Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для последнего, следовательно, исчезают обе величины —, 'И вЂ”, так дг" . дУ как для всего интеграла величина, стоящая- под знаком иитет рала, тождественно равна нулю. Этим доказано, что максвелловское распределение скоростей, раз установившись между молекулэми, в дальнейшем от столкновений не меняется. Йо вместе с тем еще не. дано доказательства того, 'что выражения (26) и (26) не могут быть обращены в нуль при помощи еще и друиэх функций без того, чтобы во всех интегралах величины под знаком интеграла исчезали для всех значений переменных интеграции. Хотя подобного рода сомнениям' можно придавать сколь угодно мало значения, все же я считал себя обязанным уничтоясить их особым доказательством. Так как последнее, как мне кажется, имеет небезынтересную связь с принципом энтропии, я воспроизведу его в той форме, которую ему придал Лоренц.
, Мы рассматриваем ту же самую смесь газов, как н раньше, и оставляем все прежние обозначения. Кроме того, мы обозначаем через Ц и 1У натуральные логарифмы функций 1 и Р. Результат. который мы получим, когда подставим в Ц компоненты скоростей «, соответствующих определенной молекуле газа массы кг в определенный момент времени $, назовем значением логарифмической функции этой. молекулы в данное время.
Совершенно аналогичным образом мы получим значение логарифмической функции для некоторой молекулы гв, в некоторое время, вставляя в Ж, компоненты скорости «„г)„«, соответствующей молекулы ж, в соответствующее время. Высчитаем теперь сумму Н. всех значений логарифмической функции, соответствующих в определенный момент всем молекулам,тя и тяа, содержащимся в единице объема. В момент з в единице объема долнсно находиться у Иго молекул гп отмеченного сорта, т. е.
молекул гя, компоненты скоростей которых лежат в пределах (10). Совершенно очевидно, что они дают в-сумме Н член у . Ц . йо. Составляя аналогичное выражение для молекул гя и интегрируя по всем возможным значениям переменных, получаем: Н= У1. Ц.а +УУ,. )У,'И,. (2В) Мы будем искать теперь изменения, которые получит Н за некоторое очень короткое время Й. Эти изменения вызываются-двумя причинами ": а Можно было бы пряведовнос в текста докаватольство продогаввть слодующим обрааом в более аналвтичосков форме. Мы бесспорно охватны всо воаможныо аначоння, если мы в обоих интегралах, сумма которы~ равна Н, проиаведем интеграцию по всем поромонвым от — ос до + со. Скорости, которыа не могут появиться в гасе, вса равно- выпадают иа ивтагралов, так как для 2О2 людвиг волБциаи 1-ая п р и ч и н а.
Каждая молекула кс отмеченного сорта дает еа время С в выражении (28) член 1у. За время с(С функсщя у получает приращение: Отсю)(а Ц получает приращение: — + — с(с 1 дс д и это- дает каждой молекуле пс выделенного сорта в выражении (28) член: |2Н них исчезают С' нлп Р. В таком случае пределы ксизмеииы, и можно найти —, ас проднференцировав подинтегральное выражение по с, что дает: Можно видеть сейчас же, что оба первых члена представляют прирасценне Н, обусловленное той же самой причиной, которая в тексте была названа первой, и что они исчезают на основании причин, приведенных в тексте.
Два других члена представляют собой прирасценне Н, вызванное второй причиной, ас аР н после подставки значений — и — ив уравнений (25] и (26), дают: дс дс — = / гс()'р; — Р,)|се+ ~ (с'(с й' — сс )4 + |СН /' +У(ы,— та +1(р,( т; — рр,)а„ (29) ГДЕ НаПИСаНО ССЕ, |СГ, Г, СООтастотВЕННО ВМЕСТО О'д СОЗ д |Са> |(|ос |Ь, Е'а СОЗ д дж а|Ос аз и зссасозд|С|зсС|ос|Ь. Интегрирование распространяется на все возможные аначения переменных. ' Можно видеть сейчас же, что сумма.
~ у'Су'асс+ / гс'Сгс'|С|с|', если толь. ко интегрссровакие снова прокззсднтся по всем возможным значениям, также равна Н. Дкференпдрованке дает: ан ау', уды,, с,о1, с',ар; ас ,/ ас ./ ас ' ,/ ас ,/ ас ас' аР' ас дР Величины — — и — можно было бы найти точно так же, как — и —, дс дс дс ас если бы 'вместо столкновения, в котором компоненты скоростей были: до удара: д, ч, г, дсд л„ь„после УдаРа: д', е', ь', ас', |с,', ь ', Рассматаивать такое столкновение, в котором компоненты скоростей бити до удара: д', е', ь', дс', ч ', сс', а после удара: д, е, ь, дн ес, ьс. Уже на основании простой симкетрик имеем: а( ас,у — Ц)гс — Сага') ееа соз д йос'аз+ ~' (У~с — УУс') и'д соз д асс се. лекции по творим газов Отсюда все молекулы т отмеченного сорта вместе дают в выражении (28) по истечении времени 1 величину (у+ 1 41)~ ( /' 31 и., „+ / бг1 й ~ Но это ие что иное, как изменение общего числа молекул кь и т, в единице объема, которое должно равняться нулю, так как ни величина сосуда, ни равномерное распределение в нем моледул не.
должнь( изменяться. д)г' к аналогично †. Подстановка этого выражения в уравнеыие (30), принямая дг ' во внимание, что о~а первых интеграла правой части втого уравнения исчевают и что серою»' = »(ю»(е» дает: 3» = / )1 М»-1и»)ЕЕ+ ~ 11 (11» — 11 )»(г+ дН /» + / 1)г»'(1㻠— 1Р»)ор+ ~ (г»'(г㻠— 'г'У,')й;. (31) Так как при столкнвнении двух молекул ж нли двух жшекул ж, обе сталкивающиеся молекулы 'играют одинаковую роль, имеем еще и два аналогичных уравнения для г'. Принимая это во внимаыие и ваяв ие ЙН обоих уравнений (30) н (31) среднее для —, пояучим данную втексте величину; дг ' —,1 = — --о1 (1(У'Р;) — 1(ЖН (1'~ ' — 1)г.)и†еН 1»» — 4 (1 (11* ) — ( (11.Н (1 1.
— 11.) "" — — ' / (1(Р'Р,') — ((РР»'Н (Р)г»' — ру,) й;. Зто докавательство пенного короче, но кажется аависящим от определен. нмх математических условий (воеможйости виференыирования иод авакбм ввтеграла и т. п.), которые фактически канают тольно иа силу докааательства, но не на правильность теоремы, таы как в ыей вдет дело,. собственно говоря, только об очень больших, но ые бесконечно больших чйелах. Совершенно беа введения определенных интегралов теорема была доку) вана в »%1епег БмаппйеЬег». Вд. 8, Ос1оьег 1873; аьасЬ. П.
Произведя подобное рассуждение для всех остальных молекул тв и т„найдем для полного приращения, которое получает Н вследствие изменения величин )1 и 1и' под знаком интеграла в формуле (28), величину: 204 людвиг вольцмлн 2-ая п р и ч и н а. За время й, вследствие столкновений, меняются не только величины Ц и ьГ в выражении (28), но и множители ('йо и Р, йо„ т.
е. меняется число молекул отмеивиного сорта. Изменение ЙН величины Н, вызванное этой второй причиной, согласив вышесказанному, будет равно общему изменению величины Н за время й. Чтобы найти его, обозначим снова через бдчислостолкновений етмеченного типа в единице объема за время й. Благодаря канщому такому столкновению число ~ йо молекул т, отмеченного сорта, а также число Уфсб, молекул т, отмеченного сорта уменьшается на единицу. Так как каждая из молекул ж дает в выражении (28) слагаемое Ц, каждая из молекул т, — слагаемое 17„то благодаря отмечен.
ным столкновениям величина Н уменьшается в целом на (Ц +- Ж)~'. Но благодаря каждому такому столкновению увеличивается на единицу число у'йо' молекул ж, точки-скоростей которых лежат в параллелепипеде асс'; а так как каждая такая молекула дает в выражении (28) слагаемое Ц', то Н увеличивается на Ц'й. Наконец, благодаря каящому отмеченному столкновению число Р,'йо,' молекул т„точки скоростей которых лежат в параллелепипеде 8<о,', увеличивается на единицу; отсюда благодаря всем отмеченным столкновениям 'Н увеличивается за время й на 1Г,'. Поэтому общее приращение, которое получает величина Н благодаря отмеченным столкновениям за время й, равно: ((Г +ы1' — ц — цубу)а = = (Ц' + Ы ' — Ц вЂ” 1Р ) $Р йод йо озд соз д сИ й. Положим в этом выражении й постоянным н произведем' интегрирование всех других переменных по всем возможным значениям, причем, естественно, полагаем, что Ю', и', »', Ф1', и,', »,' выражены через переменные 'интеграции Ю, в, », д„п„»;, отсюда получаем общее приращение Й,Н, которое получает Н благодаря всем столкновениям молекулы ж с молекулой т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
