Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Эта прямая С;С' представляет собой скорость молекулы мь относительно молекулы»ь, после удара, и можно видеть на рисунке, что ее длина равна С,С, тогда как утол, ебразуемый ею с прямой ОК, равен 100' — «г. Мы рассматривали до сих пор только одно из столкновений отмеченного тмпа и для него построили скорость после. столкновения. Рассмотрим теперь все отмеченные столкновения, для которых до удара выполнялись условия (10), (13) и (16), и спросим, между какими пределами лежат значения переменных д~я всех этих столкновений после удара. Так как мы предполагаем, что продолжительность удара бесконечно мала, то направление линии центров в момент окончания удара совпадает с таковой же в момент начала удара, и дело идет только о границах, в кэторых заключаются слагающие скоростей Ф', «1',' Г,.
(."1', Ч,', ь1' послеудара. Еслибымызахотеливычислнтьфункции(80), мы рассматривали бы д и а как постоянные, а с, и„(:, сх, Ч„('х — как независимые переменные и посредством известного функционального определителя Якоби выразили бы величины йс' Ь~' ИГ<М,'ИЧ«'<К,' через НИЧйс«18,«й), Щ,. Но мы опять предпочтем геометрическое построение и поэтому должны ответить на вопрос'. какие элементы объема описывают точки С' и С,', когда (при неизменном направлении прямой ОК) точки С и С, описывают элементы объема дш и дш,. Прежде всего, пусть вместе с направлением прямой ОК-остается неизменным т1псже и положение точки С, и только лишь точка С, описывает полный параллелепипед йо,. Из совершенной.
симметрии чертежа следует непосредственно, что С,' опишет 'конгруэнтный параллелепипед дш,', являющийся зеркэльным отображением параллелепипеда Нш,. Точно так же, как скоро точка С, закреплена и точка С описывает параллелепипед бш, точка.С'. описывает .параллелепипед «1ш', конгруэнтный.параллелепипеду Иш. Отсюда для всех столкновений, которые мы раньше назвали столкновениямй отмеченного рода, точки скоростей молекул иь лежат после удара в -параллелепипеде И<о', а молекул мед †параллелепипеде Зш«'г и всегда Иш'дш,' = «(ш йо,. Тот же результат можно было бы получить еще раз посредством точного вычисления функций (20), построив функпиональный определитель *: Рассмотрим теперь, кроме выделенных столкновений, еще другой класс столкновений молекулы н«с молекулой нь, который мы назовем «столкновением противоположпого родят.
Он должен характеризоваться следующими условиями: «См. «%1ен. 811гащввег1«Ыее, В. 94, Б. 625, 0«1. 1886:-ошяЬ«и«м«Ь, «ЯЧ«б. Ава». В. 29, В. 158, 1886. То обсюятельство, что углы В и е также еависцт вт положевия с и с, насколько не уменьшает убедительности выводов, сделанных в тексте. Можво было бы вначале ввести вместо В и «два угла, опреде=' ляюпще абсолкпное положение Оя в пространстве, еатем преобраеовать $, ч, 8 в 8', и', ь„и, наконец, снова ввести д и «.
198 людвиг вольцмаи 1. Точка скорости молекулы т должна лежать до столкновения в элементе объема дв', число молекул та в единице объема, для которых это условие выполняется, равняется, аналогично формуле (9) — 1'ди', где ~' есть значение функции 1, когда в нее вместо Е, я, Е подставлены Е', с', Г, и изображает, следовательно, величину,1(Е', я', Е„~). 2. Точка скорости молекулы ж, должна до столкновения лежать в элементе объема Ие„'. Число молекул тл, в единице объема, для которых это условие вйполняется, равно У,' Ие,', причем У,' есть сокращенное выражение для Р(Е~', ч,', Е~', 1).
3. Линия центров обеих молекул в момент столкновения, проведенная на этот раз от молекулы т', к молекуле ж, должна быть парэлЛельна некоторой прямой, проведенной из начала координат внутри конуса Ы (в те интегралы, которые относятся к столкновению однородных молекул, естественно, вместо молекулы массы ж, входит такая, компоненты скоростей которой мы обозначили через Е„п,, Е,). Рис. а. Рве. 3. Рис. 3, на котором по возможности сохранены положения всех линий, изображает то же самое столкновение, для которого был сделан схематический рис. 2. Рис. Ф изображает противоположное столкновение [').
Стрелки, направленные к центрам молекул, представляют собой скорости до столкновения, направленные от центра — скорости после столкновения. Во всех столкновениях противоположного рода скорость молекулы т относительно молекулы т, до удара изображается прямой С,'С' (рис. 2), которой она равна по величине и направлению. Следовательно, ее величина опять равна д, и она составляет с линией центров, проведенной снова от ж к ж;, угол д (направление линии центров мы равным образом обернули).
Угол д, естественна, снова должен быть острым, чтобы соответствующее столкновение было возможно. Отсюда число столкновений противоположного рода, происходящих за время й в единице объема, определяется совершение аналогично формуле (18) через: Йт' = 1'Р1'Йо~'Йсо 'озд соз 0 сИ 31. (22) ликции по тногии ГАзов Мы назвали эти столкновения «столкновениями противоположного рода» потому, что течение их как раз противоположно тозгу, которое имеют первоначально выделенные, так что, следовательно.. для разбираемого случая скорости обеих молекул после столкновения лежат в пределах (10) и (13), в которых для первоначально выделенных столкновений лежали скорости до столкновейия.
Благодаря каждому противоположному столкновению как число 1 Исо, так и число У,дм увеличивается на единицу. Чтобы найти' общее приращение, которое получает число 1 био благодаря всем столкновениям молекул т с молекулами т, за время й, нужно, прежде всего, в диференциальном выражении (22) при помощи чравнения (20) заменить 3.', з', Г, 3,', 0,', (',' через переменные Е, з, (;, Е„ ь,, д и г, что, вследствие того, что дно' дю ' = дно дсо„дает: Но' = Щ'Исо йю,о*у созд сИ 33. (23) Мы оставляемв формуле буквы.
~', г" и ~И, напоминая, однако, еще раз, что содержащиеся вних переменные Е', 0', С', 3, в,', ~,' нужно представлять себе как функции 3, я; с, 3,, 0„('„р и е и что Н1 выражается через диференцизлы последних углов. Можно бы; ло бы, как известно, заменитьой через з(п д дпдз. В диференциальномвыражении (23) Е, я, (', Нсо и Й рассматриваются теперь как постоянные, и интегрирование происходит по всем возможным значениям Исо, и Ю. Благодаря этому охватываются все ртолкновения, происходящие между молекулами и и молекулами та,, таким образом, что слагающие скоростей первых молекул после столкновения лежат в границах (10), причем не ставится больше никаких ограничивающих условий. Результат этого интегрирования /Ъ' дает нам, следовательно; приращение 1'Йв вследствие всех столкновений молекул з1 а молекулами ю, за время й.
Совершенно аналргичным образом находим мы приращение этого числа вследствие столкновений молекул тв между собой,т. е. величину /он', где На' .1' ~,'йи.йсо ззр созд ~И й, (24) 7,' при этом снова есть сокращение (~ля Я,',я,, (,, 1); Е', з,', (',' являются постольку другими функциями Е, '0,, (з, д и е, поскольку они изображают .компоненты скоростей после удара, определяемого снова начальным условием (10), (18); (16), но в которых обе молекулы имеют массы ю. Вычитая из общего приращения числа гасо общую убыль, мы д~ находимизмерение — йо а1, которОе, вообще, получает число р3се за время й; следовательно, имеем: Я',ам=~ Ы вЂ” ~.йе+~Ы вЂ” ~ив.
В интегралах / яе и ~ аз' как переменные интеграции, так в' мх пределы совпадают; так же в интегралах„~ Ыв и / йк'. людвиг вольцилв Отсюда, соединяя. такие интегралы в один, деля все уравнения на йи д$ и принимая.во внимание уравнения (18), (19), (23) и (24)г имеем: -~~= / 0'Г;=Ж)с'доезда 1И+ / (П,' — В)г'дсоздй»,уИ.
(23) Интеграция распространяется на все возможные значеииа. йе' и, ~И. Точно так же получаем для функции г' — уравнение: ' = / (7У,' — ~Р)с~дсоз д йо ЙХ+ ~Я~' — Ц)зздсоздйо И. (26) При этом з, есть диаметр молекулызь,; в формуле (26) Ф„%, ь'г суть- произвольные значения, которые в интегралах рассматриваются как постоянные, в то время как интегрирование распространяется на все возможные значения с, з, ~. Компоненты скоростей, после столкновения выделенного рода, суть Г, с', Г, с1', п1', (',' в первом интеграле в том случае, когда одна из столкнувшихся молекул имела массу ж, другая — массу вь,.а во втором интеграле в том случае, когда обе молекулы имеют-массы ж; —., Р и Г' суть сокращенные ай; Эз ' выражения для — (Ю,,эу,,~„~), Р(Ю,эу,С,с) н Р(Ю,ч,С, С).
дР дауд При наличии стационарного состояния величины — и — 'длявсех д1 дФ значений переменных должны исчезнуть. Это наступает бесспорно тогда, кбгда во всех интегралах величины, стоящие над знаком интеграла, исчезают при всех значениях переменных; когда, следовательно, для всех возможных столкновений молекул ж между собой, молекул ж, между собой и молекул т с молекулами ж, имеются три уравнения: (27) Так как вероятность первоначально отмеченного столкновения дана уравнением (18), противоположного — уравнением (23), то, вообще, справедливость третьего уравнения'(27) равнозначна с утверждением того, что, так как всегда йи, Ие, и ~И-могут быть выбраны как угодно, первоначально отмеченное.(короче, прямое) столкновение точно также вероятно, как и противоположное; иначе: одинаково вероятно как то, что молекулы столкнутся каким-нибудь определенным образом, так и то, что онн столкнутся прямо противоположным образом.
Это же самое следует из обоих других уравнений (27) для столкновений молекул ж между собой и молекул т между собой. Но можно видеть сейчас же, что распределение должно оста ваться стационарным, если для него, вообще, равновероятно как то, что две молекулы после столкновения разойдутся каким-нибудь определенным образом, так и то, что опн столкнутся в обратном направлении. ликции НО тиОРНН газов $5. Доказатвльство того, что максвклловскои Распркдклинии скорое стей ксгь вдинствннно ВОэможнок Решением уравнений (27), которое не представляет собой особых трудностей, мы займемся позже. Эти уравнения неизбежно приведут нас к известному максвелловскому распределению скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
