Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 51
Текст из файла (страница 51)
— МВ"~О . Кинетическая энергия элемента диска 3 4 ЙК вЂ” = " — Й~, где дсг 2пг й' — элемент площади, г — расстояние О 6П$ ВT 4О 2 2 его от оси вращения„р — поверхностная плотность, р - М/яВ2. Таким образом, « ~ ЙК = — г Йо. Отсюда К = — ~ г Ог - . 1766. К - — МВ2а . МЕ 2 Ме г з МВа 3 2 В' В 4 20 1767,К =1МВ-'4О2= 5,8.10'Д . 1768, =И2/6, 1769,Р (.+2Ь)ь 5 ' ' ' ' * 6 11,3 10 Б. 1770. Р = аЬулЬ. 1771.
Р = — (вертикальная составляющая яВ'Н 3 силы давления направлена снизу вверх). 1772. 533- г. 1773. = 419, 16 Дж. 1 3 и Й' 1774. М вЂ” 2~. 1775. (б — постоянная тяготения). 1776. -~ —. 2 а(а+ 1) ™ 8~0 22.4 и 4 Решение," 9= и 2игйг = — ~ (а — г )Йг = — ~ — — — ~ 4р1,) 2ф(, 2 .
4~О ЯР1 2Ь з 1777. 9 иа ду = — р — . (Ось абсцисс направить по большой нижней сто- 2 аЬ 3 ф роне прямоугольника, ось ордина* — перпендикулярно к ней, в середине.) 1778. Решение: 8 ~ ~ -~ до, с другой стороны, — а, откуда с)2 = ~-~ сЬ, г ~11 «$и ~1'~ о ~(2 о а следовательно, время разгона 2 ~ — = 8. 1779. М = — ~ — (х — 2) 42 + — х = 9 * ' х 6~ О -- ~ х2 — — ~ + — х = = — ~1 — — ~. 1780.М = — ~ (х — 2)ИЮ + АхЫ, 2 2 ~ д. - — (1 — х ).
1781. 9 = О,ЬТВР . Использовагь закон Джоуля — Ленца. Фх 2 2 6 О 1782.$'= -(у — х )х, 1783.З -(х+у) 2 2 2 2 3 ' ' 3 2 2 2 2 =5.,61., 1) 2. 1785,У=Я,~, 2 Ы,. 1786,~(х,х') 1+х-х', ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 1787.г= .1788. 1»(х) . Указание. Прсдставитьданнуюфункцию Я',6.Х' * 1 дг !х~ в виде ~ Й = + У- ~ и заменить в на х.
1789, Дх, у) = — ХУ . Обозначим ~,х,» х/ х '' 2 и+и и-и и+и и-и х + у = и, х — у ~ и. Тогда х = —, у = —; 1»(и» и) = — — + 2 ' 2 ' ' 2 2 и — дг и -иу + — ~ = . Остается переименовать аргументы и и о в х и у. 2 / 2 1790. »1(и) = и + 2и; г = х — 1+,/у . В равенстве х = 1 + 1»(,Гх — 1) положить г г Гх — 1 = и; тогда х - (и + 1)" и, следовательно, Яи) = и + 2И. 1791. Ду) = д~1+у; г = — х +у . При х 1 имеем равенство 1+у" = 1 2, х г г 1х~ * « д ' ».е.
дд» /» гд , тогда (~~ = 1» ~(И) а х = хааа+(Е) /х+»» 1792. а) Единичный круг с центром в начале координат, включая окружг 2 ность (х + у < 1); б)биссектриса 1 и ?П координатных углов у = х; в) палуплоскость, расположенная над прямой х + у = О (х + у > О); г) полоса, заключенная между прямыми у - ~1, включая этн прямые (-1 < у - 1); д) квадрат, образованный отрезками прямых х = +1 и у - +1, включая его стороны ( — 1 < х ~! 1, — 1 < у < Ц; е) часть плоскости, примыкающая к оси ОХ и заключенная между прямыми у = +х, включая эти прямые и исключая начало координат ( — х ~ у < х при х > О, х х ~ у ~ — х при х < 0); ж) две полосы х д 2, — 2 < у < 2 и х < — 2, — 2 < у < 2; з) кольцо, заключенное между 2 г 2 г г г окружностями х + у = а и х + у = 2а, включая границы; и) полосы 2пя < х 4 (2п + 1)я, у О и (2п + 1)н х»:" (2п + 2)х, у < О, где п — целое число; к) часть плоскости, расположенная выше параболы у = -х (х + у > О); г г л) вся плоскость ХОУ; и) вся плоскость ХОУ, за исключением начала коордиг нат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы у = х и вправо от оси ОУ, включая точки оси ОУ и исключая точки параболы (х > О, у > ./х); о) вся плоскость, за исключением точек прямых х = 1 и у = О; и) семейство концентрических колец 2М < х + у < п(2й + 1) (й = О, 1, 2, ...).
г г 1793. а) 1 октант (включая границу); б)?, П1, Ъ'? и У??? октанты (исключая границу); в) куб, ограниченный плоскостямн х =+1, у = . 1 и г -+1, включая его грани", г) шар радиуса 1 с центром в начале координат, включая его поверхность. 1794. а) Плоскость; линии уровня — прямые, параллельные прямой х + у 0; б) параболоид вращения; линии уровня — концентрические окружности с центром в начале координат; и) гиперболический параболоид; ливии уровня — равносторонние гиперболы; г)конус 2-го порядка; линии урогхпя— равносторонние гиперболы; д) параболический цилиндр, образующие которого параллельны прямой х + у + 1 О, линии уровня — параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды, линии уровни— = ух, — х' 1п х. 1809.
1 дг 9 ду »В»О ~— * = "' од* ~у~(х~ — у4) ду дг х+и х+ и дг — — — И~ —. 1812.— ду 2у./у дг д дг 1 »дг у — --у~ е сов Ы, — = — е соэ у дх хг х дУ х х д г г 2 -2 1811 дг хх 1сФ" !у~(х'- у') д" 4ч -Гч д — 1 ди д 1 ди д = иг(ху)» — ' = хг(ху), — =(ху) 1п(ху). ди дг г контуры квадратов; ж) линии уровня — параболы у = Сх; з) линии уровня— 2 г параболы у С,ГХ; и) линии уровня — окружности С(х + у ) = 2х. 1795. а) Параболы у С -х (С > 0); б) гиперболы ху = С (1С~ < 1); в) окружности х + у = С; ~) прямые у = ах + С; д) прямые у = Сх (х ~ О). 2 2 г 1796.
а) Плоскости, параллельные плоскости х 1. у + г = О; б) концентрические сферы с центром в начале координат; в) при и > 0 — однополостные гиперболоиды вржцения вокруг оси ОЯ; при и < Π— двуполостные гиперболоиды вращения вокруг той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конус х + у — г = О (и О). 1797.
а) 0; б) 0; в) 2„г) е; д) предел не существует; г 2 3 й е) предел не существует; в пункте б) перейти к полярным координатам; в пунктах д) и е) рассмотреть изменение х и у вдоль прямых у = Йх и показать, что данное выражение может стремиться к различным пределам в зависимости от выбранного я. 1798. Непрерывна. 1799. а) Точка разрыва при х - О, у 0; б) все точки внутри прямой х у (линия разрыва); в) линия разрыва— окружность х + у - 1; г) линии разрыва — координатные оси.
1800, Положив г 2 2ху~ у = у сонэ~, получим функцию д,(х) = —, которая непрерывна всюду, х +у1 3 2 так как при у, ~ О знаменатель х + у, м О, а при у, = О~р,(х):-- О. Аналогично» нри х = х = сопИ функция г имеет разрыв в точке (О, О), так как не су- 1 ществует 1пп г. Действительно, перси*дя к полярным координатам (х = г сов ~р, д э »» — О у гэ?пу), получим г = з?п 2д, откуда видно, что если х — О и у О так, что д - сопв1 (О < ~ 1 2п), то г — э1п 2р. Так как эти предельные значения функции г зависят от направления ф» 'го г не имеет предела при х 0 и у О. 1801. — -= З(х - ау), — = 3(у — а.х). 1802. —.
дг г дг 2 . дг 2 дг 2х дх ду дх (х+ у) ду (х+ у) 18ОЗ.— - -~, —. = —. 1804. — = дг' дг 1 дг х дг 'ох .»' ду х' 'ох /»»' о»Г »о06. — — х — -,-, —." — — ь —;-. »806.— дг дг х дг 1 дг дх г г згг д г г з'г дх 3 г ду (х+у) у (х+у) х +у . 1807. — - — — 11 —, — = —. 1808. —- дг Эг х дг 2 г 2 2 дх г+ г ду хг+ г дх х +у(х+ х+у) х +у х +у ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, ЬКАЗЛНИЯ 1813.
и = уг "1пг, — - хг""1пг, и = хуг" . 1814.Г'(1,2) = 1/2, «'„'(2, 1) = О. 1815. /'(1; 2, О) = 1, «7'(1; 2; О) = 1/2, /,'(1; 2; О) 1/2, 2 1820. — . 1821. г. 1826. г = агс(8 У + фх). 1827, г = — + у 1п т. + г г ге»г' (х +у+г) + а)п у — — . 1828. 1) (,~ а = 4, $д ~$ = с З„ф~ у 1/4; 2) $д сс = со, $Д 1) = 4, фУ = 1 1/4, 1829. — -Ь, — = — Ь, — = -(а+ Ь), 1830. Указание. Проверить, ЭЯ 1 д8 1 дв 1 да 2 ' дЬ 2 ' ЭЬ 2 что функция равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси ОУ, и воспользоваться определением частных производных. Убедиться в том, что «Тх(О, О) = = «Ту(О, 0) О. 1831- Л « = 4Лх + Лу + 2Лх + 2Лх Лу+ Лх" Лу; д~ = 4дх + ду; а) Л« — д« = 8; б) Л« — д«7 = 0,062. 1833.
дг 3(х — у)дх + 3(у — х)ду, 1834. дг = =Зху 3» т Зх д йд. 1836.3» — — 2 — (73» — »371. 1836.3» = »!к Зх6»вЂ” 3 г г 4х 2 2 г (х +у) — з1п 2у с1у, 1837. дг у х" с1х + х"(1 + у1п х) ду. 1838, дг — (х дх + 2 2 х +у + у ду). 1839.
д«' - — ~ дх — -" ду 1. 1840. дг = О. 1841. дг = х х+ у 1, у .~ хе(п(2у 'х) Тс ду — "дх, 1842,дД1, 1) = дх — 2ду, 1843. ди = угдх+ гхду+ худг. 1844. ди = у . 1845. ди = ху+ — у+ — г дх+ 1 — — х у х хг ду + ху+ -~ 1п ~ ху + -~ дг ~ . 1846. ди = ~ у дх + х ду — — «~ дг 2Х у/ 3 .гуг+ «~ ' г 1847.
д/(3, 4, 5) = — (5дг — Зс1х — 4ду). 1848. Й = 0,062 см; Л« = 0,065 см. 1 1849. 75 см (относительно внутренних размеров). 1850. - см. Положить дифз 1 8 Ференциал площади сектора равным нулю и найти отсюда диФФеренциал радиуса. 1851. а) 1,00; б) 4,998; в) 0,273. 1853. С точностью до 4 м (точнее 4,25 м). 1854.я — . 1855.да = — (дусова — дха(псс). 1856.— и~ — 61 1 с1г е (11п1 — 1) уД; р * д~ г1п~~ 1857.
— = — (,й' — ~ 6 — — ~~ . 1858, — 241п ~ ~а ~ + ди «х/, х 1 с1и (~ + 1)Фа( + д1 „/у ~у 2»/з д1 (г + 1)1п1 ди дг . 6063 + . 1859. — =О. 1860. — =(а(п х)' (сов хе(,~х — з)п х 1п а)п х). соз2г 1861. — — -- —, — — . 1862..— — - ух-; — т ~217,(х)1п х 1- ~-~. дг и дг 1 Эг .-1 д 6Г и1 дх х2+уг дх 1+хм Эх дх х 1863. — = 2х«7' (и, и)+ уе "/'(и, 27); — = — 2ф' (и, и)+ хс '«"(и,п), 1864.
— = О; — 1. 1865. = = у~ 1 — — ~ «с ~ ху+ г- '; .— = ~ х+ -~ ~ ~ ху+ ~~ . 1867. — = «3( ' у' ) '1 ( )»»7( ' у' ) «3( ' у' )1'т х( ' у) ~7«( 1873. Периметр возрастает со скоростью 2 м/с, площадь возрастает со скоростьв 70 м,»с. 1874..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
