Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Например, для уравнения теплопроводности (1) может быть поставлена первая краевая задача„когда уравнение дополняется началь:но чг"тввсч г".~ . гонии:палм г1г~виео вгагюга воза Г51 ~с~к огв н:, 47 2.2. Замыкающие соотношения ставится вторая краевая задача, когда вместо (5) используется условие (6), третья краевая задача — условие (9). Можно вьшелнть в качестве самостоятельного объекта исследования случай, когда на части границы бй1 заданы граничные условия одного рода, а на оставшейся части дйз (д11з = дй '1 дй1) — другого. Например, для уравнения (1) граничные условия могут иметь вид: Т(х, у, х,1) = у(х, у,х,1), дТ й — = д(х, у, х, 1), (х, у, х, 1) Е Гп (х,у,з,1) Е Гз, 1) решение задачи существует; 2) это решение единственно; 3) решение непрерывно зависит от коэффициентов уравнения и дополнительных условий (граничных и начальных условий).
Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то задача относится к классу некорректно поставленных задач. Чаще всего некорректность связывается с нарушением условия устойчивости решения (условия 3) по отношению к малым возмущениям входных параметров задачи. Интерпретация краевых задач с точки зрения причинно-следственных связей позволяет рассматривать краевые задачи как прямые задачи для уравнения теплопроводности. Нарушение причинно-следственных связей в обратных задачах проявляется чаще всего в том, что обратные задачи являются некорректно поставленными.
Обратные задачи для уравнения теплопроводности состоят в том, что необходимые замыкающие условия (граничные и начальные) не полностью заданы или/и не полностью определено само уравнение (не заданы коэффициенты, правая часть, не определена расчетная область). Вместо этого известна некоторая дополнительная информация о решении, уравнении, области и т.д. Надо иметь в виду, что эта дополнительная информация может задаваться в самом различном виде. Некоторые возможности в этом направлении рассматриваются ниже.
где Г = ((х, у, х, С) / (х, у, х) Е дй~, О < 1 < 1~~), а = 1, 2. Тем самым мы имеем смешанные граничные условия, смешанную краевую задачу. Отмеченный класс краевых задач характеризуется тем, что дополнительные условия задаются на границе дй (боковой поверхности Г) и при 1 = О (начальные условия). Это важнейший класс задач для уравнения теплопроводности, хорошо исследованный в теории уравнений с частными производными, Рассматриваемые краевые задачи относятся к классу корректно поставленных (корректных по Адамару).
Напомним, что задача для уравнения с частными производными называется корректно поставленной задачей, если выполнены следующие три основные условия: Глава 2, Математические модели теплофизики 48 Простейшим примером обратной задачи теплопроволности может служить задача, для которой вместо начальных условий (2) при $ = 0 заданы условия (4) на момент времени 1 = 1ь>ь„(ретроспективная обратная задача теплопроводности, задача с обратным временем). Важное прикладное значение имеют обратные задачи для уравнения теплопроводности, когда не заданы необходимые граничные условия.
Например, на части границы дй1 заданы два условия, а на оставшейся части границы дйз условия не заданы, например, Т(х>д>а>1)=д(х,у>х,1)> (х>у>л>С) ЕГ~> (22) ОТ й — = о(х, у, л, 1), (х, у, л, 1) б Гн (23) Такая ситуация имеет место, когда по каким-либо причинам часть гра- ницы дй, недоступна для прямых измерений температуры и теплового потока. 2.2.4. Задачи оптимизации Т(х,у,л,1)=е(х,у,х,1), (х,у,з,$)ЕГп (24) где е — искомая функция. Решение уравнения теплопроводности (1), дополненное начальным условием (2) и граничными условиями (22), (24), обозначим Т = Т(е; х, у, з, 1).
Граничный режим на Г (функцию я>) определим из условия (см. (23)): .Т(и>) = ппп.7(е), ч (25) где (26) оп> Подобным образом формулируются и задачи оптимального упраале"нч ллл чравненнч топ.>опроволностн Чзлача нннимизапнг> (29 Оь1 В обратных задачах теплообмена дополнительная информация может иметь простейший вид и соответствовать заданию температуры и/или теплового потока во внутренних точках расчетной области й и/или на ее границе, как и в прямых задачах теплообмена.
Вьщелим отдельно класс задач, в которых неизвестные величины определяются на основе минимума одного или нескольких функционалов. Речь идет о задачах условной минимизации, когда ограничения состоят в том, что минимизация ведется на решениях краевой задачи для уравнения теппопроводности.
Тем самым речь идет о задачах оптимизации Йи ураененип теплопроеодности. Например, обратная задача по восстановлению граничного режима (1), (2), (22), (23) может быть сформулирована и как задача оптимизации. Обозначим 49 2.2. Замыкающие соотношения 2.2.6. Задачи Задача 1. Внутри иэотропной среды находится однородное включение е границей Я, коэффициент теплопроводноети которого значительно больше коэффициента теплопроводности среды.
От включения в окружающую среду передается количество теплоты Ггв(1). Рассматривая процессы теплопроводности в среде, сформулируйте необходимые граничные условия на границе включения. Решение. В силу того, что коэффициент теплопроводности включения значительно выше, чем для окружающей среды, можно считать, что на Я поддерживается некоторая постоянная температура: Т(х,р,я,1) к до(г), (х,у,х) Е Я. Зта температура определяется из дополнительного интегрального соотношения. В силу закона сохранения энергии имеем дТ й — Ив = дя(ь). дн (28) оп Условия (27), (28) есть искомые нелокальные условия на границе включения Я. Учет теплоемкости включения приводит к уточнению условия (28): дТ ддо й — дя = Мс — + дэ(1), дн дг где М вЂ” масса включения, а с — его удельная теплоемкость, ! Задача 2.
Сформулируйте условия идеального контакта длл уравнения тепяопроводности движущихся сред. Решение. Рассматривается уравнение теплопроводности (см. (5), п. 2.1), которое удобно переписать в каждой отдельной среде в виде ВТ ео — 4-41ч(чсрТ1 — T41ч(срч) = д!ч(йагадТ)+ 7. :н на множестве ограничений (1), (2), (22), (24) в этом случае интерпретируется следующим образом, Необходимо определить граничный тепловой режим (24) (оптимальный режим) с тем, чтобы достигалось необходимое качество (функционал (26)). Таким образом, можно выделить три основных класса задач для уравнений теплопроводности. Первый из них связан с рассмотрением стандартных краевых задач — прямых задач теплообмена. Второй класс прикладных задач — это обратные задачи теплообмена, третий — задачи оптимизации, задачи оптимального управления.
50 1лава 2. леатемавические модели веллофизики Рассуждения, подобные проведенным выше, позволяют сформулировать следующие условия сопряжения: [Т] = О, (х,у,с)ЕЯ, (х,у,з) Е Я, ! дТ К вЂ” — срцТ =О, дп где с„ — нормальная компонента скорости. 2.3. Фазовые превращения 2.3.2. Классичесиая задача Стафаиа Мы рассматриваем фазовые превращения с участием твердой фазы— твердое тело — жидкосп. Примером таких проблем являются процессы затвердеваиия и плавлеиия в металлургии. Соответствующие математические модели характеризуются наличием подвижиых заранее иеизвестиых границ фазового перехода — задач со свободными (иеизвестиыми) границами. дТ е р — =О1т(к рабТ )+у, (х,у,с,1) Е ГЕ, (1) где Я = ((х,у,а,1) /(х,у,с) Е й, 0 <1<1,„).
Учитывая коивективиый перенос в жидкой фазе, получим / дТ+ сер+( — +туабТ+ 1 =ОБ(к+атабТ+)+1+, (х,у,л,1) 69+. (2) Основная предпосылка при моделироваиии фазовых превращений твердое тело — жидкость состоит в том, что фазовый переход происходит при заданной постояииой температуре фазового перехода Т'. Пусть фазовый Го) переход происходит иа границе раз- дела фаз, которую мы обозначим Я, й причем Я = Я(1).
Эта граница разделяет расчетную область й иа дхх подобласти. Область й+(Ф), занятая Ряс. 2.1 жидкой фазой, где температура пре- вышает температуру фазового перехода, есть й"(1) = ((х,у,з) Е й, Т(х,у,з,$) > Т" ). Соответственно, область й (1), занятая твердой фазой, й (1) = ((х, у, л) ~ (х, у, а) Е й, Т(х, у, а, г) < Т') (см. рис. 2.1). Аиалогичиые обозначения используем и для теплофизических величин в каждой отдельной фазе.
Выпишем соответствующие уравиеиия теплопроводиосги. В твердой фазе имеем 2,3. Фазовые нрввратяения 51 (х,у,а) б Я(1) Нас интересуют условия на границе фазового перехода Я. Прежде всего на этой границе контакта двух сред справедливы предположения о непрерывности температуры, т.е. [Т[ =О, (х,у,а) Е Я.
(3) Фазовый переход сопровождается выделением/поглощением определенного количества тепла. Поэтому тепловой поток на границе фазового перехода разрывен и определяется величиной я — ~ = -ЬК„(хт у, а) Е Я. ЯТЕЙ (4) Здесь Х вЂ” знтаяьния фазового нерехода, а ӄ— скорость движения границы фазового перехода по нормаяи. Как мы уже выше отмечали, предполагается, что фазовый переход происходит при постоянной температуре Т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
