Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Будем считать, что при з (х) < О, х е й и и(х) < О, х е дй в некоторой подобласти йч (й+ с й) в(х) >О, хб й+. (46) Проинтегрируем уравнение (43) по подобласти йе, С учетом, что в(х) = О, х Е дйе имеем дн — / й(х) — 4х+ / с(х)и4х = / у(х) Их. дп оп~ оп, оп, В предположениях (46) левая часть этого равенства положительна, а пра- вая — неотрицательна. В силу полученного противоречия имеем в(х) < 0 во всей области й. ь 226 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности, Задача 2. На основе итерационного метода простой итерации (33) для приближенного решения задачи (!0)-(12), (17) при выполнении (8) постройте монотонный итерационный процесс. Решение.
Вместо (ЗЗ) рассмотрим следующий итерационный про- цесс (Л+ с(х)Е) + +Лу» — 7(х,у») = О, х бы. (47) Подберем с(х) и итерационный параметр г в (47) так, чтобы получить монотонное приближение снизу, т. е. уо < у~ < < у» < У»н < . < У. Пусть начальное приближение выбрано так, что (48) Луо — 1(х уо) ~~ О, а граничные условия выдерживаются точно. Для погрешности имеем д,г Лго — — (х, уо)ло < О и на основе принципа максимума лв < О, т.е. начальное приближение задается снизу: уо < у.
Пусть ю»», = у»»~ — у». Для ю1 из (47) получим ю~ (Л + с(х) Е) — + Лув — 7(х, уо) = О, г и поэтому в силу предположения (48) ю~ > О. При произвольном й из (47) получим (Л+ с(х)Е) + Лю» — — (х, у»)ю» = О. ю»ч ~ — ю» 07 г ду Это равенство перепишем в виде (Л+ с(х)Е)ю»+, — — Р», (49) где Р» = (1 — т)(Л+ с(х)Е)ю»+ т с(х) + — (х, у»)) ю». ау ду' ) (50) Относительно параметров итерационного процесса будем предполагать, что с(х) >М> (51) 0 < г < 1.
В таких условиях при выполнении (48) из (50) следует Р, > О. Кроме того, из (49) следует, что (Л + с(х)Е)юг > О. Покажем, что аналогичные соотношения имеют место и на всех других итерациях. Доказательство проведем по индукции. Прн й = 1 имеем Р1 > О, ' (Л+ с(х)Е)юг > О. Предположим, что аналогичное соотношение имеет ' место и при й — 1, т.е. Р» 1 > 0 и (Л+с(х)Е)ю» > О. Рассмотрим теперь Р», 227 4.10. Библиография и комментарий Положительность этой функции прн сформулированных предположениях непосредственно следует из (50) при выполнении условий (51).
Второе необходимое неравенство (Л+ с(х)Е)шь,1 > 0 следует из (49). На основе принципа максимума из (Л+ е(х)Е)шил, > 0 следует, что уьм -уь > О. Принимая во внимание уо < у, получим, что итерационный процесс при выполнении условий (50) и задании начального приближения согласно (48) дает монотонное приближение лля решения задачи (8), (10)-(12), (17) снизу. Если начальное приближения удовлетворяет условию Луе — 7(х,уе) > О, то рассматриваемый итерационный процесс дает монотонное приближение сверху.
ь 4.10. Библиография и комментарий 4.10.1. Обгцие аамвчаиия 4.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка являются базовыми задачами математической физики. Им уделяется большое внимание во всех основных руководствах по уравнениям с частными производными [7, 13, 31]. Принцип максимума является классическим методом исследования однозначной разрешимости первой краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка [3, 9, 17].
На основе теорем сравнения получены соответствуюшие оценки решений краевых задач в равномерной норме. Для задач с пониженной гладкостью решения краевые задачи для эллиптических уравнений рассматриваются в соболевских пространствах [7, 9, 13, 14]. Наибольшее внимание уделяется получению априорных оценок в гильбертовых пространствах 11'з~(П), к = 1, 2. Здесь мы ограничились лишь простейшими оценками, которые в том или ином виде наследуются соответствующей разностной эллиптической задачей. 4.2. При приближенном решении эллиптических задач наиболее широко используются разностные методы [2, 15, 22 — 28] и метод конечных элементов [16, 18, 29, 30). Построение разностных схем на основе непосредственной аппроксимации традиционно широко представлено в первых руководствах по численному решению задач математической физики [6, 20, 21).
Общий интегро-интерполяционный принцип построения разностных схем, который обсуждается в данной работе, предложен в работах А. Н.Тихонова и А. А. Самарского н впервые систематически изложен в монографии [22). Его дальнейшему развитию посвяшена работа [27]. Другие подходы к построению разностных схем для эллиптических краевых задач (например, методы аппроксимации квадратичного функционала, интегрального тождества) изложены в указанных выше работах.
228 Глава 4. Стационарные задачи тенаонраеодности 4.3. Традиционный аппарат исследования точности разностных схем для задач с гладкими решениями связан с использованием принципа максимума для разностных уравнений. Запись разностной схемы в канонической форме позволила с общих позиций исследовать основные краевые задачи для эллиптических уравнений. В своем изложении мы следовали работам [24, 25].
4.4. Методы гильбертова пространства позволили получить основные результаты относительно точности разностных схем. В частности, удается провести исследование задач на неравномерных сетках, задач с разрывами и т, д, При изложении материала, как и в работах [24, 25], мы предъявляли повышенные требования к гладкости точного решения. Более глубокие результаты для эллиптических краевых задач с обобщенными решениями излагаются в [27]. 4.5.
Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений излагаются во всех традиционных курсах линейной алгебры (см., например, [8, 32]). Разностные методы, метод конечных элементов приводят к матрицам разреженной структуры, учет которой позволяет существенно сократить вычислительную работу ]10]. Для ленточных матриц (в частности, для трехдиагональных) наиболее известен метод прогонки с его различными вариантами. Подробное изложение таких алгоритмов с их обоснованием имеется в книге [28]. Для сеточных эллиптических задач с разделяющимися переменными используются специальные прямые методы, например, метод редукции и быстрое преобразование Фурье. Более подробное обсуждение этих методов с различных позиций имеется в [28, 34]. 4.6. Общая теории итерационных методов излагается по книге [28], естественно, в более сжатом виде.
В частности, не затрагиваются вопросы решения проблемы вычислительной устойчивости чебышевских итерационных методов. Ранее большой популярностью пользовался метод переменных направлений. Однако, оптимальный набор итерационных параметров удается построить только для сеточных эллиптических задач с разделяющимися переменными, для которых имеются более быстрые прямые методы. Поэтому мы ограничились общим случаем метода переменных направлений с неперестановочными операторами. Другие возможности методов переменных направлений подробно обсуждаются в литературе [24, 28].
Для сохранения методическою единства при изложении вариационных методов (как двух- так и трехслойных) выбор итерационных параметров подчинялся естественному требованию прямой алгебраической минимизации невязки на новой итерации. В литературе (см., например, [33]) по итерационным методам большее внимание уделяется более сложной, менее прозрачной интерпретации метода сопряженных градиентов. В данной главе не затрагивается чрезвычайно важная проблема решения сеточных эллиптических задач с несамосопряженным оператором. 229 4.!О. Библиография и камменгаарий При оценке эффективности итерационных методов, выборе оптимальных параметров итерационных методов мы следуем работе [28].
Качественное исследование зависимости скорости сходимости клас- 4.7. сических итерационных методов от разрывных коэффициентов проведено в работе [5]. Попеременно-треупигьный итерационный метод предложен А. А. Самарским в 1964 г. Более полное его изложение имеется в [28]. Метод приближенной факторизации, который в симметричном виде здесь трактуется как попеременно-треуголь- ный метод, описан в книге [4].
Общая теория итерационных методов в подпространствах излагается в [12]. Использование криволинейных ортогональных координат и локально нерегулярных сеток традиционно широко используется в вычи- 4.8. слительной практике [24, 27, 28]. Здесь мы не касаемьл проблем генерирования неортогональных сеток, проблем решения краевых задач на таких сетках. Метод фиктивных областей развивается с начала 1960-х годов. Подробное обсуждение вопросов использования такого подхода имеется в [5]. Методы декомпозиции пока практи чески не представлены в монографической и учебной литературе.
Исключение составляет книга [15], одна из глав которой касается методов этого класса. Методы декомпозиции без налегания обсуждаются в работе обзорного характера [1]. Методы приближенного решения нелинейных краевых задач для эллиптических уравнений затрагиваются с различных позиций в ли- 4,9 тературе по разностным методам и методу конечных элементов. Разностные схемы исследуются в работе [11], итерационные методы для класса нелинейных разностных схем обсуждаются в [28]. Для систем нелинейных уравнений общим руководством может служить книга [19]. 4.10.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
