Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е = е(Т). 2.5.2. Граничные задачи теплообмева е учетом валучеввв На основе простейшего описания излучения с использованием закона Стефана — Больцмана (3) (или (4)) можно формулировать сопряженные задачи теплопередачи теплопроводностью и излучением. Речь идет об обычном уравнении теплопроводности внутри твердого тела и уточнении граничных условий с учетом излучения и поглощения. Рассмотрим одиночное твердое выпуклое тело Й с границей дй. Передача тепла внутри тела осуществляется теплопроволностью и поэтому (см. п.2.1) ср — =йт(ййгв1Т)+~, (в,у,л) б Й.
дТ д8 (5) Учитывая только собственное излучение твердого тела и конвективный теплообмен с окружающей средой, на границе дй сформулируем граничные условия третьего рода: л — „+а(Т вЂ” Т,)+еоТ~= 0, (в,у,з) б дй. (б) Мы ориентируемся на описание процессов теплообмена в твердых телах. Большинспю не очень тонких твердых тел практически непрозрачно для тепловых лучей. Поэтому оправдано предположение о том, что процессы поглощения и отражения протекают только на поверхности твердых тел.
Математические модели радиационного теплообмена существенно упрощаются. Спектр излучения абсапотно черного тела с температурой Т определяется законом Планка: В~ива 2, Математические модели телло4изики Ц>аничное условие (6) уточняется в случае, когда необходимо принимать во внимание и излучение окружающей среды, внешнее излучение и т.д. Аналогичное замечание можно сделать в случае невыпуклой границы бй, когда необходимо учитывать поглощение излучения от отдельных участков границы (самооблучение). Как мы видим, математические модели процессов теплопередачи в твердых телах с учетом излучения в данном случае несущественно сложнее моделей передачи тепла теплопроводностью.
Надо только отметить, что граничное условие (6) существенно нелинейно. Граничное условие с учетом закона Стефана — Больцмана в приближении абсолютно черною тела и окружающей среды записывается в виде: гг — + а(Т вЂ” Т,) + а(Т вЂ” Т, ) = О, (х, у, а) Е дй.
дТ 4 4 Это условие можно записать как обычное условие конвективного тепло- обмена дт й — +а,(Т вЂ” Т,) =О, (х,у, а) 6 дй с нелинейным коэффициентом теплообмена (7) а„= а + о(Т+ Т,НТ + Т)). (8) Краевая задача для уравнения (5) с условиями (7), (8) наиболее близка к стандартным задачам теплопроводности, обсуждаемым нами ранее в 2.2. 2.6.3. Теплообмеп между телами Ранее мы рассмотрели вопрос учета теплообмена излучением для одного тела, когда учитывается только собственное излучение. В теории радиационного теплообмена большое внимание уделяется случаю многих тел, которые разделены прозрачной для излучения средой. При формулировке граничных условий принципиальным является учет не только собственного излучения, но и излучения других тел.
Аналогично учитывается собственное излучение в случае невыпуклой границы твердого тела дй. Будем, для примера, считать тела абсолютно черными, а излучение— изотропным, т. е. его интенсивность не зависит от направления. Закон Стефана — Больцмана (3) дает выражение Рис. З.б лля собственного излучения поверхно- сти тела по всем направлениям полу- пространства. Поток излучения тела в отдельном направлении пропорционален потоку изл3чения в направлении нормали к поверхности и косинусу угла между ними (закон Ламберта).
2,5. 7Ьиоеое излучение глвердмх тлел Определим через н(М) нормаль к точке М поверхности дй, а через г = т(М, Р) — расстояние между точками М и Р поверхности (рис.2.б). Результирующий поток излучения в точке поверхности складывается из потока собственного излучения и поглощаемого потока. Поэтому можно записать следующее соотношение, выражающее закон сохранения энергии: д(М,1) = аТ (М,г) — — ~ аТл(Р 1) — соз (н(Р),г) сов(н(М) г)4л, (9) „г где соз (п(М), г) — косинус угла между нормалью и отрезком, соединяющим точки М и Р. В (9) интегрирование идет по дй' = дй'(М)— части границы дй тел, которая видна из точки М. Таким образом для определения плотности потока излучения получено выражение (9).
Тепловое псле внутри тел определяется из уравнения теплопроводности (5). Граничное условие принимает вид: 1г — +а(Т вЂ” Т,)+9=0, (х,у,л) Едй. дТ (1О) Упрошение модели (5), (9), (10) достигается в случае, когда рассматриваются твердые тела с изотермическнми поверхностями. В этом случае потоки излучения на поверхности каждого отдельного тела постоянны. Поэтому из (9) двя определения потоков получим алгебраические соотношения. 2.б.4. Задачи ! Задача 1. Рассмошригне два нредельнмх случал длл закона Планка, когда величина ти «1 и ти Ъ 1.
Решение. В первом случае, когда гни «1 воспользуемся разложением „!т ти 1 (тих 2 е ш1+ — + — — ) +,. Т 2чТ) Зто дает закон Рэлея — Джинса: Йи Т В =2х — —. сз т В случае ти Ъ 1 пренебрегаем единицей в знаменателе формулы Планка н получаем ни — т Е =2х — е~~. ч сз Зта формула известна как закон смещения Вина. ь 68 Бгава 2. Матеиатические модели теплофизики ! Задача 2.
Сформулируйте условия сопряжения Вия неидеального теялового контакта с учетом излучения в зазор. Решение. Считая зазор прозрачной средой и на основе закона сохранения энергии, получим непрерывность тепловых потоков (см. (б), п.2.2) в форме: с дТ й — +аТ4 =О, (х,у«я) Е Я. ап Условие контактного теплообмена остается обычным (см. (21), п. 2.2): [Т[ = а к —, (х,у«к) Е Я. ат 2.6.
Термоупругоеть 2.6.1. Основные уравнения термоупругости Под действием тепла твердые тела расширяются. Этот эффект термического расширения учитывается в рамках линейной теории упругости. Приведем основные уравнения термоупругостн, которые включают в себя уравнение для смещений твердого тела и уравнения для распределения температуры.
Обозначим через в = (и, о, ы) — смещение твердого тела от положения равновесия. Уравнения движения твердого тела имеют вня: азв а в р — = — о + — «г + 812 Вх '* Ву в~о а а р — = — о,+ — ««+ и а "* вука взш а в р — = — о„+ — «г,„+ 8«2 вх «* ау «е а '*.
+ И« ая а — аг, + рую в — а„+ ру,, ак Для компонент тензора упругих напряжений аи ао о =ЛВ+2р — — тТ, о =ЛВ+2р — — ТТ, вх ' " ау имеем 8«в а„=ЛВ+2р — — уТ, Вя «г«« — ««+ /ао 8«в'ч Вв ао аь« В= †+ †+ †, лх л«« а«' Аналогично выписываются условия с учетом не абсошотной черноты соприкасаюшихся тел (см. закон Стефана — Бсльцмана в форме (4)). 69 2.6. 2врмоуяруеосшь где Л, р — настоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды. Слагаемые с температурой обуславливают движения упругой среды за счет теплового воздействия, причем 7 = (ЗЛ + 2р)а. Здесь а — козффициенш линейною расширения, определяет влияние температуры.
В (1) р — как обычно платность среды, а т — вектор заданных объемных сил. Считая среду однородной, подстановкой (2) в (1) получим уравнения Ламе д~е Р = Исае+ (Л+ Ф) 8шб 61н е — 7 8пизТ + РЕ дН (3) Система гиперболических уравнений второго порядка (3) дополняется соответствующими начальными и краевымн условиями. Например, естественно задавать начальное смещение и скорость: е(х,у,а,0) =ее(х,у,я), де — (х, у,я, 0) = е1(х, у, в). Простейшее краевое условие для системы уравнений Ламе соответствует заданию смещений на границе расчетной области, например: (4) (5) (6) е(х, у, а, $) = О, (х, у, х) Е дй.
Тем самым при заданном температурном поле среды напряженное состояние определяется краевой задачей типа (3)-(6). Уравнение теплопроводности в твердом однородном теле с учетом сжимаемости несколько отличается от обычного уравнения и имеет вид (без учета внутренних источников тепла): дТ Т д — + у — — Й1т е = аЬТ. И СРИ (7) рйге+ (Л+ и) вшб 61ие — 78габ Т+ ру = О, (8) ЬТ= О.
(9) В задачах теории упругости (а равно и в задачах термоупрутости) большое внимание уделяется переформулированию исходной задачи для перемещений с использованием новых неизвестных. Ниже отмечены '"которыс во тс алости а ~том 1 апоавлении Второй член в левой части (7) для твердых тел обычно мал и часто не учитывается. Уравнение теплопроводности (7) с соответствующими краевыми условиями позволяет определить температурное поле при заланных деформациях. Уравнения (3), (7) представляют собой систему уравнений термоупругости.
Естественно среди задач термоупругости можно выделить как самостоятельный класс стационарные задачи. В этом случае система (3), (7) упрощается и имеет вид: 70 1Ъава 2. Математические модели теллофизики 2.6.2. Специальное представление уравнений Ламе Среди возможных общих представлений решений задач упругости отметим в качестве важнейшего представление через решения обычных уравнений колебаний второго порядка. Будем искать решения уравнения (3) прн Г = 0 в виде а = Рвб Ф+ гог Ф. (10) Воспользовавшись тождеством бг = 8габ б1ч — гог го~, перепишем уравнение (3) при Г = 0 в виде: дзв р — = (л+ 2р) втаб гйча — 22гог гога — 78габт.
д12 Подстановка (10) в (1!) дает: д292Л / д2ФЛ 8габ (Л+ 222)2Лу2 — уТ вЂ” р — ) + гог ~ 22ЬФ вЂ” р — ) = О. дз) д22 ) Отсюда непосредственно заключаем, гю у2 можно определить из уравне- ния д22 р — = (Л+ 222)Ь42 — 7Т. дзу2 Для Ф в этом случае имеем векторное уравнение: д2Ф р —,=рбФ. (13) Таким образом динамическая задача расчета термоупругого состояния сводится к решению гиперболических уравнений второго порядка (12), (13) и параболического уравнения (7). Уравнение (12) описывает распространение продольных волн (волн сжатия) со скоростью с2 = ((Л+ 2,и)/р) .
Аналогично уравнение (13) описывает распростра- ~/2 пение поперечных волн (волн сдвига) со скоростью с2 — — (12/р) Н . 2.6.3. Плоские задачи Остановимся подробнее на плоской деформации. В этом случае го = О, а а и о зависят только от л и у. Рассматривается равновесное состояние, когда внешние массовые силы отсутствуют — в уравнении (8) г = О. Тогда можно ввести функцию напряжений Эйри гр такую, что дзт. 02 т дг, от = — — 7Т, и = — — 7Т, оя ду2 ' ' ее дх2 ' т даду Для функции напряжений получаем бигармоническое уравнение 1 — 2и 22222р 7 1 сгТ т О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
