Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Опаяионарные задачи гпепнопроеодносгпи х, о а) Рие. 4.9 да~ двк в|(х) = пз(х), — + — = О. (30) дп! дпз Здесь н„а = 1, 2 — внешняя по отношению к области й„а = 1, 2 нор- маль. Построим простейший итерационный процесс явного уточнения граничного условия первого рода на 7 с учетом (30) по формуле: „кч.! „к д„к д„к + — + — =О, й= 0,1,..., (31) тк+1 дп! дп2 гле в(х) = в~(х) = из(х). Уточк(ение граничного условия проводится по дисбалансу потоков. В каждои отдельной подобласти й„а = 1, 2 решается краевая задача: 2 дг —;5 —,."; = ~(х), «=! в (х) = д(х), в,(х) = в(х), х Е й„ (32) х Е дй«17, х Е 7.
такого разбиения Ь-образной области представлены на рис. 4.9. Для решения разностных задач в отдельных подобластях можно использовать в ряде случаев быстрые прямые методы решения сеточных уравнений, рассмотренные в п. 4.5. Поэтому основное внимание уделяется методам нахождения приближенного решения на обшей границе 7 подобластей Й~ и Й2 (7 дй1 П! дй2) Пусть в области й решается краевая задача (10), (11).
Как и при описании метода фиктивных областей ограничимся пояснением основных моментов метода декомпозиции на дифференциальном уровне. Если бы было известно граничное условие на 7, то решение в й распалось бы на решение несвязанных краевых задач в отдельных подобластях й~ и йь Обозначим точное решение задачи (10), (11) в подобласти й~ через в~ (х), аналогично вз(х) — решение в йм Условие сопряжения на границе 7 в этих обозначениях примут вид 4,8, Численное решение задач в нерегулярных областях 209 Альтернативой (31) может служить итеративное уточнение граничного условия второго рода (по дисбалансу температуры): ть»! 'х дп дп ) ди ди! диг где теперь — = — = — — — обшее граничное условие второго рода дп дп, дпг "а 7.
В более обшем операторном виде неявное итерационное уточнение граничного условия типа (3!) записывается следуюгцим образом: иь«! „ь В + Аи" = О, Й = О, 1,..., (33) т»,, где ди! диг Аи = — + —. (34) дп! дпг Итерационные методы типа (33), (34) известны под названием нтераяионные методы матрицы емкости. Отметим некоторые основные моменты исследования сходимости итерационных методов декомпозиции. Итерационный процесс удобно рассматривать для погрешности в~(х) = иь(х) — и(х). В этом случае (33) дает ьа! ь В +Ав" =О, (35) В = О, 1,..., т» а оператор Ав, задаваемый соотношением (34), определен для х Е у, причем (см.
(10), (32)): г г с-~ д ва 2 х Е й„ «~ (36) ва(х) = О, х Е 7« = дйа 1 7~ в (х)=в(х), хЕ7. Покажем, что оператор А на множестве функций, удовлетворяющих (36), является самосопряженным в Н = Ьг(7). В этом случае на основании формулы Грина имеем (Ав,о) = ~) ! — о дх= ~» г' — в дх=(в,Ао), ,/ дп, 3 дп «=! 7 а=! 7 т.е. А = А". Аналогично для энергии оператора А получим !«, »=,'» ) — '' .»*=,'~ /»в» .»'»*.
а=! дпа 7 «=1 и 2!О Бгава 4. Стоционорные задачи тенлонроеодности Принимая во внимание неравенство Фридрихса, получим 2 г с! ~~» Цв,Ц2г!1п1 < (Ав,в) < е2 ~ Цв„Ц2г 1п ! (37) а=! а=! с некоторыми положительными постоянными с„а = 1, 2. Дальнейшие уточнения связаны с оценками следов функций в,(х) из Ягз'(12,) на у. С учетом неоднородности граничных условий только на у имеют место неравенства СЗ!!ВчЦ2ГЧг! 1 » <ЦВаЦИ'!(и ! » <ЕчЦВаЦ2тф/21 1 ° С учетом этого неравенство (37) переписывается в виде сз Цв Ця, ! 12 < (Ав, в) < сеЦви Цд, л(2!.
Принимая во внимание вложение Ягз (7) в Ь2(7), получим 2/2 (38) (Ав,в) > т(в,в), где т = сз > О, т. е. оператор А положительно определен в 71. Полученное неравенство (38) позволяет указать желательный выбор оператора В в итерационном процессе (35). Пусть В = В' и С2ЦВдЦ2Г!221 ! » <(ВВ~ В)»< СЗЦВиЦ2Ги21 тогда оператор В будет энергетически эквивалентен оператору А. Конкретные конструкции оператора В могут быть построены, в частности, на основе эквивалентных норм в И'2 (7). !/2 Аналогичные рассуждения можно провести и на разностном уровне применительно к рассматриваемой задаче (10), (11) в Х -образной области. В частности, можно рассмотреть скорость сходимости метода (31), (32) с явным уточнением граничного условия. Такое рассмотрение дает для соответствующего разностного оператора следующие оценки: бЕ < А < 22Е, б= 0(1) > О, 2з= 0(/2 ').
(39) где /! — шаг сетки по переменной хз или переменной х! (рис,4.9). На основе (39) оценивается скорость сходимости конкретных итерационных методов. При вычислительной реализации итерационных методов декомпозиции необходимо иметь в виду то, что на каждой итерации уточняются условия только на части границы области, именно на части сеточных узлов необходимо найти решение сеточной задачи в подобласти. Такая задача в ряде случаев может быть решена на основе прямых методов значительно быстрее, чем задача нахождения решения во всех узлах сетки.
В вычислительной практике получили распространение и многие другие варианты методов декомпозиции. Среди них можно отметить 211 4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях подходы с использованием разнотнпных условий на общих границах подобластей (условия Дирихле — Неймана). При ориентации на применение методов декомпозиции при решении задач на параллельных ЭВМ повышенное внимание уделяется проблемам зависимости скорости сходимости соответствующих итерационных процессов от числа подобластей. 4.8.5. Методы декомпозиции с наложением подобластей Более перспективным для приближенного решения краевых задач в сложных нерегулярных областях является использование методов декомпозиции с наложением подобластей.
При декомпозиции нерегулярной области естественно стремиться использовать регулярные подобласти. В этом случае численное решение в отдельной подобласти может быть реализовано наиболее эффективно (упрощаются проблемы генерации сетки, построения и исследования разностных схем, решения сеточных уравнений). Этот подход может быть более успешно реализован именно при использовании методов декомпозиции с налеганнем отдельных подобластей (большая свобода в выборе регулярных подобластей). хг х, 0 Рис. 4.10 Примеры декомпозиции с налетающими подобластями для Х -образной области представлены на рис.
4.!О. Рассматривается итерационный метод решения модельной задачи (10), (11) на основе решения задач в отдельных областях. Чаше всего итерационные методы декомпозиции для краевых задач эллиптических уравнений второго порядка строятся на основе классического альтернирующею метода Шварца н его модификациях. Введем необходимые обозначения. Пусть Г = дй П дй„у, = дй 1Г, а = 1, 2 и поэтому дй = Г~ О Гг, дйч = Г, 0 у, а = 1, 2.
В итерационных методах декомпозиции поочередно решаются краевые задачи в подобластях й~ и йм поэтому необходимо на каждой итерации задавать краевые условия на 7„о = 1,2. В альтернативном методе Шварца на этих участках границы формулируются условия Дирихле. 212 Бзава 4. Стационарные задачи теплопроводности Приближенное решение задачи (10), (11) иа й-ой итерации в области й! обозначим а",(х), а в области йз — аьз(х). При задаииом аь(х), х е 72 находится аьз(х) иа 7! из решения краевой задачи в подобласти йз!' Хп22 ' — — з(х), х Е йз, (40) аз+ (х) = д(х), х Е Гз, (41) а2 (х) а! (х)з * Е 72~ (42) где 2 Вз Ьа = — ~~! Вхз хь По найденному аз+'(х) уточняется а!(х) иа границе 7!.
Например, + а",(х) — аг~'(х) = О, х Е Ть (43) Классический альтериирующий метод Шварца соответствует выбору ите- рациоииого параметра т в (43) равному 1. Для нахождения аь+'(х) во всей подобласти й, решается краевая задача: Ьа,+ = 7(х), х Е й!, (44) а,ч (х) = д(х), х Е Г!.
(45) Скорость сходимости итерационного процесса (40)-(45) в С(й) уста- иавливается иа основе принципа максимума для эллиптических операто- ров второго порядка (см. п. 4.1). Введем следуюшие обозначения: а,(х), а Е й2, а(а)= аз(х), хЕй1й!. Определим еь(х) как решение краевой задачи Хоа=О, хЕйч, (46) э,(х)=0, аЕГ„ (47) оа(х) = 1~ х Е 7а (48) Пусть д! —— !паха,(х), дз = пзахоз(х). В силу прииципа максимума нет! 0<да <1, а=1,2.
Теорема 2. Итерационный процесс (40) — (45) сходи!пса при 2 0<т< 1+ д!дз со скоростью геометрической прогрессии к решению задачи (10), (11). Ири оптимальном значении итерационного параметра т = те — — 1 выполняется оценка /й(х) а(х)! < М(а!и!) ' х Г й глш 213 4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях Аналогична из (40) — (42) определим оператор Яз.
вз(х) = Бзвз(х) = в>(х') — Сз(х, х') бх', х Е уь (52) ди С учетом (51), (52) и принимая во внимание (см. (42)) вз (х) = в1(х), х Е уз, (53) для оператора А из (50) получим Ав, = в,(х) — Язд,в~(х), * Е 'уы (54) Принимая во внимание положительность дО~(х, х')/ди, в (51), по- лучим Г д / (! Псбл> < ПФ1П.П Лс1т,> = Пв Псбн>шах У вЂ” П1(х х)бх. (55) *езз ди~ Нетрудно видеть, что — С~(х,х)бх =о1(х), хЕЙы д Р с дп, 7~ где о~(х) — решение задачи (46) — (48).
Зто позволяет из (55) оценку Пв|Пс1т,> < йПв~Пс1х> Пд~П < й. Аналогично из (52) имеем Пв>Псбн> < йПвзПс1о>> ПИ < й Принимая во внимание (53), из (56), (57) вытекает Пв>Псби> < ййПв1 Псби>. Из (54), (58) получим двухстороннее неравенство (1 — йчз)(!в1((с1т> < ПАв1Пс(т> < (1+ йЧз)Пв~Пс172>. получить (56) (57) (58) (59) Для доказательства сходимости и" (х) к и(х) в Й достаточно в силу принципа максимума доказать сходимость и (х) к в(х) только при х Е 7ы ПУсть в„(х) = и (х) — и(х), и = 1,2 и опРеделим опеРатоР А соотношением Ав! = в!(х) — вз(х), и Е '>ь (50) Обозначим через С,(х, х') функцию Грина задачи Дирихле для уравиеиия (46) в области Й„а = 1, 2.
Из (43)-(45) имеем представление в~(х) = Я1в1(х) = в~(х) — 6,(х,х') бх', х Е >ь (51) ди1 71 214 П~ава 4. Стационарные задачи тенлоароводноста Подставляя (54) в (43), получим в",+ (х) = в~(х) — т(в1(х) — БзБ~в~(и)), а 6 Ть (60) Для оператора перехода Б = Б(т) (в,+'(а) = Бв, (х)) имеем представление Б = (1 — т)Е+ тБзБы Принимая во внимание оценки норм операторов Б„а = 1, 2, получим 1 — т+тцдз т < 1, !(Б(т))! = т — 1 + тд, дп т > 1. (61) !1в~ (!с!тд < Йдг!!в~~!с!ъ) Из этого неравенства непосредственно вытекает доказываемая оценка (49).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
