Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для определенности будем считать, что условие (14), определяющее границу фазового перехода, записывается при С+. Закон сохранения массы позволяет сформулировать следующее условие сопряжения для потоков (т = 0 на Я в уравнении (16)): с ОС .0 — + $гнС =О, (х,р, е) 6 Я.
Принимая во внимание (17), зто условие можно записать в виде с дС1 Ун(1 Йс)С, (х, р, з) 6 Я. (18) Условия сопряжения (17), (18) дополняют уравнения диффузии (15), (16). Естественно, формулируются и некоторые условия на границе расчетной области, которые мы здесь не обсуждаем.
2.3.0. Задачи ! Задача 1. Сформулируйте условия на границе фазового перехода для скорости в зкидкой фазе с учетом скачка плотности. Решение. Если плотность непрерывна на границе фазового перехода, то для скорости в жидкой фазе получим естественное условие т = О, (х, р, з) 6 Я, Изменение плотности (характерно ее уменьшение) при переходе из твердой фазы в жидкую приводит к тому, что скорость по нормали к границе фазового перехода отлична от нуля (расширение вещества) в то время, как касательная составляющая остается равной нулю, т.
е. т х в = О, (х, у, л) 6 Я. (19) Закон сохранения массы дает следующую связь между вн и скоростью движения границы фазового перехода (г„: р (Ун — он) = Р Ун~ (х~ у, з) 6 Я. Отсюда получаем (х,р,з) 6 Я. (20) Условия (19), (20) полностью определяют скорость жидкой фазы на граннпе битового перехода. ь '56 Брава 2. Математические модели теплофизики Задача 2. В квазистационарной задаче Стефана для однородной среды укажите преобразование уравнения теплопроводности, которое позволяет избавиться от конвективных членов (слагаемых с производными по направлению 1).
Решение. В отдельных подобластях Й+ и Й справедливо стационарное уравнение теплопроводности ео — — — аЬТ+ —, (х, р, я) Е Й+ 0 Й . дТ (21) д1 ср' Рассмотрим выражение а а  — д1ч (В ягад Т) = асзТ + — (азад В, кгад Т). В Сравнивая с (21), выберем функцию В(х, р, я) так, чтобы выполнялось равенство а — йгад В = че.
В (22) Для любого постоянного вектора че равенство (22) будет выполнено при 1 В(х, р, я) = ехр — — гче в(х, р, я), (23) а где г = х1 + я) + як. Подстановка (22), (23) в уравнение (21) дает искомое уравнение д1ч(ВягадТ)+ — =О, (х,у,я) ЕЙ 0Й . аср Тем самым получили самосопряженные уравнения в каждой отдельной подобласти. 2.4. Конвентивный тенлообмен 2.4.1. Уравнения Навив — Стокса Конвективный перенос тепла обусловлен движениями самой среды. Например, очень важно учитывать конвективный перенос при рассмотрении процессов теплопередачи в жидкости (расплаве). Математические модели теплопроводности в этом случае должны дополняться моделями движения самой среды, механики сплошной среды.
Приведем характерные модели движения теплопроводящей среды, широко применяемые в прикладных исследованиях Рассматриваются процессы теплопередачи в жидкости (газе). Закон сохранения массы дает уравнение нвпрерывностш др — +д(ч(оч) = О. лг 2.4. Конвективнмй теллаабмен 57 Во многих случюгх (медленные по отношению к скорости звука движения среды) можно считать плотность жидкости постоянной для всей среды в любой момент времени (модель несжимаемой жидкости). В этом случае уравнение (1) принимает вид: 41т т = О. (2) Для компонент скорости используем обозначения т = (и, и, гв). Уравнения движения вязкой среды (уравнения ггавве — Стокса) записываются в виде: Гд 'т др Р1 — +тйгаби = — — + — авв+ — ав + — аея+Р1е, /ди 1 др д д д р~ — +вагаб ~ = — — + — а.+ — + — а,+РУ, (3) (,и др дх" др "" дх г' дгв др Р~ — +тагайгв) = — — + — а„+ — акт+ — а +Р1,. ~дг ) дя дх '* др 'в дя В (3) 1 = (~„Ув, Л) — вектор массовых сил, а через аб обозначены компоненты симметричного тензора вязких напряжений.
Для несжимаемой ньютоновской жидкости имеем ди дв дев а„= 2г1 —, а„„= 2г1 —, а„= 2г1 —, где г1 — коэффициент вязкости. Подстановка (4) в (3) дает искомые уравнения движения несжимаемой жидкости. Для однородной среды, когда все характеристики постоянны, уравнения Навье — Стокса упрощаются и принимают вид: /дт р1 — +тагабт = — агабр+ ОЬт+ РГ. ~дг (5) Учет сжимаемосги среды приводит к появлению дополнительного слагаемого в уравнении (5): /дт / р~ — +татабт) = — дгабр+дйгт+ ~(+ -) агаб 41тт+ РГ, (6) ~е ) 3) где с — коэффициент второй вязкости.
Часто используется простейшее предположение о том, что с = О. Уравнение непрерывности и уравнения Навье — Стокса описывают движение среды. Осталось записать уравнение теплопроводности в жидкости. Наиболее просто оно выглядит в случае несжимаемой среды: /дТ с,р( — + тдшб Т ~ = 41т(Вагаб Т) + ОФ. (7) 58 1)шва 2. Математические модели тенлофизихи Здесь сг — удельная теплоемкость при постоянном давлении, а вФ— член, который определяет энергию диссипации в виде тепла за счет вязкости, вязкого трения. Для Ф имеется выражение Ф=2 — + — + — + Учет сжимаемости среды приводит к уточнению диссипативной функции Ф и к появлению дополнительного слагаемого в уравнении теплопроводности (7).
Система уравнений (2), (5), (7) является основной для моделирования конвективных движений вязкой однородной жидкости. В качестве неизвестных выступают температура Т, скорость т и давление р. Плотность при этом считаетсл заданной. Эта система дополняется соответствующими граничными и начальными условиями. Например, на границе расчетной области П заданы однородные условия для скорости: к = О, (х, у, «) Е 81г, (9) т.е. выполнены условия непротекания (чв = О) и прилипания (эх в = О)— условия твердой стенки. Для рассматриваемой системы уравнений (2), (5), (7) характерно то, что явно уравнения для давления нет, но зато фактически имеется два уравнения (одно векторное — (5) и одно скалярное — (2)) для скорости.
То же, в определенной мере, можно сказать н относительно граничных условий (см., например, (9)). Можно исключить давление из уравнения движения (5). Для этого используется соотношение 1 тагабт = — йгабчэ — т х гогт. 2 (10) Подставляя (10) в (5) при постоянных р и 0 и применяя к обоим частям уравнения операцию гог, получим 8гогч — — гог (» х гог«) = нагота+ гогг, 81 (11) где и = гГ(р — коэффициент кннематической вязкости. Таким образом приходим к системе уравнений (2) и (11) для определения скорости. 2.4.2. Двумерные течения Рассмотрим более подробно случай, когда распределение тепло- физических и гидродинамических характеристик движущейся жидкости не зависит от одной координаты, от а.
Тогда мы приходим к двумерной по пространству задаче тепло- и массопереноса. Для моделирования таки» пноскик течений 1пироко цггольэчются переменные функция тскз 2.4. Конеекаиеиый теллообмен ди де — + — = О. (12) дх ду Из (12) видно, что для компонент скорости в и е можно использовать представление через функцию гаека»р, (»р = сопаг — линии тока): дт» д31 Я= — Ю=-— (13) ду' дх Существенно то, что при таком представлении уравнение непрерывности (12) выполняется автоматически. Для вихря скорости двумерных течений имеем де дв гогу=(О,О,ы), ы= — — —. дх ду Принимая во внимание (13), получим ы = -Ь31.
(14) Уравнение движения возьмем в форме (11). Непосредственные выкладки дагот дю . дДе ду, — + 41т(ыт) = игам+ — е — —. (15) дг дх ду Принимая во внимание (13), конвехтивное слагаемое в уравнении (15) можно записать в несколько другом виде: В(ш,3») дм д1» ды д»й Щх,у) дх ду ду дх как якобиан преобразования (м, »р) -+ (х, у). Система уравнений (14), (15) и есть искомая система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в переменных «функция тока, вихрь скорости», Подстановкой (14) в (15) можно нсюпочить и вихрь скорости и по- лучить одно псевдопараболическое уравнение четвертого порядка для функции тока гр, (ф-уравнение): д15Р ПМ,~Д дУ„ОУ, — + ' = иЬЬ31 — — ~ + —. дг Ю(х, у) дх ду Аналогично преобразуетсяи уравнение теплопроводности с»р1 — + ' ) =гйт(йдгабТ)+ОФ, удТ Р(Т, «р) 1 гн 13(х. 1А: (16) вихрь скорости» вместо физических (естественных) переменных «скоРость, лавление», Уравнение непрерывности несжимаемой жидкости (2) принимает вид: 60 Йщва 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
