Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Напишем все это в символической форме: Й,Н = й/(Ц'+ цс 'Ц вЂ” (Г,)/Р йо йо,о'д создсй. (31а) Но мы можем вычислить эту же самую величину при помощи рассмотрения тех столкновений, которые мы обозначили как столкновения противоположного типа и число которых в единице объема за время й было равно й'. Благодаря каждому столкновению этого типа числа ~'йсо' и Р 'дно,' молекул ж и ть, точки скоростей которых лежат соответственно в параллелепипедах де' и асс,', всегда уменьшаются на'единицу; и, наоборот, числа Гою и Рфсо, молекул ж и ж„ точки скоростей которых лежат соответственно в йараллелепипедах йэ и йог, всегда увеличиваются на единицу. 'А так как каждая ив молекул у'йэ' дает в выражении (28) слагаемое Ц', каждая им ликцнн по ти9РИИ глзов Е;ою,' — слагаемое $Р,', каждая из ( аю — слагаемое Ц и каждое из Р,йо, — слагаемое 1Р,, то общее увеличение Н, вследствие всех протйвоположных столкновений за время й, равно, (Ц + Й', — Ц' — -(Р,)бт' = = ( Ц + (Р, — Ц' — Ю;) ~Р,' И<о Йш,взд созд сЫ й.
Оставляя здесь снова А постоянным и производя интегрирование ие всем другим переменным, мы получаем для той же величины, которую мы выше обозначили через И,Н выражение: И~Н= й / (Ц+ 1Р,= Ч' — 171')К'Р,'Йозйо1сздсоздИ. Отсюда И,Н равно также среднему арифметическому из последнего найденного выражения (31а) и, следовательно: АН= — ",' ~~1(Ж') — )Ф;)~.ИР',— 1Р',')й а,/дылда. (32) Это есть общее приращение, которое поскучает величина Н за время' й1 благодаря всем столкновениям молекулы ~в с молекулой ж,. Приращение бзН, которое получает та же величина Н зз тоже самое время благодаря столкновениям молекул т между собой, мы найдем, очевидно, совершенно айалогично. Мы должны только подставить в выражение (32) вместо массы тв, и функции Р массу зь и функцию ~ и вместо с — диаметр г молекулы ю. Но при этом надо принять во внимание, что так как обе столкнувшиеся молекулы однородны, то при выполнении всех интеграций каждое столкновение будет приниматься вдвойне, так что окончательный результат нужно будет разделить на 2 (аналогичное обстоятельство имеет место при вычислении потенциала и козфициента самоиндукции).
Отсюда мы найдем, понимая под /, и ~,' те же самые величины, что и в предыдущих параграфах: д~Н = — / Р (~'Я вЂ” 2 Й~)) ЦЯ~ — Ц~ ) Но> йо~з~д соз д И. Вычисляя таким же способом еще и приращение, получаемое величиной Н благодаря столкновениям молекул в, между собой, мы получим общее приращение ЕН, величины Н за время й, а после деления на й: д з,/!'ЧГа) — )(1Р1)1М' +Ж1 'дсоздд й,а— — ~ /МЮ вЂ” )(111)1 У'1,' — Ийзздсовбйойо,дав — — , '/ () рт1') — цИ'1)Ирй',' — йт,),зд да д ай. (33) 1ак как логарифм непрерывно растет, когда растет величина, стоящая под знаком логарифма, то в каящом,из трех интегралов людвиг Вольцмьн каждый первый, заключенный в квадратные скобки множитель имеет тот же знак, что и стоящий рядом второй.
Так как, кроме того, д су-', щественно положительно и угол д всегда острый, то и все остальные' величины под знаком интеграла существенно положительны и исче= зают только для идеального случая, когда один шар скользит вдел~ другого, или для столкновения с относительной скоростью, равной нулю. Следовательно, вышеупомянутые три интеграла представляют. собой 'сумму только существенно положительных членов, и обозначенная нами через Н величина может только уменьшаться; в крайнем случае она может быть постоянна, но только тогда, когда во всех трех интегралах все члены исчезают, т. е.
когда для-всех столкновений имеют место уравнения, которые мы обозначили как уравнение (27). Так как при стационарном состоянии величина Н не может меняться со временем, то этим самым доказано, что при стационавнбм состоя-. нии уравнения (27) должны удовлетворяться для всех столкновений. Сделанное при этом единственное предположение заключалось в том, что распределение скоростей в начальный момент было молекулярно- неупорядоченным и таким же осталось в дальнейшем. Прн этом предположении мы.получаем доказательство того, что обозначенная через Н величина может только уменьшаться, а также и то, что распределение скоростей должно неизбежно приближаться к максвелловскому.
2 6. Млткмьтичнакий смысл виличины Н Откладывая вновь решение уравнений (27),мы сделаем, прежде. всего, замечание относительно смысла обозначенной через Н вели'чины. Смысл этого двойной: во-первых, математический, во-вторых, физический. Мы разберем первый смысл только для простого случая одного газа, находящегося в сосуде, объем которого пзвен единице обЪЕма.
Конечно, мы могли.бы посредством такого же предположения значительно упростить прежний вывод, но при этом мы вынуждены были бы отказаться от одновременного доказательства закона Авогардо. . Сначала должны быть сделаны некоторые замечанил о принципах теории вероятностей. Пусть из урий, в которой находится очень много черных и столько же белых шаров, в остальном совершенно одинаковых, 20 рзз абсолютно произвольно вынимаются ~фры.
Случай, когда будут вытащены сплошь черные шары, нисколько не менее. вероятен, нежели тот, когда при первом изъятии появился черный шар, при втором— белый, при третьем опять черный и т. д. поочередно. Большая вероят-' ность того, что на 20 изъятий придется 10 черных и 10 белых, по сравнению с вероятностью изъятий чисто черны„х происходит только от того, что первому предположению благоприятствует гораздо большее число равновозможных событий, нежели второму.
Следовательно, относительная вероятность первого предположения по отношению 1о~ тш к последнему есть число —, которое показывает, как часто можно зо~ ' сделать перестановку в ряду из 10 белых и 10 черных шаров. Бели бЪг в урне было очень много одинаковых шаров, из которых ойределенное. 207 ЛЕКЦИИ 'ПО ТЕОРИИ ГАЗОВ чисдо было бы окрашено в белый цвет, столько же в черный, столько же в голубой, столько же в красный и т. д., то вероятность того, что вынется а белых, д черных, с красных и т. д. шаров была бы в (а+ Ь+ с+ ...)! а! Ь! с)... ' г= а! (асса)! (аас)! (асао! (3б) для относительной вероятности того, что точки скоростей и,са молекул лежат в первом элементе объема, изса молекул — во втором элементе объема и т.
д., причем'и = (и, + из+из+...) есть общее число всех молекул газа. Случай, например, когда все молекулы-имели бы равные и одинаково направленг(ые скорости, соответствовал бы случаю, когда все точки скоростей лежат в одной и той же ячейке. Здесь было бы М с = — = 1, никакие другие перестановки не были бы возможны. ы Гораздо вероятнее был бы уже случай, когда половина молекул имеет одну, определенно направленную скорость, а другая половина другую, для всех равную )ь одинаково направленпуд! скорость. Тогда половина раз больше вероятности изъятия шаров одного определенного цвета.
Совершенно так же, как в этом простом примере, случай, когда все молекулы газа имеюг равные и одинаково напрацленные скорости, нисколько не менее вероятен, чем случай, когда каждая молекула' газа. имдет ту самую скорость и направление сйорости, какие она имеет з действительности в некоторый определанный момент. Но, сравнивая первое предположение с предположением о том, что в газе господствует максвелловское распределение скоростей, мы снова находйм, что в пользу последнего предположения говорит большее число равно- возможных способов, какими оно может быть осуществлено. Чтобы выразить относительную вероятность этих двух предположений через число'перестановок, поступаем следующим образом: для всех столкновений, для которых точка скорости одной из столкнувшихся мо-' лекул лежала до столкновения в цекотороы бесконечно малом элементе объема, она оказывается пос)!е Гт!Ркновения, как мы видели (при постоянстве всех другид переменных, характеризующих столкновение), р элементе объема точно такой же величины.
Деля все нространство на очень большое число (' равновеликих элементов объема са (ячейки),мы рассматриваем присутствие точки скорости в каждом таком элементе объема и присутствие ее в каждом другом элементе Объема как равновозможные события, точно такие же, какими раньше были изъятие белого, или черного, или голубого шара.'На место а, числа вынимания бзмого шара, ставится теперь и са — число молекул, точкц скордстей которых лежат в Первом-элементе объема; на место числа д формулы (34) стоит паса — число молекул, точки скоростей которых лежат во втором элементе объема и т. д. Отсюда вместо формулы (34) мы получаем: людвиг вольцман точек скоростей лежала был одной ячейке, вторая половина в другой. Следовательно, было бы: и т. д. Далее, так как число молекул чрезвычайно велико, то в,сс, васс и т.
д. точно так же должны рассматриваться как очень большие числа. Мы воспользуемся приближенной 'формулой: Р! =У2Ря ( — ), где а — основание натуральных логарифмов, а Р— любое большое число а. Обозначая снова через ! натуральный логарифм, мы имеем отсюда: 1[(я,со)Ц (и,со+- ) 1ал + я оз(йс — 2) + — (1ш+-12я). Пренебрегая здесь — по отношению к очень большому числу в,с» 1 2 и составляя аналогичные выражения для (аьас)1, (я,ю)! и т. д., по-лучим 1 сО(я !яа + я31яа + ) + С где С = 1(м!) — к(1сс — 1) — — (1сс+ 1 ° 2са) 2 имеет для всех раслределеннй скоростей одно и то же значение н, следовательно, должно рассматриваться как постоянное. Ибо насннтересует только относительная вероятность распределения различных точек скоростей наших молекул в ячейках ю; само собой разумеется, что разделение на ячейки и, следовательно, величина одной ячейки сс, число ячеек (, общее число и молекул и их общая живая сила должны рассматриваться как неизменно заданные.
Наиболее вероятное распределение точек скоростей молекул в наших ячейках будет то, для, которого Ы будет максимумом, а выражение сс!в, !на+ и !ва +...]— минимумом. Написав снова вс й~ Щ вместо сс й Я,ц,~) вместо к„ва и т. д., мы, тем самым, преобразуем сумму и интеграл и получим: Но это выражение совер(пенно тождественно с выражением, в которое переходит данная формулсй (28) величина Х для случая вдного газа.
Теорема предыдущего параграфа о том, что Х благо-. даря столкновениям уменьшается, не говорит, следовательно, ничего- * См. Б с Ь1З пь1с Ь, Ссюр. с. ЬсЬ. Ааа1уа1а, Вс. 1, $37, 3 Аам. лвкцни по тногии ГА30В другого, как то, что благодаря столкновениям распределение скоростей между, молекулами всегда всз более и более приближается к наиболее вероятному, коль скоро состояние — молекулярно-неупорядоченное и, следовательно, применима теория-вероятностей. Я должен здесь удовольствоваться этцм указанием и отослать читателя к ' ВПгипбзЬспсЫе бег ЪИепег Асабешге», Вд. 76, П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
