Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 58
Текст из файла (страница 58)
последнее же ((2) п 3 6) тождественно равно: Д Л' В нз - — =а —. млгиАН омолухоэокий Путем' умножения на х и интегрирования по времени получаем: 238 И х* /Г /Их~е1 — ° — (хе) = — — + у ~хХ вЂ” ахе+ еь( — ) ~А+ сопзс. 2 ее зу,/ ~ (лс) ~ Составив подобные уравнения для каждой отдельной частицы, сложив соответствующие члены и разделив на число частиц, получаем уравнение, относящееся к средним значениям: — — + — + а ~ хей= ЙОе+сопзс. 2 Н~ 2у Среднее значение (ЭогсйзсЬпЖзчегс) члена т(„)' должно равняться двойному значению средней кинетической энергии хв [4), приходящейся на одну степень свободы; среднее же значение (МЫСе1ттег1) члена ~~ / хХе[1 — ° —. (хе)+ — ° - (хе)+ ахе — Йд = О ы ~Р— 1 И 2 НР 2у а'Ф (18) имеет, очевидно, два частных интеграла вида ьэ х' = — + Ае", а (19)~ где у = — — [1 4-'1Г 1 — 8гаауе1.
1 2шу Далее, в зависимости от величины коэфициента упругости, следует различать два известных случая. Когда 1 а '>— Зжуе ~ зто дает известное, затухающее вследствие трения, периодическое 1В колебание, а член — дает в этом случае поправку, имеющую своим источником молекулярное движение. В случае же апериодического движения 1 а«вЂ” зту должно быть исчезающе малым по сравнению с остальными членами, так как молекулярные толчки предполагаются независимыми от х, и, следовательно, при любом х они происходят в среднем для одинакового числа частиц как в положительном, так и в отрицательном направлениях [Зб).
Диференциальное уравнение 239 ИООЛЕДОВАНИЕ О ВРАУНОВСКОМ ДВИЖЕНПИ которое для пас важно (см. выше), получаются два приближенных :шачення: — — тз — — — 2ау. ту' Однако подстановка чисел, относящихся к брауновским частипам, дает для т, столь огромное численное значение (361, что функция А,е н должна представлять чрезвычайно быстро прекращающийся процесс движения ".
Таким образом движения, которые удается наблюдать на опыте, представлены только вторым решением тз. Ясли теперь подставить в формулу (19) первоначальное расстояние хе зе хоз = — + Азеп а и принять но внимание, что — ау = )), зз Р получаем снова выведенную раньше формулу (3). Последняя, конечно, представляет, с одной стороны, распределение положений всего собрания частиц, а с другой — распределение вероятности одной единственной частицы (37). Настоящий вывод интересен в том отношении, что он выясняет постепенный переход к обычным упругим колебаниям ев. К сожалению, он неприменим к'силам, действующим по другому закону, между тем как метод, нзложенвый в 3 6, по крайней мере в принципе может быть применен и в других случаях; чравда, последнее связано с необходимостью преодолеть значительные математические трудности.
'3 9. С помощью уравнений с (10) до (14) можно удобно исследовать некоторые характерные стороны явления, которые имеют для молекулярных процессов более общее значение. Как известно, согласно теории Больцмана, вероятность некоторого состояния (т. е. относительная частота наступления его на протяжении чрезвычайно большого промежутка времени) связана с его энтропией известным соотношением: * Действительно, вливние начальной снорости чрезвычайно быстро сходит" нз-не г, и остаетсн лишь медленно исчезающее влияние первоначального отнлонения: происходит это оттого, 'что движения частиц в последовательно взятые промежутки времени соэершенно яезависимы друг от друга. *ь Конечно, при этом следовало бы более подробно осветить неноторыо слабые пункты настоящей аргументации, в особенности отбрасывание члена МАРИАН ОМОЛУХОВОКНИ 240 В соответствии с этим можно и в нашем случае присвоить отклонениям х частицы определенные значения энтропии, а.именно; согласно формуле (14): зх» 8 = сопзс — й — = сопзС вЂ” — ° ~ — ~ .
20 2 1«/' Само собою разумеется, максимум энтропии соответствует положению равновесия. Частицы, исходяпще из точки х„в первое мгновение двигаются цюто цо-«брауновски», т. е. в соответствии с формулой (1). Следовательно, они двигаются приблизительно -одинаково вероятно как в направлении возрастающей, так и убывающей энтропии. И это положение сохраняет сирту для любого последующего момента времени, так как момент начала наблюдения, конечно, является произвольным. Однако, если речь идет о более продолжительном времени наблюдений, то решающим-для дальнейшего развития движения является отношение первоначйльного отклонения х, к среднему отступлению с 116]. Если начальное смещение очень «ненормально», т.
е. еслу х» очень велико по сравнению со средним отступлением 4, то уже по истечении короткого времени болыпая часть частиц опускается ниже пер воначального значения х„другими словами, частицы двигаются'в направлении возрастающей энтропии. Ибо величина промежутка времени, по истечении которого, скажем, впятеро больше частиц находится ниже х, чзм.над х», определяется из следующего уравнения: й'(х, х») «21 Лх = б / И'(х, хе) ЙАх. У„ Подстановка выраженид (10) дает следующее соотношение для «1» [38), Здесь г имеет определенное численное значение, а именно:. оно обозначает число, удовлетворяющее уравнений 2 «' -«, 2 "=х Ю а2) которое показывает, как сильно сокращается«интервал замедления»(Уегзбйэгппйз1НСегма11) с увеличением «отношения ненормальности» (х/Е).
т. е., приблизительно, а = 0,65о. Итак, если речь идет об очень «ненормальных» первоначальных состояниях, то можно определить путем разложения лагорифма в ряд приближенное значение ИССЛЕДОВАНИЕ О ВРАУНОВСКОМ ДВИЖЕНИИ 241 Боли же исходная точна лежит в пределах области среднего отступления с, так что б то уравнение (21) не дает никакид решений для «»$, так как в этом случае, вообще, не существует какой-либо тенденции к увеличению энтропии; наоборот, посредине промежутка энтропия начинает уменьшаться. Уравнение (13) также непосрэдственно показывает, чтс величина среднего квадратичного смещения' частиц с течением времени возрастает или убывает в зависимости от того, находилось ли первоначальное положение в пределах нли же вне пределов области среднего отступления, и что она асимптотически стремится к значению йв.
2 10. Итак ясно, что подобные процессы приобретают характер необратимости в тем большей степени, чем «ненормальнее» исходное состояние. Равным образом сопоставлепие формул (11) и (13) показывает, что молекулярные колебания совершенно не имеют значенвд, когда ме очень велико по сравнению с й: в этих случаях все,частицы движутся почти в точности согласно обычной формуле трения х = хо е — ж Конечно, зта необратимость является только кажущейся: мы ведь видели, что в любой момент оба направления движения равно- возможны и что всегда существует, точно указанная формулой (10) вероятность достижения любого состояния нз любого исходного положения, поэтому на протяжении достаточно длинных промежутков времени может быть достигнуто и первоначальное положение; В другом месте " я, исходя Нз формул 3 3, 7 (приведенных там без доказательства), показал, кзк можно подойти даже к некоторой оценке «времени возврата» очень «ненормального» состояния.
Для порядка величины я нашел следующее выражение (391: т= — ° — е Р'зя б»1 «) (23) д зта формула выявляет колоссальное нарастание времени с увелицением «ненормальности», вследствие чего на практике повторение очень «ненормальных» состояний никогда не может наблюдаться. 3 11. Принципиальная обратимость всех подобных процессов явствует также из того обстоятельства, что наша формула (10), без изменения знаков, применима и для обратного счета времени: в этом случае она дарг э" значение вероятности, что частица, находящаяся В настоящее мгновение в х„находиласЫ времени тому назад в области х...х+ дх. т Лекция «О пределах действительиости второго закона теории теплоты» в геттикгеиском цикле лекций, апрель, 1913; «Лекции по кинетической теории материи и электричества», Лейпциг, 'Гейбвер, 191Ь.
ее В качестве вероятности мы можем в данном случае привять процеит пое отношение числа благолриятяых случаев, которое устэловится иа протя« жекик чреввычайко долгого периода протекания процесса, ие иарушаемого каким-либо внешним вовдействием. МАРИАН СМОЛУХОВСКИЙ Последнее непосредственно вытекает уже из рассмотрения статистического равновесия процессов движения, характеризующих стационарное,состояние. Однако его можно еще и специально пояснить спедующим образом. Вероятность, что частица, принадлежащая к подобной системе, )тредоставлевной самой себе в течение долгого времени, находится и области з...х+ еЬ, выражается, по аналогии с формулой (14), следующим образом: Рх,' Ю(хо) о[хо = "у — е ' оЬо.
° Г д ов ' Поэлбму произведение этого выражения на выражение (10), а,именно: у['(зо) )р(*о яо) [со[во= е -о „о-Ю+ . — 2~ ' о (2) зэк У1 — е дает Нероятность, что частица первоначально находилась в области зо ° ° ° я+ о[зо а'по истечении промежутка времени ~ — очутилась в области я...хо+ еоо, или, другими словами, что первоначально частица находится в ж, а за 1 времени до этого она находилась в-ло. Если, далее, 'это выражение разделить на (14), то ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
