Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Последнее предположение становится несправедливым, коль скорс оно относится к явлениям, в которых конечное изменение свойств газа происходит на расстояниях, не особенно больших по сравнению со средней длиной пути (звуковые волны с длиной волны '/, мм, радиометрическпе явления, трения газа в вакууме Шпренгеля и т. д.). Во всех остальных случаях явления происходят в столь больших пространствах, что можно построить элемент объема таким образом, что для видимого движения он может рассматриваться как диференциал, но все еще содержит очень много молекул. Зто йренебрежение (палыми членами, порядок величины которых совершенно не зависит от порядка величин окончательного результата, будет, конечно,, отличаться от пренебрежения членами, имеющими такой же порядок величины, как и те, из которых выводится конечный результат (на-' чало в З 14).
В ' то время как последнее пренебрежение обусловливает ошибки--результата, первое есть только необходимое следствие атомистического воззрения, для ксторого смысл полученного результата является характерным, и тем более допустимо, чем меньше принимаются размеры молекулы по сравнению з размерами видимого тела, В самом деле, с точки зрения атомистики диференциальные уравнения теории упругости и гидродинамики в действительности не точны, а являются только приближенными формулами, которые тем точнее, чем,больше размеры, внутри которых происходит рассматриваемое видимое движение по отношчнию к размерам молекулы. рочно так же закон распределения скоростей между молекулами не является в действительности математически точным, поскольку число молекул не есть математически бесконечно болыпое число.
Невыгода, происходящая от того, что мы отказываемся от претензии на совершенную точность гидродинамических диференциальных уравнений, искупается преимуществом их большей наглядности. $7. Закон Бойля-Шаля-.Авогадго. Выижение для аоовщкнной -теплоты Мы приступим теперь к решению уравнений (27).
Последние являются только специальным случаем уравнений (147)ь которые мы будем рассматривать в й 18. Изэтихуравнений следует, как мы там подробно докажем, что функции 7" и Р должны быть независимы от направления скорости и зависят только от величины последней. Мы могли бы провести это доказательство таким же образом и для ' специального случая. Исключительно для того, чтобы не повторяться, мы предполагаем здесь без доказательства, что ни форма сосуда, ни какое-либо другое специальное обстоятельство не оказывают 'влияния па распределение состояниИ. Так как тогда все направления в пространстве равноправны, функции ~ и У должны быть независимыми от направления и могут быть только функциями величин соответствующих скоростей с и с,. Вели положить 7 = е"<"'з лекции по ткогии гьзов и 'Р=-ет"*">, то последнее из уравнений (27) преобразуется в сле- дующее: у(тег) + Ф(тассе) = у(тс'е) + х(тсе+т1гг — тс'е).
Очевидно, что здесь обе величины тсе, т,сег совершенно на зависят друг от друга н третья величина тс" также может принимать, независимо от первых двух, все значения от нуля до тсг+т,с,г. Поэтому, обозначая эти три величины через х, у, г и беря частнйе производные от обеих частей последнего уравнения сначала по х, затем по у, наконец, по г, прежде всего получим: у'(х) = Ф(х+ у — 'г), Ф'(у) = Ф'(х+ у — г), О = у'(г) =Ф'(х+ у — г), откуда следует: у'(х) = Ф'(у) = у'(г). Так как первое уравнение не содержит ни у, ни г, а второе и третье ему равны, то второе уравнение не должно содержать уитретье г.
Но они также не содержат других переменных: следовательно, онм должны быть постоянными; так как, к тому же, они равны друг другу, то, еле= довательно, производные обеих функций о и Ф равны одному и тому же постоянному — а, откуда сейчас же следует: У = Ае "~"' (зй) Совершенно ясно„ что число аэ, молекул в единице объема, скорости которых в произвольном найравлении лежат между величинами с..и с + ас, равно числу тех молекул, для которых точки скоростей лежат между двумя сферическими поверхностяии, проведенными из центра координат радиусами с и с + Ис, следовательно в пространстве, объем которого асс 4кс'Ис. Отсюда имеем, согласно формуле (11): Й~, = 4яае сг Ис.
Молекулы, для которых величины скоростей лежат между с и с +де, причем направление скоростей образует с неподвижной пряной (например осью абсцисс) угол, лежащий между д и д +дд, совпадают с числом таких молекул, для которых точки скоростей лежат в кольце, образованном обеими вьппеупомянутыми сферами радиусов с и с +Ис и двумя коническими поверностями, вершины которых лежат в начале координат, оси совпадают с осью абсцисс, , а образующие составляют с осью углы д и д + ад; Так как это кольцо имеет объеи 2хс' зшд ° аь.дд, то число дте только что описанных молекул определяетср следующим выражением: Яэ = 2л ае ° се з1п д.
НЬ ИЕЕ = л%е~э а ' ~~о эе 2 (Э8) людвиг вся ьцмьн 214 Интегрируя выражение (37) по всем возможным значениям скоростей, следовательно, относительно с от 0 до со, мы получаем общее число вв молекул в единице объема. Это и следующее интегрирование легко производятся при помощи двух известных формул интегрального 'исчисления: В — Лсс У с сю в +в в(с Тогда получас: 1 - 3...121 — 1ДГ л за+ гсхы+ в (39) м ч/ л* вв=а у —, у~ Ьвс в ° .
(46) и побтому, вместо формул (86) и (87), можно написать; ъ «всвв Ьвссс р' —— в . в (41) в. Ч ГЬ сввв Ьс,с,в ввв (42) с(а, = 4вв )/ — в св ав. (43) О» ) свйв, в*= . 2асв Нас Аналогичным образом находим значение средней скорости: (44) Ос 1 ссвс е— (43) усввссв е Следовательно, имеем: = = — = 1,176. (;)в з (46) Умножая число вввв, на квадрат скорости в' тех самых молекул, число которых равно сввв„интегрируя по всем возможным значениям скоростей и, в-заключейне, деля результат на общее число вв всех молекул в единице объема, мы получаем величину, которую назвали' средним значением квадрата скорости и обозначили через с*. Следовательно, имеем: лвкции по ткогии газов Отложим теперь наосиабсцисс различные значения с н для них нанесем ординаты, длины которых пропорциональны величине е'е ~ и, следовательно, пропорциональны вероятности того, что скорость лежит между с и с + Ис, причем Ис имеет для всех е одно и то же значение.
Мы получаем, таким путем, кривую, наибольшая ордината .которой соответствует абсциссе 1 сл = ел.т-йл-(- ~л, то сл = Пл = лл = — ел = —, 3 2Лю' (48) Таким же путем мы могли бы вычислить разнообразнейшие средние значения. Мы имели бы, например: + сс СО 01Рс Л И+" +"'асязлС Х Ис-л;ЕаЕ с-л чг+М+св <~,~чз~ ~ с-~тн,У2 Аналогичные рассуждения справедливы, конечно, и для вторсгб. газа, и так кш( для обоих газов одной смеси Ь должно иметь одно и то же значение, то из формулы (44) для двух смешанных газов следурт, как велика должна быть плотность каждого из них: азу' = ал,еле.
(Ю) Эту абсциссу называют обыкновенпо наиболее вероятной скоростью. Если нанести значение квадрата скорости х= ел на оси абсцисс и строить ордипаты пропорциональными вероятности кого, что аз лежит между х и х + дх, причем для всех х днференциалы Их прдиимаются равными, то ординаты будут пропорцнональны Р з е Наибольшая ордината соответствует х= — —, что соответствует не 1 2Лт с с„л скорости с= с, а скорости с= =.
Можно было бы —, в опредас' У2' '2 ленном смысле принять как наиболее вероятный квадрат скорости. Рассмотрим в газе поверхность с площадью, равной единице, и будем искать среднюю скорость всех молекул, ударившйхся о нее в единицу времени,,среднюю клн наиболее вероятйую скорость; таким образом мы найдем снова величины, отличающиеся от тех, которые мьл определили как среднюю скорость и наиболее вероятную скорость.
Следовательно, все зги выражения, без точного определения того, как взято среднее, никоим образом не будут определены однозначно. С подобной многозначностью мы встретимся снова при определении средней длины пути. Так как 216 людвиг .Вольцмьн Если два сорта молекул газа смешаны в одной части пространства, то в общем случае молекулы одного сорта будут сообщать живую силу молекулам другого сорта, или йаоборот, Вышеприведенное уравнение говорит о том, что ни то, ни другое це имеет место, что, следовательно„ оба сорта газа, какова бы нк была их плотность и прочие, свойства, находятся в тепловом равновесии, если оба имеют маоквелловское состояние и если средняя живая сила молекулы имеет для каждого из. сортов газа одно и тоже значение.
Чтобы судить о том,имеют ли два газа одинаковую тезшературу, или имеет ли один газ большей плотности ту же температуру, что и однородный с ним меньшей плотности, мы доджны представить себе, что оба рассматриваемые газа разделяются теплопроводящей стенкой, и. спросить о тепловом равновесии в этом случае. Молекулярные процессы в такой теплопроводящей твердой стенке не могут быть подвергнуты вычислениям на основании столь' простых принципов. Но все же вполне вероятно и менуэт быть подтверждено вычислениями ~вообще только при известных условиях), что только что найденные условия теплового равновесия остаются справедливыми. Опытным доказательством справедливости этих условий является 'тот факт, чуо расширение газа в вакууме и днффузиядвух газов Совершается без заметной тепловой реакции.
При этом предположении вообще„ если два газа обладают одинаковыФи свойствами, но имеют разные плотности, яли мы имеем два различных газа, но эти газы и в том и в другом Случае находятся в тепловом равновесии, т. е. имеют одинаковую температуру, то средняя живая сила должна быть у одного газа такая же, как кдругого. Температура может быть, следовательно, только одинаковой для всех газов функцией средней живой силы молекулы .. Из формулы (6) ~4) следует сейчас же, что для двух газов одинаковой температуры, если при этом давления на единицу поверхности равны, к = к„следовательно,' числа молекул в едицнце объема равны, т. е. известный закон Авогадро. Так как, кроме того„ для одного и того же газа пь постоянно, то отсюда следует, что для одного и.того же газа при равных температурах, но переменных давлениях сз постоянно; а отсюда имеем, согласно формуле (7), что. давление р йропорционально плотности о, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
