исш1 =.гпах!в(х)!. веп Для регулярно возмущенных задач Ци,(х) — ио(х)1!с1п1 -" О, если г - О.
(13) Для сингулерно возмущенных задач условие (13) не выполнено, типичной является ситуация, когда !!в,(х) — вч(х)ис1о1 — О, если е — 0 при Р С й, т. е. близость имеет место не во всей области й, а только в ее некоторой подобласти Р. Задача асимптотического анализа состоит в построении функции У(х, г) такой, что 11и,(х) — У(х,е)Пс1п1 - О, если е- О. Обычно асимптотическое приближение У(х, е) строится в виде ряда по степеням малого параметра: О> ГГ(х,е) = ~ е~вь(х,е). (14) а=о Особенности сингулярно возмушенных задач удобно проиллюстрировать на простейших примерах.
Рассмотрим следуюпГую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: д вг двг — '+е — '=О, 0<х(1, дх' дх в,(0) = О, в,(1) = 1. (15) (1б) 3.4.2. Методы воамущвиий В аналитической теории теплопроводности значительное внимание уделяется методам возмущений. Въшеляются малые параметры задачи в уравнениях, граничных условиях и проводится исследование зависимости решения от таких параметров. Влияние малого параметра (параметров) на исследуемый процесс проявляется в той нли иной зависимости решения соответствующей задачи от малого параметра. В регулярно возмущенных задачах малый параметр приводит к малым изменениям решения задачи, если это не так, то мы имеем сингулярно возмущенную задачу.
Существенное изменение решения за счет малого параметра в сингулярно возмущенных задачах происходит в части расчетной области (пограничные слои, внутренние слои и т.д.). Чтобы не загромождать изложение несущественными деталями, ограничимся простейшими модельными стационарными задачами теплопроводности. Пусть в,(х) — решение возмущенной задачи, а вч(х) невозмушенной (для которой параметр е = 0).
Близость возмущенною решения к невозмушенному в области й будем оценивать в равномерной норме: 3.4. 4симлтотические методы таиояроеодюозсти -ей в,(х) = 1 — е ' (17) Для вырожденной задачи (е = 0) имеем ве(х) = х. (!8) Из (17), (18) непосредственно получаем ~)в,(х) — ие(х)1!с!есй = 0(е), т. е. задача (15), (16) с преобладанием теплопроводности (параметр е мал) регулярно возмущенная.
Нетрудно выписать для нее н соответствующее асимптотическое разложение (14). Для этого подставим (14) в исходное уравнение (15) и приравняем члены при одинаковых степенях е. Для нахожления вь получим задачу: две две ~ — + — =О, дхз дх вь(0) = О, 0 <х'<1, вь(1) = О. Примером сингулярно возмущенной задачи является задача 4 ве две е — + — =О, 0<х<1, (19) дхз дх в,(0) = О, в,(1) = 1, (20) которая отличается от задачи (15), (16) только тем, что малый параметр стоит теперь возле второй (старшей) производной (малый параметр е заменен на большой — 1/е).
В задачах тепло- и массопереноса эта ситуация соответствует преобладанию конвекции над теплопроводностью. Точное решение сингулярно возмущенной залачи (19), (20) имеет вид 1 — 'е *~' в,(х) = (2!) Как следует из уравнения (19), ве(х) есть постоянная. Постоянная ие(х) выделяется граничными условиями, но какое из двух граничных условий (20) выбрать априори неясно. Член пропорциональный е отвечает за диффузию тепла за счет теплопроводности, а второй член отражает конвективный перенос за счет движения самой срелы, Для конвективного слагаемого естественны условия, которые сответствуют заланию граничных условий там, где среда движется внутрь Краевая задача (15), (16) соответствует описанию стационарного температурного поля с учетом конвективного переноса. Анализ наиризлен на то, чтобы понять особенности задач с преобладающим конвективным переносом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
