Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Я ' 2236, Х = — йа 17Д + 31п (Л + 1Ц, где й — коэФФИ11иент пропорцио- 1 э 40 нальности. Поместив начало координат в ту Вер1пипу, расстояние От которой пропорционально плотности пластинки, направим оси координат по сторонам квадрата. момент инерции Определяется относительно оси ОХ. ор/4 «ререн Переходя к полярным координатам, имеем Х Жр Ь~г81п 1р) р дг+ 2 0 !р~з ар«ррсер + Йр 11г(гв1п 1р) р.дг. 2237.Х - — па .
2238.Х - —. 2239. — яа, 2 , , 35 4 Ла 35 4 * 16 0 2 12 Принять за переменные интегрирования 1 и у (см. задачу 2156). 1 1-х 1-«-у я ./В'-х' и 2240, с1х Йу Дх, у, г) дг. 2241. дх ду Дхе у, 2)йз. 0 0 0 -Я Гр и 0 "4~ "х 5~р р 2242„ДХ ду Дх, у, г) дл. 2243. дх ду ~(х, у, г) сЬ. -«Ь р р -1 1= 0 ~« -Х -р1- р й ф+ «Ь 2244. 8 (31 + 12Л вЂ” 27./З). 2245. ~"~~. 2246," — '. 2247. — '.
'15 3 ' ' 8 ' ' 720 2248. 1 )и 2 — 5 . 2249. " †.' ~18.ХЗ вЂ” 9 71 . 2250. 59 лл'. 2251. " — "" , 2 16 5 6 ./ 480 4 2252, †.яаЬС. 2253. — . 2254,112 . 2255. — а . 2256. -г ~к 4, яЬВ з 8 2 8 зх 4! '5 ' 4 ' ' ' '9 3 ~ Ы 2257. — пВ . 2258. — . 2259. — а Ь. 2260. — яа . Решение." и 4зя3223з 15 10* 9 4 Х'+ !! 2« .!2«« — «2« я/2 2«р«ио!! 2« 2 2«с««!!! 2 Йх ду Йю = 2 41р ГдГ дй = 2 д1р 0 0 0 0 0 0 0 0 4 дФ - — па . 2261.. Перейти к сферическим коорди- 1Г(2асов ) 3 з 2яаЯ а~ 4 4 3 * натам. 2262. — я. Перейти к цилиндрическим координатам. 2263. — (Зк — 4).
19 а б * 9 2264. 1. паЬС. 2. ~ а с, 3. — ~ (Я вЂ” ЦаЬс. 2265. а— с (а + Ь + с), 2266. — (6с— 2 24 2 — — 2 — а -- Ь"). 2267. х = О; у = О; 2 = — а. Ввести сферические координаты. 5 2 2268.х = —; у= О; г = О. 2269. — (За + 4Ь ). Ось цилиндра принимается за 4,—,— Па 2 2 3 ' 12 ось ОЯ, плоскость основания цилиндра — за плоскость ХОУ, Момент инерции вычисляется относительно оси ОХ. После перехода к цилиндрическим коорди- 2 . 2 2 натам квадрат расстояния элемента гд4рдг 42 от оси ОХ равен г в1п !р + ю .
П ееа 2 2 2270. — Š— (2Ь + За ), Основание конуса принимается за плоскость ХОУ, ось 60 О'1'ВЕТЫ, РЕ111КНИЯ, УКАЗАИИЯ ОтВКтЫ, РЯП1ЕНИЯ, УКАЗЛНИЯ г 2 2312. а) — „б) О; ⻠—; г) — 4; д) 4. 2313. Во всех случаях 4. 2314. -2н.
Исполь- 4,, 12, 3" ' 5' зовать параметрические уравнения окружности. 2315. — аЬ . 2316.-2з)п2, 4 2 '3 ~'2 Рз 2317.0. 2318.а)8; б)12; в)2; г) —; д)1Н (х + у); е) Ф(х)»(х + )))(у)»1у. 3. 2' 2319. а) 62„5) 1; в) — + 1п 2; г) 1 + «2 . 2320. «1+ а — 6+ Ь . 2322. а) х + + Зху — 2у + С; б) х — х у + ху — у + С; в) е" "(х + у) + С; г) 1п )х + у~ + С. 2323. -2па(а + Ь). 2324. -лВгсоз а, 2325. ~- + — ~ В . 2326. а) -2; б) аЬС вЂ” 1; Ч .Д'1 2 . ~6 16,) в) ьл; г10.2327. х )'1 р Йхйу.
2328. -4~3. 2329.лВ /2. 2330. -1~3. 2831. О, (3) 2332. а) 0; б) 2пя. В случае б) формула Грина применяется в области, заклю- ченнОЙ между контуром С и кругом дОстатОчнО малОгО радиуса с центром в начале координат. 2333. Если считать, что направление касательной совпадает с направлением положительного обхода контура, то сов (Х, и) = соз (У, ») = -н, »1Н следовательно, соз (Х, п) »1з = ~) —" дл = »(у - О. 2334.
2Я, где 8 — площадь, »1 с с с ограниченная контуром С, 2335. -4. Формулу Грина применять нельзя. Данный интеграл несобственный, так как в точках пересечения контура интегрирования с прямой х + у = 0 подынтегральное выражение принимает вид — . 2336, яаЬ. О О' 2337. -На .2338.6на . 2339. — а, . Указание, Положить у = гх, где 1 — пара- 3 2 2 3 2 8 2 метр. 2340, а /60. 2341. н(В + г)(В+ 2Г); бпВ2 при В - 4. Уравнение эпициклоиды имеет вид х - (В+ г)соз ~ — Гсоз — 1, у = (В+ Г)з1п» вЂ” ГВ1п — », где В+г В+г Г г ~ — угол поворота радиуса неподвижного круга, проведенного в точку касания 2342.
н( — г)( — 2Г); — нВ при г В/4. Уравнение гипоциклоиды получается — еВ 8 из уравнения соответствующей эпициклоиды (см, задачу 2341) заменой Г на — Г. 2343. ГВ. 2344, тфг, — г ), 2345. - (а — Ь ), где й — коэффициен» прой-2 2 порциональности. 2346. а) Потенциал (« — туг, работа тфг — г )", б) погенциал г ). 2347. -На .
2348. . 2349. О. 2350. -НаЬС. 3 3 2353. 2 "~~ 1, 2354. ~2 Ь, 2355. а) 0; 10(5Д -1) б) — (соз и + соз р + соз у)»18. 2356. О. 2357. 4п. 2358. -иа, 2359. -а . (в) 2360. — = — — = — — = — . 2361. О. 2362, 2 (х + у + г)»)х»)у»(г. дВ д9 дР дВ д9 дР ду дг дг Ох дх ду Ж 2363, 2 . 2364. — „+ — + — »1~ ду»1г. 2365.
3 2366. а" /2. 2367, — ла . 2368. — . 2371. Сферы; цилиндры. 2372. Конусы. з 12 о ка Ь 5 2 2374. Окружности х + у = с, г = сг. 2376. ига»1 У(А) = 91 — 31 — 31»; а»1Г(А4= Я9 9=ЗЛ1;г =ху;, = .2377.а)г«г;б) 2г„в) — г'ГЗ;г)«'(г)г, 2 2378. ата»1 (сг) = с; поверхности уровня — плоскости, перпендикулярные вектору с, 2379. — = —; — = ~р.а»1 Ц при а = Ь = с. 2380.
— -— дУ 2(«. д(.г И7 соз 1,г дг г ' дг * ' д1 гг дУ вЂ” = О пРи 1.). г. 2382. 2/г. 2383. »1ж а = (2/г)«(г) + «'(Г), 2385. а)»11ы = 3, д1 го( и О; б) ЖУ (гс) = —, го$(гс) = —; В)»11ч(«(г)с) = (сг) ( («(.) ) „ гс гас, «'(г) г * Г Г «'( ) = — с х г. 2386. »11~ ~" = 0; го$ ~г 2»о, где»о = »ой, 2387. 2о)п, где и о о единичный Вектор, параллельный оси вращения.
2388. »1ж ага»1 У = — + — + —; го$ дга»1 Г = О. 2391. ЗНВ Н. 2392. а) — В О(ЗВ2 + 2Л ); д У д(7 д(г, 1 дх ду дг 10 б) — ~ж И(г» + 2Я ). 2393. йч г = О во всех точках, кроме начала координат. 10 Поток равен -4яш. При вычислении потока использовать теорему Остроградо ~! ского — Гаусса. 2394. 2)» Л . 2395. —, 2396. ~У = Г«(Г) дг, 2397, т«г. -яВ 8 2398.а»НО имеет; б) У = хуг+ С; в)1'= ху+ хг+ уг+С. 24ОО.Да, отвкты, Решения, уклзлния Глава УШ 2401. —.2402. —.2403. —.2404.
—.2405..2406.— 2п — 1 2п 2д-1 и» * (п,„«)» Зп+2 2407 2408 '"( . 2409.(-1)" 2410. п~' п(п+ ) ) * 1 4 7...(Зп — 2) 2416. Расходится. 2417. Сходится. 2418 — 2424. Расходится. 2425 — 2433, Сходится, 2434. Расходится, 2435. Расходится.
2436.Сходится. 2437. Расходится. 2438 — 2440. Сходится. 2441. Расходится. 2442 — 2449. Сходится. 2450. Расходится. 2451. Сходится. 2452, Расходится. 2453. Сходится, 2454, 2455. Расходится. 2456. Сходится. 2457. Расходится. 2458. Сходится. 2459. Расходится. 2460. Сходится. 2461. Расходится. 2462. Сходится. 2463. Расходится. 2464 — 2466, Сходится. 2467. Расходится. 2468. Расходится, Указание. а„+1 > 1. 2470. Сходится условно. 2471. Сходится условно. 2472. Сходится ад абсолютно, 2473, Расходится.
2474. Сходится условно. 2475. Сходится абсолютно. 2476. Сходится условно. 2477. Сходится абсолютно. 2478. Сходится абсолютно. 2479, Расходится. 2480. Сходится абсолютно, 2481. Сходится условно. 2482. Сходится абсолютно. 2484. а) Расходится; б) сходится абсолютно; в) расходится", г) сходится условно. Указание. В примерах а) и г) расенотреть Рлд ~(оть 1 + овьь в в орннервх е) н в~ноеледоветь отдельно ряды а „, и а „. 2485.
Расходится. 2486. Сходится абсолютно. » —. 1 2=1 2487. Сходится абсолютно. 2488. Сходится условно. 2489. Расходится. 2490. Сходится абсолютно. 2491. Сходится абсолютно. 2492. Сходится абсолютно. 2493. ДВ, 2494. Нет. 2495, ~~ ); сходится. 2496. ~ ~Л * ~~ы 2п(2п — 1) л=1 тт н 1 сходится, 2497. Расходится, 2499- Сходится. 2500.
Сходится. 2501. ~В ~ <— 120 4 ' а О тт и„ . Указание, Остаток 2 +1 2"(2п+1)п, ряда мОжнО опепить с ИОмоп1ью суммы геометрическОИ прогрессии, превы- п 11ццон1ей этот огтаток: В,„= а„~- — + ~-~ +...~ <а~-х "Ьп+ 1 ~2~ (и+ 1)(п+ 2) ~ "~2 1,,''1'» 1 1, . и+ 2 -В ,, + ...~, 2503,В„< ; В1 ' 3 - 10 (и, 1)2 "'1 ' ° ( -1)(п+1)~ ' 1е 2504. — < В < — . Решение: В„= 1 1 1 + 1 1 +„,> + и+1 " и (и+ «)2 (1+2)» ' (и+1)(п+2) В < + 1 1 + ... - — . 2505. Для данного ряда легко мо»кно п(п+ 1) (и+ 1)(п+ 2) и найти точное значение остатка: В„= — и+— ~ «ь,2а д«ь»Ф+ 2 Решение: В = (и+ 1)~-~ + (и+ 2)1 -~ + ...
Умножим на ~-) ть Ы 1 ~«х Зл+2 ,л«~»Я Ф 4 — В =(и+ 1)~-1 +(и+ 2)~-~ + ... Ы Вычитан, получим »д ф = и — + 1 1 16 В : и, — + — + — + — + ... Л + сумму ряда 8 - ~ — ~ . 2506. 99; 999. 2507. 2; 3; 5. 2508. 8 = 1. Указание: Г 16'12 Ы а — — — . 2509. 8 = 1 при х > О, Я = -1 при х < О; 8 = 0 при х = О. 1 1 и п+1 2510. При х > 1 сходится абсолютно, при х ~' 1 расходится. 2511.
При х > 1 сходится абсолютно, при О < х 4' 1 сходится неабсолютно, при х ~ О расходится. 2512. При х > е сходится абсолютно, при 1 < х < е сходится неабсолютно, при х < 1 расходится, 2513„— оо < х < ядр. 2514. -Оо < х < оэ, 2515. Сходится абсолютно при х > О, расходится при х ~ О, Решение: 1) ~а ~ < —, а при х > О ряд с общим членом — сходится; 2) — > 1 прн 1 1 пд. ФХ дд е е е х < О, а сов пх не стремится к нулю при п -" ОО, так как из сов пх О следовало бы„что сов Зпх — 1; таким образом, при х ~ О нарушен необходимый признак сходимости.
2516. Сходится абсолютно при 2М < х < (2Й + 1)п (Ф - О, +1„+2, ...); в остальных точках расходится. 2517. Расходится везде. 2518. Сходится абсолютно при х ~ О. 2519. х > 1, х ~ -1. 2520. х > 3, х < 1. 2521. х з 1, х ~" -1. 2522, х > 5- . х < 4- . 2523. х > 1. х < — 1. 1 2 з з' 1 Отсюда находим приведенное выше значение В„. Полагая и = О, находим Отаыти,« ИПКНИЯ, УКАЗАНИЯ ОтаКТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 2524.
-1 < х — —, — < х < 1, Указапис, При этих значениях х сходится 1 1 2 2 как ряд '~ х, так и ряд '~ —. При ~х~ .- 1 и при ~х~ < — об«ций член %Ф ~Ф 1 2.,1 3 2 2=1 3=1 ряда не стремится к нулю, 2525.
-1 < х < О, О < х < 1. 2526. -1 < х < 1, 2527. -2 < х -- 2, 2528. -1 < х < 1, 2529. — — < х < — . 2530. -1 < х ~ 1. 1. 1 Я Я 2531. — 1 < х < 1. 2532. — 1 < х < 1. 2533, -со < х < оэ, 2534. х О. 2535. — с ~ < < х < ~" .
2536. — 4 < х < 4. 2537, -- < х < —, 2538. -2 < х < 2, 2539. -е < х < е. 1 1 3 3' 2540, -3 < х < 3. 2541. -1 < х < 1. 2542. -1 < х < 1. Расходимость ряда при ~х~ ~ 1 очевидна (интересно, однако, отметить, что расходимость ряда на концах интервала сходимости х = «'1 обнаруживается не только с помощью необходимого признака сходимости, но и с помощью признака Даламбера). 1<< «Г При ~х~ < 1 имеем 1«п« ("+1) х = 1пп ~(п+ 1)х 1< 11п« (л+ 1)~х~ ~ ° 3 1 н'. 3 .«О и -е 1«п« — = 0 (последнее равенство легко получить с помощью правила а+1 .-о («)" Лопиталя). 2543. — 1 < х < 1, С помощью признака Даламбера можно не только найти интервал сходимости, но и исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости.
2544. -1 < х = 1. С помощью признака Коши можно не только найти интервал сходимости, ио и исследовать сходимость данного ряда па концах интервала сходимости. 2545. 2 < х ~ 8. 2546. -2 -- х <. 8. 2547. -2 < х < 4. 2548. 1 ~ х < 3. 2549. -4 ~ х < -2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
