Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим теперь функцию 1в(х) ~ и получим 198 Пваа 4. Стационарные задачи теплопроводности Задача 2. Пусть в итерационном методе (7) А~Аз = АзАн А=А~+Аз, (69) А =А,*„ а=!,2, б Е<А <1х,Е, а оператор В представляется в следующем факторизованном виде: В = (Е + ыА1)(Е+ ьзАз). Упалсите оптимальное значение параметра ы. (70) Регаепие.
СкоРость сходимости опРеделлетсЯ постоЯнными 7м Уз в неравенстве (8). Поэтому сначала найдем их и выберем ы в (70) из условия максимума отношения Ъ/7~0 Это исследование в значительной мере повторяет исследование оператора попеременно-треугольного итерационного метода. Из (70) имеем В = Š— ы(А~ + Аз) + ы А~Аз + 2ы(А~ + Аз) = = (Š— ыА1)(Š— ыАз) + 2ыА. Тем самым 7з — — 1/(2ы). Принимая во внимание условия (69), получим А~Аз ~< -(А1 + Аз) .
1 з 2 Пусть 6 = пнп 6„Ь = шах Ь, тогда В = Е+ы(А~+Аз)+ы А1Аз < ~-+ы+ы Ь~А, 2 1,6 Тем самым для 7~ имеет место 4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 4.8.1. Криволииейиыа ортогоиальиые координаты Определенные сложности возникают при численном решении краевых задач теплопроводности в сложных расчетных областях. До сих 6 1+ ыб+ ызбЬ Минимизируя б = 6(ы) = 7,/7„получим для оптимального значения ы = ые = (бгз) '7з.
Факторизованный оператор (70) соответствует использованию метода переменных направлений с автономным определением итерационных параметров ти,м в итерационном методе (7) (безотносительно к параметру и). ь 199 4.8. Чосленное решение задач в нерегулярных обласншх д г' дв '~ — 1 гг (х) — ) = з(х), , дх, ~, дх„г) (б) При этом для уравнения (4) х~ = т, хз — — я, Й1(х) = х17г(х), йз(х) = х~й(х) (7) пор мы рассматривали задачи в прямоугольной области (регулярной расчетной области).
Простейший подход к решению задач в нерегулярных областях состоит в использовании криволинейных координат, в которых расчетная область становится регулярной. Вначале будем ориентироваться на ортогональные криволинейные координаты. В теплофизике большое внимание уделяется цилиндрическим координатам при моделировании тепловых полей в цилиндрических областях.
Вторым примером может служить использование сферической системы координат (см. п. 2.1). В цилиндрической системе координат стационарное тепловое поле в изотропной среде описывается уравнением — ггг — + — — й- — + — гг — = — г. (1) Примером двумерной задачи теплопроводности является осесимметричная задача, когда коэффициенты, правая часть и само решение не зависят от угла ~р. Уравнение (1) в этом важном частном случае принимает вид: (2) Второе упрошение уравнения (1) связано с ситуацией, когда тепловые характеристики и температурное поле не зависят от координаты я (плоская задача теплопроводности). Уравнение (1) в этом случае соответствует использованию полярной системы координат (т, у), причем Уравнения (2), (3) можно записать в следуюшем дивергентном виде (4) (5) Уравнения (4), (5) принадлежат с точностью до обозначений классу рассмотренных ранее задач теплопроводносги, если их записать в виде самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами: 200 1)зава 4.
Стационарные задачи теллонроводности с заменой х~~(х) на г(х). Уравнение (5) записывается в виде (6) с ани- зотроп ным коэффициентом «теплопроводностизс х, = г, хз — — ~р, й,(х) = х,й(х), йз(х) = х, 'й(х). (8) Уравнение (6) решается в прямоугольнике Й, который в исходных цилиндрических переменных для уравнения (4) соответствует расчету температуры в цилиндре (полом, если х~ > 1, > 0) в сечении 9з = сонм.
Аналогично прямоугольник Й в (6) соответствует решению уравнения (5) в бесконечно вытянутом цилиндре, сечение которого есть круг, круговой сектор, кольцо, кольцевой сектор. В силу переформулировки уравнений вопросы построения разност- ных схем, исследования сходимости разностного решения к точному, ре- шения сеточных уравнений исследуются по рассмотренной выше схеме. Нам остается отметить только отдельные основные особенности краевых задач (6), (7) и (6), (8). Уравнение (6) при (7), (8) вырождается при х, = О, поэтому в за- дачах, для которых эта точка лежит на границе Й (сплошной цилиндр в (4), сечение-круг, круговой сектор в (5)), требуется известная осто- рожность. При х~ = 0 естественно требовать ограниченности решения уравнения (6), (7) (или (6), (8)), что эквивалентно требованию ди 1пп х,й(х) — — О.
(9) т о дх~ Условие (9) соответствует отсутствию теплового потока при х1 — — О. Обсудим особенности построения разностных схем с условием (9). С этой целью выделим оператор Ь1 по переменной х~. д / да~ Е1и = — — 1 х~й(х) — ) . дх1 1, дх1) Для решения краевой задачи для уравнения (6), (7) (или (6), (8)) в пря- моугольнике Й = (х ~ х = (хнхз), 1, < х (1~) при 1, = 0 с краевым' условием (9) наиболее удобно использовать следуюшую квазиравномер- ную сетку по переменной х~ сетку й= (х~ | х~ — — хн хм =О, хн = (1 — 0,5)йн 1= 1,2,...,7У,), т.е. равномерную сетку, сдвинутую на полшага (потоковая сетка).
Далее разностная аппроксимация уравнения (6), (7) (или (6), (8)) строится на основе интегро-интерполяционного метода (см. п.4.2). Обозначим д~(х) = — х~й(х)ди/дх~ и проинтегрируем наше уравне- ние (6) по х, от 0 до Ь~ (окрестность узла х1 — — й~).
Будем иметь ь, Ь!ю Их~ = 9~(йн хз) ф(0~ хз). о Поток д~(0, хз) = 0 в силу условия (9), а дальнейшие преобразования проводятся обычным образом. 201 4.8. Численное решение задач в нерегулярных обяасгнях Таким образом, мы придем к разностной схеме для уравнения (6), (7) (или (6), (8)) с условием (9), которая характеризуется тем, что разностное решение при х1 — — 0 не находится.
Вторая возможность построения разностной схемы для (6), (7) (или (6), (8)) связана с использованием обычной сетки. Особенностью разностной задачи (6), (8) будет то, что все разности не решения при х, = 0 равны друг другу. Реализация последнего условия должна обсуждаться отдельно, поэтому можно рекомендовать использование потоковой сетки по радиальной переменной.
При решении задач типа (6), (8) отдельного упоминания заслуживают периодические краевые условия по переменной хз (1~ — — О, 1з~ — — гя). Соответствующий алгоритм решения одномерных сеточных задач с такими условиями уже обсуждался (см. п.4.5, задача 1). 4.8.2. Нерегулярные сетки Традиционно широко используются нерегулярные расчетные сетки для приближенного решения задач стационарной теплопроводности. Для пояснения возможных подходов в качестве модельной рассмотрим задачу Дирихле лля уравнения Пуассона (стационарная теплопроводность в однородной среде): г дㄠ— =у(х), хай, (10) , дхз к(х) = д(х), х Е дй. В ряде случаев для нерегулярных областей удается построить согласованную сетку, которая образована узлами обычной прямоугольной неравномерной сетки с узлами, лежащими на границе. Пример согласованной разностной сетки приведен на рис.
4.5. Для того, чтобы граница состояла из узлов, приходится использовать сильно неравномерные сетки. Проблемы построения разностной схемы для задачи (!0), (11) на представленной сетке решаются обычным образом. Построить согласованную разностную сетку можно только лля очень узкого класса областей. Поэтому проблема нерегулярности расчетной области решается на основе других подходов. Простейшим приемом является использование в расчетной области обычной прямоугольной сетки, а граничное условие (! !) переносится в ближайший к границе дй узел сетки (рис.4.6).
Фактически речь здесь идет о переходе от задачи (10), (!1) к задаче в другой области, граница которой согласована с сеткой (аппроксимация границы). Наиболее естественным и достаточно универсальным является подход с использованием сетки, которая состоит из узлов регулярной (равномерной) сетки (внутренние узлы) и дополнительных нерегулярных граничных узлов х Е дш, лежащих на границе области П (рис. 4.7). Эти узлы образованы пересечением линий, проходящих через узлы регулярной гоз 4,а. Численное решение задач в нерегулярных обласшях сетки с границей расчетной области. Рассмотрим на примере модельной задачи (10), (11) вопросы построения разностных схем на таких сетках более подробно.
Для аппроксимации уравнения в приграничном узле 0 (рис.4.7) естественным представляется использование нерегулярного пятиточечного шаблона: 2 (Уз — Уо Уе — У~ '1 Ь Ь* 1 Ь Ьч / Узин У( е)' ~ + 1 (12) Ь,+Ь; Ь! (хе) — ~ 1"2(ха) Ь2.
Пусть Ь(х) = Ь,(х,)Ьз(хз) и скалярное произведение в Н есть (у, о), = ~ ~у(х)о(х)Ь(х). () ееч При таком определении Н разностный оператор А, соответствующий аппроксимации (12), уже будет обладать необходимым свойством само- сопряженности. Разностная схема для задачи (!О), (11), построенная на основе аппроксимации (12), исследуется обычным образом. В частности, для схем этого класса выполнен принцип максимума (см. п.4.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
