Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поэтому сама граница фазового перехода Я определяется на каждый момент времени следующим образом: Я = Я(1) = ((х, у, а) Е Й, Т(х, у, я,1) = Т') илн, в другой форме, на границе фазового перехода выполнены условия первого рода: Т(х,у,я,1) =Т', (х,у,я) Е Я(1). (5) Условия (3)-(5) есть условия Стефана, а соответствующая задача для уравнений (1), (2) называется задачей Стефана.
Рассматриваемая задача характеризуется тем, что исследуются процессы в обоих фазах, поэтому в этом случае говорят о двухфазной задаче Стефана. Предельная ситуация характеризуется тем, что тепловое поле в одной из фаз известно (температура равна температуре фазового перехода). Поэтому рассматривается тепловое поле только для одной из фаз — однофазная задача Стефана. В этом случае неизвестная граница фазового перехода Я является не внутренней, а внешней.
Например, будем считать, что область П занята твердой фазой при температуре Т'. Тогда для нахождения температуры в жидкой фазе используется уравнение (2) в переменной области П+(1) со следующими условиями на Я: Т+(х, у, я, 1) = Т, (6) дТ+ й+ — = -ЬУа, (х, у, я) Е Я(1). (7) Условия типа (6), (7) характеризуют однофазную задачу Стефана.
В некоторых случаях приближение Стефана не всегда оправдано. Различные уточнения математических моделей фазовых превращений активно обсуждаются в литературе. Не касаясь деталей„отметим следующий основной момент. Условие Стефана (5) основано на предположении мгновенного выравнивания температуры к температуре фазового перехода н соответствует фактически предположению неограниченности скорости фазового перехода.
Это предположение в ряде случаев про;ыю; .. 1дтст, итсть;нтсти ' ~ лаитта и, поттттттае ииобчемч гитттсаиия Псава 2. Математические модели теллофизиии высокоинтенсивных тепловых процессов (гиперболическое уравнение теплопроводности). Для того чтобы избежать этого, можно использовать вместо граничного условия первого рода (5) более общее граничное условие третьею рода, получение которого базируется на описании кинетики фазового перехода. Например, вместо условия (6) в однофазной задаче использовать условие дТ+ 1с+ — + а'(Т+ — Т') = О, (х, у, а) Е Я(1), (8) которое ограничивает тепловые потоки к границе фазового перехода.
Условие (8) используется наряду с условием (7), которое выражает закон сохранения энергии при любом движении границы фазового перехода. 2.3.2. Обобщеккая формулировка задачи Стефаиа С точки зрения построения эффективных вычислительных алгоритмов чрезвычайно важное значение имеет тот факт, что задача Стефана допускает обобщенную формулировку, при которой условия (3)-(5) включаются в само уравнение теплопроводности. Включение неоднородных условий сопряжения на заданной границе раздела в само уравнение обсуждалось выше (см.
(19), п. 2.2). В задаче Стефана ситуация осложняется тем, что граница раздела фаз Я сама неизвестна, ее-то и нужно найти. Поясним переход от уравнений (1), (2) с условиями (3)-(5) к одному уравнению теплопроводности. В соответствии с п. 2.3 уравнения (1), (2) можно записать в виде одного уравнения /дТ од~ — +тбгас1Т =б!ч(УсйгабТ) — бзЬУ„+У, (х,У,х,1) Е 12. (9) Вблизи границы фазового фронта введем локальную ортогональную координатную систему (х', у', а'), метрические коэффициенты которой равны единице. В этих новых координатах поверхностная б-функция бз есть бз = б(х' — хс), где уравнение х' = хс определяет границу Я. Аналогично для скорости движения свободной границы имеем Уч = бх /и1.
Условие Стефана (5) соответствует тому, что в новых координатах Т = Т(х', у', а', 1), Т(хс, у', х', 1) = Т. С учетом этого получим бх', ИТ ба ус = б(х' — хс) — = б(Т вЂ” Т') —. (10) Подстановка (10) в (9) дает искомое уравнение ~дт ~ч;,~Ох-~'З( —, к~т)=очи йе,.г, ьр~д~ч. ~1ч Уравнение (10) примечательно тем, что сама неизвестная граница фазового перехода явно не присутствует. Учет теплоты фазового перехода эквивалентен заданию эффективной теплоемкости: с,я = с+ р 'Ь б(Т вЂ” Т').
2.3. Фазовыв лревраигвнил 53 2.3.3. Квазистацкопарпап задача Стефана Выделим как самостоятельную задачу с фазовыми переходами, когда рассматривается стационарное тепловое поле в движущейся среде. Обозначим постоянную скорость движения среды зв и пусть вектор з определяет направление движения. Тогда в уравнении (11) т = гв — — овв. Стационарное температурное поле Т = Т(з, у, з) с учетом фазового перехода будет определяться из уравнения зв(ср+ Ъб(Т вЂ” Т')) — = дМ(й кгадТ) + 1, (х, у, з) Е Й. (12) дв Тем самым квазистационарная задача Стефана характеризуется тем, что в каждой отдельной подобласти (в й+ и й ) тепловое поле описывается эллиптическим уравнением второго порядка (12), граница фазового перехода неподвижна, но неизвестна.
2.3.4. Фазовые переходы в мпогокомпопепткых средах Рассматриваемая выше задача Стефана относится к случаю, когда претерпевает фазовый переход чистое вещество. Большое практическое значение имеют проблемы затвердевания/плавления веществ с примесью, многокомпонентных сред. Остановимся на случае сплава двух веществ. Проблема затвердевания в данном случае определяется тем, что фазовый переход для одного вещества происходит при одной температуре, второго вещества — при некоторой другой (различаются температуры фазового перехода). Поэтому существует какой-то интервал температур, при ко- Т тором одна часть вещества находится 7", т, т, в жидком состоянии, вторая — в твердом (двухфазная зона).
Пусть индекс О соответствует первому веществу, индекс 1 — второму. Обозначим через С концентрацию второго вещества. Эта ситуация схематич- О С' С Рке. 2.2 но отражена на диаграмме фазового состояния (рис. 2.2). При С = О и С = 1 (присугствует только одно вещество) фазовый переход происходит при заданной температуре фазового перехода (Тв и Т1 соответственно).
При некоторой промежуточной концентрации С' затвердевание начинается при некоторой температуре Тгк(С ) (темлвратура ликвидуг) и полностью заканчивается при температуре Тил(С') (твмнвратура солидус). Таким образом, простейшая модель затвердевания бинарного сплава может основываться на задании этого характерного интервала температур.
Квазилинейное уравнение теплопроводности (11) лежит в основе эффек- тивных вычислительных процедур приближенного решения задач типа Стефана. 54 Пава 2, Маглемаюические модели вемофизики Расчетная область Й теперь будет состоять из трех подобластей (рис. 2.3): как и ранее из области Й+(1), занятой жидкой фазой, области Й, занятой твердой фазой, и области Й~(1), где происходит затвердевание, где присутствуют обе фазы: Й~(1) = ((х,р,а) ! (х, у, х) б Й, Тел < Т < Теизм. Определим через Ф(Т) долю твердой фазы при температуре Т. Тогда уравнение теплопроводности для всей области можно записать в виде: Рис.
2.3 < дФ'1 /ВТ ср-Ь вЂ” ) ~ — +тдгвдТ =д1т(ййгадТ)+~, (х,р,х,$)б1Е. (13) Естественно, что из уравнения (13) следует уравнение (11) для чистого вещества, коГда причем Т* = Та„= Т ь Уравнение (13) лежит в основе простейшей квазиравновесной модели двухфазной зоны. При моделировании конкретных процессов может оказаться справедливым предположение о том, что ширина двухфазной зоны мала (по сравнению с характерными линейными размерами задачи). Поэтому можно ограничиться простейшим предположением о заданной зависимости температуры фазового перехода от концентрации (Т' = Тер — — Т ~): Т(х,р,а 1) =Т'(С'), (х,р,а) Е о(г).
(14) При моделировании сплавов часто необходимо рассматривать и перераспределение примеси за счет фазовых переходов (особенно в жидкой фазе). Не останавливаясь на этом детально, отметим в качестве характерной задачу с узкой двухфазной зоной. Тепловое поле описывается уравнениями (1), (2), дополненными условиями (3), (4) на границе фазового перехода Я, которая определяется согласно (14). Аналогично ставиться задача и для определения концентрации.
В частности, соответствующие уравнения диффузии имеют вид: дС вЂ” =д1т(Р КгадС ), (х,р,е,1) б 9, (15) — +д(т(тС+) =д1т(Р+дгадС+), (х,р,х,1) Е 1'„1', (16) где Р+, Р— коэффициенты диффузии в жидкой и твердой фазах соответственно. 55 2.3. Фазовые превраигения Сформулируем простейшие условия на границе фазового перехода для концентрации. Концентрация примеси на границе фазового перехода разрывна, и обычно используемое приближение основано на предположении о том, что С =йсС+, (х,р,з) 6 Я, (17) где ггс — коэффициент распределения примеси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
