Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если число молекул достаточно велико, то скоро, благодаря дальнейшим ударам, появятся всевозможные скорости от нуля до некоторого предела, величина которого значительно больше, чем первоначальная одинаковая для всех скорость молекул. Задача заключается в том, чтобы определить, по какому закону будут распределены скорости в получившемся конечном состоянии, или, короче говоря, дело идет о том, чтобы знать закон распределения скоростей. Для того чтобы найти его, мы сразу возьмем более общий случай.
Предположим, что мы имеем в сосуде два рода молекул. Пусть каждая молекула первого рода имеет массу т, каждая молекула второго рода — массу та,. Назовем нх кратко молекулами ж и, соответственно, ~в,. Изобразим распределение скоростей, которые господствуют в некоторый момент $ среди молекул следующим образом. Проведем из начала координат столько прямых, сколько молекул т содержится в единице объема.
Пусть каждая из этих прямых будет равна по величине и направлению скорости соответствующей молекулы. Коночные точки этих прямых назовем коротко вточками скоростей» соотвествующих молекул. Допустим, что в момент г И, Ч, ~, ~) М бЧ 4~ = 1Ы (8) есть число тех молекул ж, для которых слагающие скоростей по трем координатным осям лежат в пределах 8 и Ю+ бз, и и б+ йП, С и С+Ж.
(10) Точки скоростей этих молекул, следовательно, лежат в параллелепипеде, одна вершина которого имеет координаты з, ~), ь, а ребра людВЫГ Вольцмлн параллельны осям координат и имеют длины Ис, бч, И('. Этот параллепипед мы будем всегда обозначать как параллелепипед Ив.
В целях сокращения мы будем обозначать через йо также и произведение дай~, а через 1 — выражение Я,п,(',1). Если бы Ны был элемент 'объема (конечно, бесконечно малый) какой-либо другой формы, содержащий точку с координатами с, и, ~, то само собой разумеется, что число молекул ж, точки скоростей которых лежат внутри И<о, также выразится величиной: Я,й,~, 1) Нсо. (11) Это легко можно показать, если мы разложим элемент объема дм на еще более мелкие параллелепипеды. Если известна функция ~ для кз;кого-нибудь значения 1, то тем самым определено распределение скоростей между молекулами т в момент 1.
Совершенно аналогичным образом мы представим скорость каждой из молекул тв~ прп помощи соответствующей ей точки скорости и обозначаем через (12) 3У„ч„~,, 1) 641 бчд б~ъ = Уд йш1 число молекул ув „слагающие скоростей которых лежат между некоторыми другими пределами: 6~ и 1~+бб~, п~ и й~+(чю (~ и 1~+б 1ю (1а) и, следовательно, точки скоростей которых лежат в некотором аналогичном параллелепипеде Нсо,. Как и раньше, обозначим через йи, произведение Ыб,<Ь~,Н('„а через У, — функцию Р(б„ч„(„1), Прежде всего' полйостью исключим действующие на газ внешние силы и предположим, что стенки сосуда идеально гладки и упруги. Тогда отражающаяся от стенки молекула будет двигаться так, как если бы она пришла иэ некоторого газа, который является зеркальным отражением нашего газа (степки сосуда рассматриваются как отражающие поверхности), и, таким образом, совершенно одинаков с нашим газом.' Так как принимаются во внимание только молекулы, находящиеся в непосредственной близости к стенкам сосуда, то мы можем считать зеркало всюду плоским.
При этих предположениях газ во всех точках внутри сосуда находится в равных условиях. И если в начальный момент во всех местах газа на единицу объема приходится в среднем некоторое количество молекул, слагающие скоростей которых лежат в пределах (10), то такое распределение остается ив дальнейшем. То же самое имеет место для второго сорта газа.
Если мы примем это, то получим, как следствие, что число молекул т внутри какого-либо объема Ф, удовлетворяющих условию (1О), пропорцио= нальпо объему Ф, т. е. равно Ф~ Ысо. (14) Точно так же число молекул пь, находящихся в объеме Ф и удовле- творяющих условию (13), равно (14а)1 ФР, И<о,, лнкцни по твогнн газов При этих предположениях мы можем всегда считать, что на место молекул, покинувших в результате поступательного движения некоторое пространство, в него, в среднем, всегда входит из соседних мест или в результате отражения от стенок сосуда равное число совершенно таких же молекул, так как распределение скоростей меняется только благодаря столкновениям, но не вследствие поступательного движения молекулы.
Позже в 3 15 — 18, принимая во внимание влияние силы тяжести и других внешних сил, мы избавимся от этих ограничивающих предположений, которые нам пришлось сделать только для упрощения вычислений. Итак, рассмотрим прежде всего простое столкновение между молекулой «з и молекулой «а». Из всех столкновений, которые произошли за время г в единице объема, выделим только те, для которых выполняются следующие три условия: 1. Компоненты скорости молекулы ш должны до удара лежать в пределах (10); соответствующая точка скорости находится, следовательно, в параллелепипеде бе. 2. Слагающие скорости молекулы»а, должны до удара лежать в пределах (13); соотвествующая точка скорости находится, следовательно, в параллелепипеде Н«о,. Все молекулы »а, для которых выполнено первое условие, назовем «молекулы »а отмеченнога сорта» и в аналогичном случае говорим о «молекулах з», отмеченного сорта».
3. Мы строим шар с радиусом, равным единице, центр которого есть начало координат, и на шаре берем элемент поверхности од. Линия, соединяющая центры ш и т, столкнувшихся молекул, должна в момент удара быть параллельной некоторой прямой, проведенной из начала координат в некоторую точку элемента поверхности бд. Совокупность таких прямых образует конус ~И. Направление з»з» в конусе о1. Столкновения, происходящие так, что при этом выполняются зти три условия, мы назовем короче: «столкновения отмеченного сорта», и наша задача состоит в том, чтобы определить число о»' столкновений отмеченного сорта, про- с, исходящих в диференциал времени й в единице объема. Изобразим это столкновение на рис. 2.
дг О есть начало координат, С и С,— точки ско- 8 ростей обеих молекул з» и з», до удара; таким образом прямые ОС и ОС» по величине и направлению совпадают со скоростями этих, молекул до столкновения. Точка С должна лежать внутри параллелепипеда до», точка С, — внутри парал- я лелепнпеда о«о,, Оба параллелепипеда на рисунке не показаны. ОК есть прямая, равная гзс. г. единице длины того же направления, что и линия центров, проведенная в момент столкновения от молекулы и» к молекуле з»,.
Так~и образом точка К должна лежать на элементе '19й людвиг вольциан поверхности Ю, который также на рисунке не показан. Прямая С,С д равна по величине и направлению скорости молекулы т относительно молекулы гп, до удара, так каи ее компоненты на оси координат равны соответственно д — д„г7 — 77„4 — ь,. Частота столкновений, очевидно, зависит только от относительной скорости. Поэтому, когда мы захотим определить число столкновений отмеченного сорта, мы можем положить, что'молекулы зг, выделенного сорта находятся в покое, .а молекулы ш отмеченного сорта двигаются со скоростью д. Мы представим себе, что с каждой из последних молекул жестко связан шар радиуса о (шар' о) и притом так, что центр шара всегда совпадает с центром молекулы.
Радиус о равен сумме радиусов обеих молекул гя и тп . Каждый раз, когда центр молекулы пег достигает поверхности шара, происходит столкновение одной молекулы гп с одной молекулой пег. Мы построим теперь из центра каждого шара а конус, подобный конусу 4И и подобно с ним расположенный. Таким образом из поверхностей каждого такого шара вырезается элемент поверхности, площадь которого есть ое ~И. 'гак как шары о жестко связаны с соответствую:щими молекулами, то все эти элементы поверхности ое аИ за время й переместятся относительно молекул 7744 выделенного сорта'на расстоямие дй. Столкновение выделенного рода происходит всякий раз, когда такой элемент поверхности от ~И достигает центра молекулы ш, отмеченного сорта, что, естественно, возможно лишь тогда, когда угол между направлением прямых С,С и ОК острый.
Каждый такой элейент поверхности образует в своем движении относительно молекулы гп, выделенного сорта некоторый косой цилицд17 с основанием огйа и высотой дсоздй. Так как в единице обЪемасодерцгнтся 7дш молекул ж выделенного сорта, то все косые цилиндры, образующиеся таким образом из элементов поверхностей очи, 'имеют общий объем Ф= 7 йп оед соз ОгИ й; (16 За время й элемент поверхности оагИ достигает всех центров молекул гв, выделенного сорта, лежащих внутри этого объема Ф. Поэтому число де столкновений выделенного рода, происходящих-в единице объема за время й, равно числу Яо центров молекул ш, выделенного сорта, находящихся в начальный момент времени й в объеме Ф; нз формулы (14а) имеем: (17) В этой формуле, как ясно подчеркнул ВигЬпгу ', содержится особое предположение.
С точки зрения механики возможно любое чжспределение молекул в сосуде, и даже такое, при котором переменмые, определяющие движение молекул в одной конечной части пространства,наполненного газом, имеют среднее значение, отличное от соответствующих значений в другой части газа; например, плотность .или средняя скорость мдлекул в одной половине сосуда больше, чем е «Ь7агпге», Вз. 51, 8. 78, 22 77отешьег 4894. См. также Воггвалп, гге17агв Юешегкппзеп ЗЬег гНгшееьеогге, еЖ1епвг Змаппзаьегг, Ва. 78, Юппг 1878, 3 в 'ь отр.
е каппа. ЛЙКЦНИ ПО ТЙОРИИ УАЗОВ в другой; или вообще какая-нибудь одна конечная часть газа ведет себя иначе, чем другая. Распределение такого рода называется полярно-упорядоченный. Формулы (14) и (14а) есть, следовательно, выражение того, что распределение молярно-неупорядоченное.
Если распределение молекул не обнаруживает никакой закономерности, которая изменялась бы от одной конечной части пространства к другой, следовательно, если распределение молярно-неупорядоченное, то все-таки может обнаружиться определенная закономерность в группах, каждая из которых состоит из двух соседних молекул, или в группах, которые охватывают большее число молекул и в то же время. -заключены в исчезающе малых областях пространства. Распределение, которое обладает закономерностью такого рода, мы назовем молекуляр'но.упорядоченным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
