Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Математические модели теплофиэики с соответствующим выражением для диссипативной функции Ф: Переход к переменным «функция тока, вихрь скорости» несколько упрощает исходные уравнения. В частности, вместо трех уравнений (уравнение непрерывности и два уравнения для компонент скорости) имеем два стандартных уравнения математической физики для функции тока (14) (эллиптическое уравнение) и для вихря скорости (15) (параболическое уравнение). Однако для таких новых неизвестных определенные сложности возникают при реализации граничных условий, Например, условия непротекания и прилипання (см. (9)) дают лва условия для фунютии тока: ф=сопм, — =О, (х,р) Едй.
дф (17) дп Тем самым мы имеем два условия для уравнения (1б), но не имеем условий для вихря скорости. Кроме того, величина константы в условиях (17) может быть не задана (например, при течении в многосвязных областях), а определяется нз дополнительных условий (см.
задачу 2). 2.4.3. Свободная коивекция Большое внимание в теоретических исследованиях проблем тепло- и массообмена уделяется свободной конвекции — движению жидкости в поле сил тяжести, обусловленному неравномерностью температурного поля. Жидкость обычно считается несжимаемой и изменение плотности учитывается только в задании гравитационных сил. Температура и плотность отсчитываются относительно некоторого стационарного равновесного состояния Та = сопя, ра = сопя. Поэтому Т = Та+ Т', р = ре + р' и Т', р' малы.
Изменение плотности с температурой учитывается следующим выражением для р: р' = -ратуТ', где д — коэффициент температурного растворения. Производится линеаризация уравнения Навье — Стокса (5) при условии, что т" = рб, где 8 — вектор ускорения свободного падения. В линейном приближении (приолижении Буесинеска) получим /дт т ртт — +»~габт) = — бгадр +»1Ьт — турйТ'. (,и Уравнение для температуры берется в виде: Г дТ' сэр~ — +тбгадТ' =д1т(йбтадТ«)+т1Ф, ~и (19) Система уравнений (2), (18), (19) является основной для описания свободноконвективных движений жидкости.
Она дополняется соответствуитттньттт тознн чи,тмн н на талын,тмн чглсвиямн 61 2.4. Конвектиенмй тенлообмен 2.4.4. Другие модели Отметим в качестве важных прикладных моделей тепло- и массопереноса модели установившегося течения однородной несжимаемой жидкости по трубе произвольного сечения. Будем считать, что на границе поддерживается постоянный температурный режим. Пусть ось трубы совпадает с осью х.
Скорость жидкости направлена по оси е и является функцией координат х и у. Аналогично Т = Т(х, у). В этих предположениях уравнение непрерывности (2) выполняется тождественно, уравнение движения (5) дает: — =О, др (20) дх др — =О, ду д2 дз + (22) дх~ ду~ О да Из уравнений (20), (21) следует постоянство давления по сечению трубы и в силу а = а(х, у) из (20) имеем бр/бх = сопзГ = бр/1, где бр — заданная разность давлений на концах трубы, а 1 — длина трубы.
Уравнение Пуассона (20) лля распределения продольной скорости рассматривается в сечении трубы й и дополняется граничным условием прилипания: а = О, (х, у) Е дй. (23) Аналогично для температуры однородной жидкости из (7), (8) полу- (21) — + — =-- — + (24) 1раничное условие имеет вид; Т=То = солж, (х,у) Е дй.
(25) Уравнение (24) и граничное условие (25) определяют поле температур при предварительно рассчитанном по уравнению (20) и условию (23) полю скоростей. В обоих случаях мы имеем дело с классической задачей Дирихле для уравнения Пуассона. Многие упрощенные модели базируются на предположении о слабых изменениях скоростей и температуры в продольном направлении по сравнению с изменениями в поперечном направлении.
На этом основаны, в частности, модели тонкого слоя, пленочных течений и т.л. Наиболее известной моделью такого класса является модель пограничного слоя. Рассматривается в качестве примера обтекание тонкой пластины вязкой теплопроводной несжимаемой жидкостью (рис. 2.4).
Ось х направим влоль пластины, а у — поперек. Вблизи границы существует небольшой слой, где происходит существенная перестройка течения (жидкость 62 багаза 2. Магяематические модели аеляофизики замедляется). Эта тонкая, примыкающая к границе обтекаемого тела область называется пограничным слоем. Аналогичная перестройка течения происходит и на входе в плоскую щель (рис. 2.5). Считая течение стационарным и плоским (двумерным), уравнения логранинного слоя при обтекании пластины можно записать в виде: дв дв дзв и — +9 — =и —, (26) дз ду дуз ди до — + — = О.
(27) дк ду Уравнения (26), (27) рассматриваются при соответствующих граничных условиях. Как мы видим (см. уравнение (26)), приближение пограничного слоя базируется на пренебрежении вторыми производными в продольном направлении. Аналогичным образом рассматривается и тепловой пограничный слой. Считаем, что набегающий поток имеет некоторую постоянную температуру.
Тогда стационарное уравнение теплопроводности в этой движущейся однородной среде примет вид д2' дТ д'2' в — +о — =а —, (28) дз ду дуг где, напомним, а — козффициент температуропроводности. Укороченные уравнения Навье — Стокса типа уравнений пограничного слоя (26)-(281 лежат в основе многих прикладных исследований. 2.4. Конвективный теплообмен В частности, многие классы свободноконвективных течений могут ис- следоваться на основе приближения пограничного слоя.
2А.б. Задачи Задача 1. Выпишите уравнение для давления при моделировании плос- ких течений несжимаемой хсидкости в переменных «функция тока, вихрь скорости». Решение. Уравнение Пуассона для давления получается при применении к уравнению движения (5) операции 41т с учетом условия несжимаемости (2).
В плоском случае уравнения движения имеют вид: ди дв да 1 др — + а — + о — = — — — + игьв + у„ дг дк ду р дк до до до 1 др — + а — + о — = — — — + иЬо + ге. дг дк ду рду (29) (30) Дифференцируя уравнение (29) по к, уравнение (30) — по р и учиты- вая (12), получим Р(о, и) «ьр = — 2р 22(*, р)' Подстановка (13) в (3 1) дает искомое уравнение (31) (32) Задача 2.
Сформулируйте условия на твердой границе для однтнач- ного определения функции тока при моделировании плоских течений в двухсвязной области. ф=0, (к,у) ЕГ, (33) ф =сопи, (х,у) Е у. (34) Для того, чтобы определить неизвестную постоянную в (34), воспользуемся следующим соотношением на границе у: др ды — — — (х,у) е у, я. л„' (35) Решение. Пусть двухсвязная область й имеет внутреннюю границу у и внешнюю Г. На обоих частях границы (см.
(17)) функция тока постоянна. Компоненты скорости определяются первыми производными функции тока (13). Позтому мы можем определить функцию тока с точностью до постоянной. Положим Глава 2. Матемаглические модели глеллофизики, где д/да — производная по касательной. Соотношение (35) получаем при рассмотрении уравнений движения (29), (30) на границе у с учетом условий прнлипания и непротекания. Условие однозначности определения давления на у дает из (35) следующее соотношение: дм — де = 0 д 1 т (Зб) которое и дополняет граничные условия (33), (34).
Дополнительное условие типа (36) может Формулироваться и на внешней границе Г. Заметим, что условие (35) и аналогичное условие 2.5. Тепловое излучение твердых тел 2.5.1. Основные положения теплообмена излучением Нагретые тела излучают в окружающее пространство энергию в виде колебаний электромагнитного паля. Кванты энергии имеют скорость с, длину волны Л и частоту и, причем с = Ли.
Энергия кванта определяется выражением Ы, где Ь вЂ” постоянная Планка. Обозначим через Е плотность потока поверхностного излучения, проходящего через единицу площади поверхности и переносимой квантами различных частот. Для единичного интервала частот соответствующая величина называется спектральной (монохроматической) плотностью и обозначается Е„: Е дЕ (1) ди Излучение, попадаюшее на некоторое тело, частично отрюкается, частично поглощается, а также частично проходит через него.
В частности, когда все излучение поглощается, мы имеем дело с абсолютно черным телом. Математические модели переноса тепла излучением сложны и трудны для численного исследования. Трудности порождаются, в основном, тем, что полные модели базируются на использовании многомерных уравнений переноса. В ряде случаев можно ограничится более простыми моделями. В частности, большое внимание уделяется многогрупповым диФФузионным приближениям, приближениям лучистой теплопроводности и оптически тонкого слоя. Вр В.
— — — (х,у) б "у, дя дв' могут рассматриваться как граничные условия для определения давления (см. уравнение (32)), при условии, что псле скоростей, а значит, и вихрь скорости ы, известны. 65 2.5. 2Ьиооое излучение твердых тел ~,„з Е„= 21г— сз етч(т 1 ' (2) где пг — постоянная величина. Для интегральной плотности потока с учетом (1) нз (2) получаем Е = / Е„г1н = аул. (3) о Соотношение (3) известно как закон Смефана — Больцмана, а о — постоянная Стефана — Больцмана. Реальные твердые тела не полностью поглощают излучение.
Для их характеристики используют понятие степень черноты е, (е < 1) и используются законы Планка и Стефана — Больцмана с таким поправочным коэффициентом. Например, для плотности потока вместо (3) используется вы аженне: р Е = еоТ4. (4) Степень черноты обычно постоянная величина, В более общем случае ее часто считают зависимой от температуры, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
