Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Мы имели бы (выбрав иэ бесконечного множества всех возможных случаев только два примера) молекулярно-упорядоченное распределение, если бы каждая молекула летела к наименее удаленной от нее как к центру притяжения йли если бы каждая молекула, скорость которой лежит в определенных пределах, имела в' качестве непосредственных соседей еще десять особенно медленйо движущихся. молекул, Если бы такая специальная группировка не ограничивалась известными местами сосуда, но в среднем-одинаково часто встречалась бы во всем сосуде, то, тем не менее, распределение было бы молярно-неупорядоченным.
Тогда для единичных молекул остаются справедливыми формулы (14) и (14а), но не формула (17), так как соседство молекулы т имело бы влияние на вероятность того, что молекула т, лежит в пространстве Ф. При исчислении вероятности присутствия молекульгж, в пространстве Ф это присутствие не может быть рассматриваемо как событие, независящее от соседства молекулы в1. Следовательно, справедливость (17) и обеих аналогичных формул для столкновений молекул аь между собой, равно как и молекул ж, между собой, можно будет рассматривать как определение того, что распределение состояний есть молекулярно-неупорядоченное.
Если в Разе средняя длина путц велика по сравнению со средними расстояниями между двумя соседними молекулами, то, спустя корот-., кое время, в непосредственной близости друг к другу окажутся совсем другие молекулы. Весьма вероятно поэтому, что очень скоро молекулярно-упорядоченное, но молярно-неупорядоченное распределение перейдет в молекулярно-неупорядоченное. Каждая молекула пробегает от одного столкновения до другого такой большой путь„ что появление в том месте, где происходит второе столкновение другой молекулы, находящейся в определенном состоянии движения, должно рассматриваться при исчислении вероятности как событие, совершенно не зависящее от того места, из которого прилетела первая молекула (следовательно, и от состояния движения первой молекулы).
Если же мы после предварительного определения траектории каждой отдельной молекулы рыберем начальную групировку так, чтобы намеренно нарушить законы теории вероятностей, то тем самым мы можем создать длительно существующие закономерности, иначе говоря, сконструировать почти молекулярно-неупорядоченное распределение,так, 19'4 людвиг вольцмпн чтобы опо, спустя некоторое время, стало молекулярно-упорядоченным.
Кирхгоф * также включает предположение о тчм, что состояние является молекулярно-неупорядоченным, в определение понятия вероятности. О том, что для точности доказательств необходимо вЫсказать это предположение, впервые было замечено во время дискуссии о доказательстве моей так называемой Н-теоремы или .минимум-теоремы. Было бы, однако, большим заблуждением думать, что это предположение необходимо только для доказательства Н-теоремы.
Вследствие невозможности рассчитать положение всех молекул для каждого момента времени так, как астрономы рассчитывают положение всех планет, без этого предположения вообще невозможно доказательство каких бы то ни было положений теории газов. Это предположение используется при вычислении трения, теплопроводностн н т. п. Точно так же без этого предположения нельзя доказать возможность максвелловского . закона распределения скоростей, т. е. нельзя доказать,что, раз.устаноиившись между молекулами, оно сохраняется до бесконечности, ибо также нельзя доказать, что распределение всегда будет оставаться молекулярно-неупорядоченным. В самом деле, если максвелловское состояние произошло из некоторого другого, то точное обращение всех скоростей магесвелловского распределения снова дало ' бы нам первоначальное распределение(гл.П, половина 9 6). Следовательно, вначале могло бы существовать состояние 'сколь угодно близкое к максвелловскому, которое затем перешло бы в другое.
Нужно рассматривать как преимуп(есзво, а не как недостаток то, что минимум-теорема связана прямо с предположением молекулярной неупорядоченности, ибо именно Н-теорема так осветила идеи, лежащие в ее основе, что заставила признать необходимость этого предположения. Мы будем принимать, что движение — полярно- и молекулярно- неупорядоченное и таким остается в дальнейшем. В таком случае формула (17) Остается в силе й мы получаем; до=Я = ФЪ'~От = ~г(~Р~Ит гг~дсозбЫй. (18) Это есть искомое число столкновений отмеченного сорта, происходящих в единице объема за время й. Пренебрегая скользящими столкновениями, число которых есть всегда бесконечно малое высшего порядка, мы считаем, что вследствие каждого столкновения по крайней мере одйа компонента скорости каждой из сталкивающихся молекул изменится на конечную величину.
Отсюда благодаря казгдому столкновению отмеченного сорта уменьшается на единицу как число уйо молекул гп в единице объема, с компонентами скоростей, лежащими в пределах (10) (которые мы всегда называли молекулами т отмеченного сорта), так н числоР,е)т„содержащихся в единице объема молекул гп,' отмеченного сорта. Чтобы найти общую убыль/е(п числа 1'йп за время й, благодаря всем столкновениям молекул т с молеку-' лами гп, (без ограничения' величины н направления скорости последней молекулы или направления линии центров), мы должны в выра-' * «Чог1ееппхеп вЬег %лгтееьеог1еь 14 Чег1ее., 1 2„8. 145, Е.
5. 19Ь дикции по тковин ЗАВОВ ксении (18) «, 0, д, йэ ий рассматривать как посеянные и произвести интегрирование по всем возможныь( значениям дно и ЦЛ, т, е. относительно Исо, по всем элементам объема,' относительно И вЂ” по всем элементам поверхности, для которых угол д остается острым. Обозначим результат этого интегрирования через /Ъ.
Совершенно очевидно, что уменьшение 4п числа 1дю благодаря соответствующим столкновениям молекул пь между собой выражается аналогичной формулой, в которой «„ 6„ «, обозначают'компоненты скорости другой молекулы ж до удара. Длявсехдругихвеличин остаются прежние значения, но вместо т, стоит т, вместо функции У— фуйкция 1„а вместо о — диаметр г молекулыт. Вследствиеэтого вместо Ио, имеем вырикение: Нп = ц-йод~,ззд создсЬФ, (19) где 11есть сокращенное вузражение для Я „я,, «,, ~). Само соббй разумеется, что ири образовании/ ~Ь, т.
е. общей убыли числа 1 бе за время й благодаря столкновенйям молекул т между собой, величины «„и, «, де и Й снова рассматриваются как постоянные, и интегрирование производится по всем возможным значениям йо, и Ю. Следовательно, общая убыль числа ~йо за время й равна / ~Ь + / Ип. Пусть состояний стационарное; тогда выражение (19) точно равно числу молекул т в единице объема, скорости которых вначале диференциала времени й йе подчиняются условию (10), но за время й благодаря столкнове)гиям так изменяются, что становятся удойлетворяющими ему, иначе молекулы за время йс, благодаря столкновениям получат скорости,- лежащие в границах (10); следовательно, наше выражение равно общему приращению числа 1йо благодаря столкновениям.
'9 4. Пгодолжнник: значкнив пкгкмкнных посли отолкновиния пготивопо.,икного типа Чтобы найти это приращение, мы будем, прежде всего, искать значение скоростей обеих молекул после столкновения отмеченного рода. До удара одна из столкнувшихся молекул, масса которой гв имеет слагающие скорости «, и, «, вторая, с массой аь, имеет слжающие скорости «,, Ч,, « . Линия центров, проведенная от ~а -к жт, составляет в момент удара со скоростью молекулы пь относительнот,, угол д, Бсли, кроме того, дан еще угол г междуплоскостью, в которой лежат обе эти прямые, и какой-либо другой заданной плоскостью, например плоскостью, заданной обеими, скоростями до удара, то столкновение совершенно определено.
Компоненты скоростей-«', и', Г, и «,', в,', «,' обеих молекул после столкновения могут быть, следовательно, выражены как однозначные функции восьми переменных «, й, «, «,, ч„«„д и е: «'= ~Р(«, 0,«,«,1 0,«,д;в), (90) =ч'И ч««ч «~де) людвиг вольцмлп Мы предпочитаем, однако, геометрическое построение алгебраи. ческому выводуфункций(20)и возвратимся для этого назад, к рнс.
2. Мы делим прямую С,С точкой Я на две части так, чтобы иметь: СьЯ: СЯ = ю: яь . В таком случае прямая ОЯ представляет собою скорость общего центра тяжести обеих молекул; ибо можно видеть сейчас же, что ее трп проекции на оси координат равны: ~4+ ~Фь тч+ м,ч, т(+ э~А (21) ш+ ~э, ' + и ' т + т а это и в самом деле есть проекции скоростей общего центра тяжести. Совершенно также, как мы доказали, что С,С есть скорость молекулы тв относительно молекулы т„мы имеем, что ЯС и ЯС, суть скорости обеих молекул относительно их общего центра тяжести до столкновения.
Слагающие этих относительных скоростей, направленные перпендикулярно к линии центров ОК, не меняются от столкновений. Пусть компоненты на направление ОК до столкновения равны Р и 'Р,, цосла столкновения р' и р,'. Тогда из теоремы о движении центра тяжести имеем: тР + тУ, = тр' + иь,Р', = О, а из теоремы живых спл: ФВР + Флэр~ = ФИР' + ФВ,Р,'. Отсюда следует, что илп Можно сейчас же видеть, что только последнее решение правильно, так кзк после столкновения молекулы снова разойдутся, следовательно, обе слагающие скоростей относительно центра тяжести на направление К,К, э' ОК после столкновения запенятся обратными величинами.
Отсюда получается следующее построение прямых.ОС' и ОС', изображающих собой по величине и направлению скорости обеих молекул после удара.-Через з проводится прямая 21йэ параллельно ОК, затем в плоскости прямых Х,Кэ и СьС проводим обе прямые ЯС' и ЯС,', равные подлине ЯС и ЯСь и равно наклонные относительно а,яэ.
Конечные точки С' и С', обеих последних прямых суть одновременно конечные точки искомых прямых ОС' и ОС',. Мы можем их назвать также точками скоростей обеих молекул после столкновения. Проекции ОС' и ОС; на три координатные оси есть, следовательно, компоненты скоростей з', и', (,", Е;, и'„~,' обеих молекул после столкновения. Это геометрическое построение полностью заменяет иам алгебраический вывод функций (20). Точки С;, Я и С' находятся, лшеции ие твоуки ГАЭОВ само собой разумеется, на одной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
