Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 50
Текст из файла (страница 50)
-1 и ~соз х — з»п х~. 1381. —, агс»6 ~ — ' » . 12 5 1 13 13 '2 Числитель и знакс11атсль дроби разделить на соз х, 1382. — агс1д ~ — ~ 1 ('./3~~ х1 лз 1383 1- 1, 2ФДх+3 —,„/ 3~ ЛЗ 2~~х+3, .У 3 1384. — 1п Кх:, Сы, задачу 1381, 1385. —, 1386, 1и (1+ ип х). 1 1 х — 5 1 2 5 ~~х 2(1 — сов х) 2$д- - 1 1 1„Г2+ з»п2х 3 1 5 — ю'п х 2 2 '2.Д Д-з»п2х' '4 "1-.
' 7З .6 3(~- -1 х 1 — — агсф 2 . Использовать тождество 1 1 Д 2Я (2 — з1пх)(3 - з1пх) 2 — з1пх ф8' —, — . 1390. -х + 21п 3- з!пх х ф — +1 2 Использовать тождество 1+ з»пх+ созх 1+ з1пх- созх 2 3 сЬ х 1, „Зх зЬ2х зЬ4х 1+ з»пх — соях 3 8 4 32 1393. — . 1394. — — + †. 1395. 1п (Ь вЂ” + —, 1396. -2СФЬ 2х.
зЬ х х зЬ4х х 1 4 8 32 2 сЬх 1397. 1п (СЬ х) — —, 1398. х - С1Ь х - — ", 1399. агс$а' (1Ь х). $Ь х с$Ь х 4 3 ~ЗМ~+ 2 2 1400. — агс1( 1 ~ или — агс~а е ~5 ~. 1401. —— 2 1 2 (' 2 2 г'( зЬх зЬ2х х 'Л '~ (В ~ 71 х ~' 2 4 2' Использовать ъякдество = — зЬ х+ СЬ х. 1402. — »п (./2 сЬ х+ )(с»1 2х ), -1 1 зЬХ вЂ” СЬх Я 1403. — 3-2х — х + 2агсип —, 1404, — 12+х + 1п(х -1. ~2+х х+1 х+1 х г 2 2 2 2 1405. — (9+ х — — 1п (х 4,19+ х ). 1406.
— х — 2х+2 + х 2 х — 1 2~ 2 2 -!п(х — 1 ! (х -Вхе2). 1407. — /х -4 — 2!п(х Е (х — 4(. 2 2 1408. 2х+1 2 1 4 8 ~х +х — — 1п 12х ~ 1 + 2.1Х +х~. 1409. — х -бх-7— 2 ' — 3 2 "1 ' ' 2 -В!п(х — 2 ! Д -Вх-7!. 1410. — (2х е 1)(Вх Е Вх ! 17) /ххех~1 '- 64 е — !п(2х е 1 Е 2 /х ехе 1). 1411. 2 х— . 1412. 128 Цх-1 2 4 х -2х+5 4 3 1415.
— ~х — 2х + '2~ 1416. -(х + — з1п бх + — соз бх - — з(п бх). 1 3 х .. х . 1 б 2 6 36 1417. х сОзЗх ип Зх х созх з1п х е + + — — —,. 1418. — (2 — ип 2х — соз 2х). б 18 2 2 8 е»'2з»п2х+ соз2х 4з»п4х+ соз4х» е 2 ~ э 1420. — 1Х(ын х + соя х)— — е!пх).1421.— 'Г-(п(е*-1(Š— !п(е'ЕВ).1422.х-(п(2хе*ЕВи~е ехе1).
2 3 6 1422. -'! *'! 1'* ! (п(1-х') ! х'~.1424. )Р(х+ е((ех')-2,((ех' х З~ 1-х 1 х 1 х, 1 ;Х =— 2 2 2 + — агс18' —; Х = — х 2а,х +а а а 4а 3 2 х „+ (2и — 3)Х„ (х +а) х(ЗХ +ой ) 3 х 1428 Х созх ип х и 1 Х х) — 2' 2а. (х +а) 2а Зх сояхз1п х Зя»п2Х „Х созх з(п х 4, г 8 3 — — СОЗХЗ1П Х вЂ” — СОЗХ. 8 4 16 2 5 15 15 з1пх + и-21 Х а»пх + 1» ~» х л~ (и — 1)соз х " 1 2соз х — + — $д х. 1430.
Х„= -х"е "+ пХ„,; Хвз = е '(х + 10х + 10 9хз+ Зсоз"х + ... + 10 . 9 8..... 2х + 10 9..... 1). 1431. — агс$8 1 М(. -1) Д4 1432,1п х -2х+2 — 4агс»,а(х — 1). 1433. + -1п~ х + х+ -«» + (х-1) 1 Х 2 11 2 Ы + — агс$8' (2х + 1), 1434. — 1п —, . 1435. 21п 1 1 хг, х+3» 1 1 2 х+2~ х+2 х+3 2 )41п(х + ~1+х ) + 2х, 1425. ~ — — — ~ агссоз(бх — 2) — — х 2 7х 91 бх+6 ' ~ 2 100,» 100 2 3 426 з1пхсЬх — созхзЬх Х 1 2(и — 1) а ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 430 1554, и.
1555. —. Д вЂ” можно 1 и 1+- и х„° хе1)' . 1506. †. См. задачу 1505. 1507. 1 — сов х. Использовать формулу Ь з1па + з1п2а + ... + з1паа = . ~соз — — сов~и + -~ а 2з1п(й»»2» 2 2 1508. 1) — = — —; 2) — = — . 1509. 1и х. 1510. — /1+ х . 1511. 2хе — е да 1па дЬ 1п Ь 1512. — + — соз †. 1513, х = ия (и = 1, 2, 3, ...), 1514. 1п 2.
1515. --- . 1516. е — е = 2з11 х. 1517. з)п х, 1518. — . Сумму з, = —, + — + „. + —, Х ' Т 1 2 и — 1 2' и' и' и' — ~ + — + „. + ~ мо»кно рассматривать как интегральную для Функции 1 и — 1» и и и 1 Йх) = х на отрезке 10в 1), Поэтому 11п1 з„хдх —. 1519. 1п 2. Сумму 1 зх о 2 — + — +„,+ — — — + +„.+ и+1 и+2 и+и и 1 2 рассматривать как интегральную для функции Д(х) = на отрезке 10, 11, 1 1+х где точки деления имеют вид х„= 1 + — (Ф = 1. 2, ..., и). Поэтому 11п1 й и 1р:- О 1 = 1 — х = 1п 2. 1520.
— , 1521. †. 1522. — = 33- . 1523. †. 1524. — . ,11+х р+1 3 3 3 4* 3 1525. — —. 1526. -1п —, 1527,1п —. 1528. 35 — — 321п 3. 1529. агс(,~ 3— 2 1 2 9 - 1 3 2 3 8 45 — агс$0;2 = агс$а —, 1530. 1п —, 1531. —, 1532. 1 — —. 1533. —. 1534. —. 1 4 я 1 и и 7 3 16 Д 4 б 1535. — 1п —, 1536.
— + — . 1537. -" . 1538. 1п 2, 1539. 1 — соз 1. 1540. О. 3 2 8 4 3 1541. — 1. —. 1542. аГС(~ Š— —, 1543. З11 1 = — ~Š— — ~. 1544, (11(1п 3)— 8 я и 1~ 11 '9Д 6' 4 2 е — ~11 (1п 2) — . 1545. -- — + — з)1 2и. 1546. 2, 1547. Расходится, 1548, —, 1 и 1 1 5 2 4 1-р е .
р < 1„р* ходится, е р > 1. 1549. Расходится, 1550. ~ . 2 1551, Расходится. 1552. 1, 1553. —, если р > 1„расходится, если р < 1, 1 р — 1' 1556. Расходится. 1557. Расходится, 1558. — . 1 1п2 1559. Расходится. 1560. — . 1561, Расходится, 1562. —, 1563. — . 1564. — + 1па й' '8' '3 + — 1п 3. 1565.
—, 1566. Расходится. 1567. Сходится, 1568. Расходится. 1 2л 3.13 1569 †15. Сходится. 1572, Расходится. 1573. Сходится. 1574. Указание: В(р, д) )(х)дх + ~(х)йх, где Д(х) = хР (1 .- х)~; так как 0 1/2 1 'Р 1 11п1 Дх)х 1 и 11п1 (1 — х) Дх) = 1, то оба ингеграла сходятся ври 1 — р < 1 и 1 — д < 1, т. е, при р > 0 и ц > О, 1575. Указание: Г(р) = Д(х)йх + + ~(х)11х, где»Г(х) хР е, Первыйиитсгралсходитсяприр>0,второй— при р проиввопвпои.
»о»6. Нвв. »р»7. ви2 ~ 1 1579. дФ. 1580, ~~ ) Ю. 1581.х = (Ь вЂ” а)1 + а, 1582.4 — 21п3. ,„2 е 1+ 1' 1583. 8 — 9 . 1584. 2 — Е, 1585. — , 1586. , 1587. 1 — 5 . 2Д " 2' '75' '2Я ' ' 4' 1588.,ГЗ вЂ” — . 1589. 4 — я. 1590. -1п П2. 1591.1п . 1592.
— + — . „,1г 2 1593. — . 1594. †, 1599, — — 1. 1600. 1. 1601. — . 1602. †(еи + 1). 8 2 2 8 2 1603, 1, 1604. . 1605. — . 1606. Реп1спис; 1"(р + 1) = хРе ' дх. и +Ь а +Ь Применяя формулу интегрирования по частям, полагаем хР = и, с "с1х = й», Отсюда Г»р+ 1) ~-ивв "1 + р)ив '**6» =рГ»р», е ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАВАНИЯ ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ г 2 1 — — ЕЕ высота. 3 а = — а.1741.
Е=яа . 1742. Е = — ЙЬ у 3 з 1 3„ 3 ' ' ' О 3 радиус сечения. Имеем г = 2 3 — Ла 3 1721. Ьп еЬ. Здесь у - Ь 1 /л — л . Ваяв ела~с плюе, получим внешнюю по- ВЕРХНОСТЬ ТОРЖе а ЗНак МИНУС вЂ” ПОЛУ7111М В11УТРСППЮЮ ПОВЕРХНОСТЬ ТОРЗ.. 2 3 3 1722.1) 2кЬ + агсв1пе; 2)271а + — 1п —, где е = 2яиЬ ... 3 НЬ 1+с а — Ь (эксв е 1-е' Й центриситет эллипса). 1723. а) —; б) 16п а; в) — яа . 1724, — „яа .
64яа , 3 3 32 3 123 3 3 3 1722.2пе (2 — л21, 1726. — пп . 1727.ЬУ. — «а ьа"; М = — ~а ьо . 3 3 3 1728.М = —; М = —. 1729.М =М вЂ”; х= а = —. 1730.М = т = аЬ, аЬ а.— — Й а 2 ' ь 2 х У 6' 3 3. У = — а;х = у = — Й. 1731.
2яа . 1732. х = О; у = — †' . 1733.х 3 г — — 2 3 — а 2+в'п2 — ав1па. 5 ' 5 * ' 4 в'п1 а — 4 — 4а. — 4Ь 9 у*=0,1734.х лй;у--. -а.1735.х — „у- —.1736.х-у= —.1737. х=яа; 3 Зя" Зя 20 у - — а. 1738. ~0; О.„- ~. Разбиваем полусферу на элементарные жаровые б пояса площади ЙС1 горизонтальными плоскостями. Имеем дп = 2падг, где 2я аг41г дл — высота пояса. Отоюдв е = — д — †. В силу симметрии л у О. 2кй 1739. Ба расстоянии — высоты от вершины конуса. Решение.
Разбиваем конус 3 4 на элементы плоскостями, параллельными основанию. Масса элементарпого 3 слоя дт,. = улр Йг, где у — плотность, г — расстояние секущеи плоскости 71 я~ — г Йг г« 3 г Ь 3 1,, 3 от вершины иопуеа, р - л. Отеюда л -1 — — - Ь. 174О. ~О, О; .Ь - и ~ . Ь 3"" " Решение. В силу симметрии х = у = О.
Для определения г разбиваем полуп1ар на элементарные слои плоскостями, параллельными горизонтальной алое- 3 кости, Масса такого элементарного слоя дт - уяг дг, где у — плотность, 2 3 г — расстояние секущей плоскости от основания полушара, г - а — г 1 - — а Ь. 1743. 1 - — ЬЬ . 1744.1 лаЬ; Х = -яа Ь, 1745. 1 - -я(Л вЂ” В ).
1 3 4 3 3 1 3 1 . 4 4 3 ' 15 Разбиваем кольцо на элементарные концентрические кольца. Масса такого ЛЗ элемента йт = у я«се« и момент инерции Х = 2я~ г 12« = — я( — Зь ) (у 1). 3 3 1 4 2 Л1 1746. )' = — тН Ну. Разбиваем конус на элементарные цилиндрические трубки 4 10 параллельно оси конуса. Объем такой элементарной трубки дТ 2я«Ь дг, где « — радиус трубки (расстояние до оси конуса), Ь = Н~1 — -11 — высота В~ я 4 трубки; тогда момент инерции 1 - у 2НН ~1 -- — ~ г дг —, где у— «1 3 птВН Л1 10 2 3 плотность конуса. 1747, Р = — Ма, Разбиваем шар на элементарные ци- 5 линдрическис трубки, осью которых является данный диаметр.
Элемеитар- О 3 Тогда момент инерции Х 4яау 1 — — г дг пм — яа у, где у — плотность з 8 3 3 15 Й 4 3 2 3 3 3, 3 шара, а так как масса М = — ла у, то 1' = — Ма", 1748. ~' 2я а Ь; 8 4я ЙЬ. 3 ' 5 — — 2 — — 9 — 4г 1749. а) х - у - — а; б) х = и — р. 1750, а) х = О, у = — — (оси координат 5 ' 10 * Зи, выбраны так, что ось ОЛ совпадает с диаметром, начало координат — в цент- — Ь ре круга); б) х = — . Решение. Объем тела — двойного конуса, полученного 3 1 3 от вра1цепия треугольника вокруг его основания, равен 1' — НЬЬ, где Ь— основание, Ь вЂ” высота треугольника.
По теореме Гульдена тот же объем У = — 1 Ь = 2ях . — ЬЬ, где х — расстояние центра тяжести от основания. Отсюда х 2 3' г 1. 3 1751, О ~ — —, 1752. — 1п ~1 + — . 1753. х = — в1п О3$; 1у - — Й . 1754. 3 = уР с 1' 1'О по, 2 2 2д ~ 3 1О '" я =- 10 м. 1755. о = — 1п ~ — ~; Ь вЂ” ~ Ь|„— (а - И )1п — . 1756. А Ь Й-Ь~. „3 " Й-Ь31 Еу 3 3 = -, аВ Н, Указание: элементарная сила тяжести равна ЙР = уяВ ддх, 3 2 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 1784.
г" —; 3 где у — плотность воды, Следовательно, элементарная работа силы оА = у~В(И вЂ” х),к йх, где х — уровень воды, 1757. А = — уВ Н . 1758. А = ~~ВВя. 12 4 1759. А 72,яВ Н. 1760. А =. ~; А == тяВ. Решение. Сила, действующая ~ЯВЬ . 1+й на тело массы ж, равна Г ° Й вЂ”, где г — расстояние от центра Земли. еМ Так как при г В имеем Г = ту, то ФМ = аз, Искомая работа равна А = л~з — й —, дг = АтМ~ — — — ~ = —. При Ь со имеем А =.
лц,'В. тМ ~1 1 ~ та)2 ~В В+Ь1 Ь я 1+— В 1761. 1,6 . 10 Дж. Сила взаимодействия зарядов Р - — —, где е, 12 1 , ЧОЧ1 4кео х -12 КЛ 2 -8,85. 10 — — электрическая постоянная, Следовательно, работа Н и при перемещении заряда Ч, из точки х в точку х„будет А ЧОЧ1 Г дх О Х" — — — = 1,6 10 Дж. 1762, А - О,ОВ~ 1п 2 (Дж). Для изотермиЧоЧ2 ~1' 1~ 12 ~х,. х1 ческого процесса рГ = ро1» . Работа при расширении газа от объема $» до к объемами», равнаА = р ~П» ро)» 1п —. 1763.А = 1,5 Дж. Для адиабатного $» "е О процесса справедлив закон Пуассона рУ~ р Ъ'О, где й = 1,4.
Отсюда $', А ~ — дУ- — ~1 — (1»,»(» ) ~. 1764.А= — гц2Ра. если а — радиус г Ро О Ро)»о Г 2-Л 4 Ь Ь «~ О ~'е основания вала, то давление р - Р/(яа ). Сила трения от кольца шириной и „ удаленного от центра на Г', равна -~ — » дг. Работа силы трения иа кольце при полном обороте есть дА = — » дг. Поэтому полная работа А = 4крР 2 2 о 4япР Г 2 4 1 " 2 ~ г Йг= — ярРа, 1765.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
