Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 57
Текст из файла (страница 57)
266 исс)!едоВАнве о НРАтновском движинии х — хе — — г вырзэвтсн ф~)рпу)(ой 126): (2а (а + Ы -(- М' И»(г)(1»= ' е '+ т ~ е ' + 2У' 7) 1И (а+ Ы вЂ” ав (2а (6+6) — 26-!.21~ (2а(а+ Ы вЂ” 2а — 21' + е ' (- е ~~ + Йг. (6) Интегрируя в надлежаще подобранных пределах, можно убе диться, что ;Ь / И'(г) (12 = 1, Легко также вплоть, что для предельного случая 1пп ! = 0 эта формула переходит в ' обычную формулу (2). Для противоположного жс предельного случая 1нп 1= 2 можно заменпть приведенные в формуле суммы интегралами и притти, таким образом, к формуле 1271: Иш И'(~) (1~ = (= а+6 (6) Это значит, что по истеченпидлинногопромежутка времени совершенно исчезает влияние первоначального положения, и все положения в промежутке между параллельными стенками становятся равновероятными, чего, конечно, можно было бы наперед ожидать в соответствии с природой брауновского движения.
Ддя среднего смещения в этом случае получается значение — Ь вЂ” а г= 2 Наоборот, среднее квадратичное смещений (х — 2;)' в предельном случае очоиь длинных промежутков времени имеет такое же значение, какое оно имело бы при отсутствии стены 125).
2 3. Перейдем теперь к рассмотрению случая, очень легко осуществимого па опыте, когда среда, в которой происходит брауновское движение, ограничена двумя параллельными отражающими стенками. Условие, чтобы степки препятствовали переходу частиц, выполняется в данном случае сложением двух бесконечных рядов зеркальных изображений. Ислп обозначить первоначальные расстояния частицы от обоих стенок через а п Ь, так что а+ Ь представит собою расстояние между степками, то вероятность смещения МАРИАН СМОЛУХОВСКИЙ а для среднего квадратичного: ! а« + Ь« 3 а+Ь При этом, конечно, движение в направлениях У, е, касательных к стенам сосуда, протекает в точности согласно формуле (1), остающейся в данном случае без всякого изменения.
Однако последнее имеет место лишь в том случае, когда размеры частиц исчезающе малы по сравнению с их расстоянием а,д от стен сосуда. В противном случае следовало бы в расчет ввести еще поправочные члены формулы Стокса *, которые сильно осложнили бы-расчет и выявили бы, конечно, известное замедление брауновского движения вблизи стен как в нормальном, так и в тапгенциальном направлении к последним. 2 4. Общий характер двух рассмотренных только что случаев можно было бы наперед предвидеть, так как брауновское движение представляет собою, так сказать, микроскопическое разложение процесса диффузии, а теория диффузии указывает путь к теоретическому изучению приведенных случаев.
Болыпий интерес с теоретической точки зрения представляют определенные случаи постоянного внешнего поля сил. Конечно, простейший случай (постоянной силы) не обещает дать много нового, так как легко наперед предвидеть, что наличие подобной силы будет иметь своим последствием только однородное смещение среднего положения частицы (28). Так, если, например, ввести в расчет кажущийся вес частицы Р, то вместо формулы (1) получится следующая: (х — л,.! уРО' И'(х) г2х = е г!х. 2 Ьгл19! Здесь, как и в 2 1,у обозначает скорость, которую частица приобрела бы под влиянием постоянной силы, величина которой равна единице, и сопротивления, обусловленного трением; сверх того, здесь предполагается, что сила Р отвлекает частицу от нулевого положения.
Попутно отметим, что для среднего смещения частицы в (неограниченном) поле силы тяжести это приводит к формуле: (8) (х — хе)е = 20! + (уР!)в, чего можно было наперед ожидать па основании принципа сложения !29). Для достаточно коротких промежутков вроменп обычные формулы (1) и (2), приблизительно, подходят и к данному случаю.
'2 5. Допустим теперь, что речь идет о частицах, на которые действует упругая сила, направляющая их обратно к нулевому положению и пропорциональная отклонению х; этот случай выделяется сравнительнойй простотой расчета и в то же время обнаруживает новые характерные особенности. " См. Н.А. 1«г«лув, «Ащуапг!!. и. ТЬеог. РЬув!Ь.«, 1 (!908), р.
23; 1. 8«ес!с, «Вии. Асащ Сгасоу!е», !9!1, р. !8; М. е. осле!и«Лов«ЛЬ «Ргос. 1и!егп. Сопаг, о! Ма!Ьеупас!св СапуьгЫле«, !9!2, 11, р. !92. ИССЛЕДОВАНИЕ О БРАУНОВСКОМ ДВИЖЕНИИ 236 х...х + <Ь. Подобная частица к моменту 9 должна занять какое-либо поло- жение а...а + да.
Движения в течение промежутков времени 0 и 1 — 0 совершенно независимы друг от друга **. Поэтому, очевидно, И'(х, ха) составляется из суммы вероятностей для любого среднего положения и, из которых каждая является произведением двух вероятностей: одна соответствует смещению частицы из хе в и за время 9, другая — смещению из' и в х за время (1 — 9). Таким образом для любого поли сил должно иметь место следующее общее уравнение: + И~(х, хе), Йх = Их ~ «»т(п, хе)еК(х, и), На. (9) 3 6.
Для того чтобы получить возможность применить это уравнение к нашему случаю, обратимся теперь к предыдущему примеру, рассмотренному выше, и заменим в последнем силу тяжести Р упругой силой Х = — пх. Тогда распределение частиц, исходящих в момент 1 = О из точки хе, по истечении достаточно короткого времени также будет, приблизительно, представлено нижеследующей формулой, аналогичной (у): !х — а, -!- аук»«!' '»т'(х, хе),дх = -= — - в 'и' дх. 2 у'я«!т Хотя поправочиый член аухах и соответствует допущению равной повсюду силы, величина которой соответствует абсциссе ха, однако * М. е.
$то!исаев»ьа, «Рьуеыс Ее!1ес!!т.», 13, Б. 1069, 1912, в особенности $15, 17. ** Последнее выче!«ает иа основной предпосылки «случайности» браунсвсних молекулярных импульсов. Подооный случай также очень легко осуществить на опыте, если под х подразумевать не длину, а угол поворота и в соответствии с этим исследовать вращательное брауновское молекулярное движение. В другом месте я уже указал, что вращательные молекулярные колебания очень маленького зеркальца, подвршенного на крутильной нити, могут при подходящих условиях достигнуть размерили, поддающихся измерению * (301.
В подобном опыте действует упругая сила упомянутого выше типа. Прежде всего выведем общее функциональное уравнение, которое определяет изменения во времени распределения вероятностей. Это уравнение послужит нам основой для наших дальнейших рассуждений. Пусть, в самом деле, И'(х, ха) Их обозначает вероятность,что частица, первоначально вышедшая из точки х спустя время '1, будет иметь абсцнссой какую-либо точку между МАРИАН СИО)!УХОВСКИй 236 проистекающая отсюда ошибка, естественно, тем меньше, чем короче мы берем т, так как в этом случае и частицы тем меньше отойдут от хо. Поэтому для достаточно коротких т мы прпнимаем, вводя сокращение ау = Г): (х — х.
(! — Ртя' И(х,хо).= ' е 2 )т лРт Отсюда, применив формулу (9) к распределению в момент времени 2т [31[, мы приходим к следующему выводу: (а — х, (! — Рт)1'+ (х — а (! — Рт)! ° 4О 2 УлР! )т 1 + (1 Продолжая вычисления дальше такпи жс образом, можно получить общее выражение для распределения к моменту (= ат: )'т'(х, хо)ел = (х-х. (! -РтУ')' 4Р (4+(! — Рт)т+,.+()-Р ) (х 2)тел)зт )т 1+(1 — Дт)т+ . ° ° +(1 — Дт) (х Переход к предельным зпачепиям лт = (, 11Ш т = 0 дает теперь искому!о формулу в окончательном виде [32[: Р (х — х, е Гл)т )')т(х, х~)((х = [/ —,—, е ов (' ' ! (Гх. (10) 2лР (! — е Р') 5 7. Далее, путем соответствующего интегрирования, из этой формулы получа!отса: среднее отклонение от положения равновесия к моменту (: х= хое (11) среднее абсолютное значение этого отклонения [38[: — 1I 2Р(! — е Р!) [х[= [т (12) среднее квадратичное отклонение: х — [1 — е [+х'е Р Г -2Р(1 - тР! о (13) Как видим, для коротких пернодов времонп движение (10) действительно тождественно с обычным брауновским движением (1).
+ )У(х, хо) 2т = — РР е 1 о — 4 Р / (х — х (! — Рт)') 4эт !! (- (! — Рт)'! — Вт)т ИССЛК'1ОВЛВИЕ О БРЛУВОВСЕОМ ДВПЖЕнип 231 Таким образом в показателе приведенного выше выражения со- ДеРжитсЯ Работа '/е ахе, пРоизведеннзл пРи смещении из нУлевого положения в положение х против дсиствия упругой силы. Настоящий специальный случай приводит к хорошо известному, установленному и другим путем, выводу статпстичоской механики, согласно которому отступления от положения равновесия молекулярной системы в течеиде очень больших промежутков времени распределяются согласно следующей вероятностной формуле: не и'(л) ал =, а, (15) где А„обозначает работу, соответству1о1цу1о значениюпараметра й (34).
Среднее квадратичное этих отступлений мы в дальнейшем будем обозначать се и будем называть с «средним отступлением»; — В НВ 1 се= Бш х'= — = /1 Н а '2 8. Попутноотметим, чтоформулу (3) можно вывести и непосредственно очень простым путем, если использовать для нашего случая метод, примененный Ланжевеном " к выводу формулы 11).
При этом поступают аналогично тому, как поступают при выводе теоремы о вириале. А именно, для каждой частицы имеет силу уравнение движения следующего вида: х'х 1 Их 7В =Х вЂ” Ох ее' У'Л1 (17) Здесь Х обозначает силу, слагающуюся из беспорядочных молекулярных толчков, а другие два члена представляют собою упругую силу и силу сопротивления, обусловленную трением. е Р.
Галзее1х, «Сотргее Вевбое», 146, 530, 1908. Однзно с удлинением времени скззываотся действие упругой силы, а именно: последняя приближает среднее положение частиц к положению равновесия х = 0 и вместе с тем изменяет характер распределе- НИЯ, таК ЧтО ВЛИЯНИЕ ПЕРВО11аЧаЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ Хе ПОСТЕПЕННО СХО- дит на-нет. По истечении большого, по сравпепию с — промежутка времени 1 д устанавливается следующее стационарное распределение: )1ш )у(х, х ) = И~(х) = ~/ — е (14) которое, как видим, зависит только от значения отношения —; Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
