Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 53
Текст из файла (страница 53)
— се) Б1П 11Б1П о12+ о?»ОСОБ и11; и = Ц; ж = -1о 1соБ а сов ь| — П1)Б1п и сов с11в 2. 2 - 2 2 2 2 — О1 ЙБ1п 11)~; и1 = С1 . 2086. и = оо,+ ис„+ (пэ, — ~,'2); и' = и1 = 0; и'. = -Д", !в О'1'ЦЕРП31 РЕШЕНИЯ УКАЗАНИЯ ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ сов~3 = 1,/-Л, сов у = О* у- х+2;х= — 1;х 2128 с(у ~(х у) дх йх Дх, у) Йу (касательная); х + у + 4г- 3 г 3 = — (касательная)' -2 ГЗ о а йО (() я. 2088.
е3 а" + Ь „где ю — — угловая скорость вращения винта. (.) 2 2089. а (в + ое -2асооев1пы. 2090. т — (1 + )с); ~) = -)) ).") — (1 — и)* 2 2 2 ° 42 ..., М 2 ' 2 2091. т = — Ксоз г — в)п Ф)1 + «вш 3 + соа $)) + Ц; ч = — — 1(а)п 3 + сов ф + 1 °, ° * . 1 Д ' Я ь (в)н! — сов!)!); сов(г, в) 43/3! сов(о, в) = О, 2092.с — ) — —; с 1+4'+ 2Е, 21 агьй) — 33 2 -2(гй 2( 3 х-асов! и — ав!о! в — Ь ЯОб Д -ав~пг асора Ь ), х — асовс с — аь4н( в — ЬГ (О ) х — асов( о-ав!и! Ьв1п3 -Ьсозг а ' сов~ а(п ~ г-И (главная нормаль), Направляющие косинусы касательнои: сов а = О а гй аргЬ авгЬ главной норнвлн: сова, сов(; совОг -в)п г; сову, О.
2094.2х — в О (нормальная плоскость); у — 1 = О (соприкасающаяся плоскость); х + 2г— х — 2 ~ — 4 г — 8 — 5 О «спрямляющая плоскость). 2095. — == — = — (касательная)", 1 4 12 х + 4у + 12г — 114 = 0 (нормальная плоскость); 12х — бу + г — 8 - 0 г4 3 у3 г (3 42 4 3 2 (сонрннвсвнннласл слослосгь). 2090.: †( †-) = " †(-: †' -~ ††) 1 х — (2 /4 — (3 '3 г-(1 /2) (касательная); ' (главная нормаль); +21 3 1-2 4 — 23 — Ф 3 4 — — = — — (бннорнвль)! М,(1уа; -1/3, 1/2)! 1 -2Ф М (4; — 8,~3; 2).
2097, — - = — (касательная); х + у = О (соприх-2 9+2 2-2 1 -1 2 х-2 и+2 г — 2 х-г касающая плоскость); — = — (главная нормаль);— 1 -1 -1 1 и+2 г-2 — (бинормаЛЬ); сова = 1/Л; 1 0 х —,<Д~2) 2 — (В/2) в~2В/2 -Я х — 1 11-1 г — 2 (нормальная Г)лоскость); б)— 4 2.,)'3 х + у — 2./3 г = О (нормальная плоскость). 2099.
х + у = О. 2100. х — у— — г Я О. 2101. а) 4х — у — г — 9 = О; б) 9х — бу ~ 2х — 18 = 0; в) Ь х' „х-- . а у' ау+ (а — Ь )г г а Ь (а — Ь ). 2102. 6х — 8у — г + 3 = 0 (сопрцкасак)щаяся 232232222 , х — 1 и — 1 г — 1 х-1 ц — 1 3 — 1 плоскость); — = = — (главная нормаль);— 31 26 -22 -6 8 1 (бинормаль).
2103. Ьх — г О (соприкасающаяся плоскость); х ' (главная г=О нормаль); 0'~ (бинормаль); т =; р =; ~) 1. 2106. 2х + х+Ьг = О~ 1+Ь)с . И+к, .Б+ Ьг .6+ Ь' ~ 3у + 19г — 27 = О, 2107, а) )'2; б) ./6 ('4. 2108. а) К = —; Т = —; б) К = 3 ' 3' = Т . 2109. в))) р -" —; б))) р „. 2111.— 1 +а) (р +2х ) ар" 2асЬ 3 а 8рх а +Ь 2112.в) К 2, ш = О, и„= 2 ар|с ! О; К = — (!ОГ)4, н -22(сГ)4, и 1 2113. 4-, 2114,)п †, 2115. Я .
2116. — . 2117. 50,4. 2118. — ' 3 24 12 4 * 2 2119. 2,4. 2120. -, 2121. х "- — 1; х = 2 — у; у = -6; у = 2. 2122. у = х; у = х + 9„х = 1, "х 3. 2123. у = х; у 10 — х; у = 0; у = 4. 2124. у = 2. 2127. Йу Д(х, у) дх - (1х ~(х, у)с)у. дх ~(х, у) Йу. 2129, ()у Дх, у) дх = в 2 3 сЬ Дх, у) Йу, 2130. Йх Ях, у)ду = ОтККТЫ, РЕППНИЯ».ЛСАЗАНИЯ ОТВКТЫ, РЕШКПИЯ, УКАЗАНИЯ др Ях, у) дх + ду Дх, у) дх + ду Д(х, у) йх. 2 1 4 1 $ у-3 1 у „2 О Я-' 2131. ду»г(х, у)дх + ду Д(х, у)дх = дх Г(хг у)ду+ О -у 1 Г г -1 -х -а2-м 1 2 2 ДЛ + йх ~(х, у) ду, 2132.
дх Дх, у) др ду Д(х, у) дх, 0 х 2хг О,/у72 Г г -1 44 — х -а1 — х 1 ~4 — х" 2133. йх ~г(х„у) ду + дх ~(х, у) йу + дх Д(х, у) ду + —.Й:хг -1 /4' г Б:.' .14:х' -1 1 -Б:уг + дх Дх, у)ду - ду Лх, у)дх ~ йу Йх, у)дх+ — /4-у -1 / г Л:7 2 44- у' /= г + ду Дх, у) дх + ду ~(х, у) дх. 2134. дх ~(х, р) ду+ «Б-у 2 .Б.
х' з ./ч- ' -1 Дг-1 ° + дх Дх, у) др+ дх ~(х, у) ду = ду 1»(х, у) дх+ -Л Я:„г ~О .а /е 7 Я -4у'-1 + ду Дх„у) дх + ду Цх, у) дх + ду ~(х„у) дх+ —.уЬ,/ г -1 $ г Д 49-у 1-» 1 ~1-у1 + ду Дх, у) дх. 2135. а) дх Дх, у) ду = ду ~(х, у) дх; 1 О 0 0 О а «1а -х Е «/х- хг б) дх Дх, у) йу ду Дх, у) дх"„з) дх Дх, у) ду = „Г:' -Г-7 О 1'2 2 1 1 у др йх, р) дх; г) йх Дх, р) ду йр Дх, у) дхг -1 «'2 -1 х -1 -1 д) ду йхг у) дх - дх й ° у) ду ~ дх Г(х, у) йу О у О О и О ф За а 43 »2 2 «12 + дх Дх, у) ду. 2136. ду ~(х, у)дх, 2137, ду Дх, у) дх + 2а х-2а О О 12 2 3 1 2;/а -у" а,Р:7 + ду Дх, у) дх. 2138. др Д(х, у) дх + др Д(х, у) дх. 2 Р-2.
а~~ 2 а а а а — Р: уу1 2139, ду Д(х, у) дх+ йу Дх, у) дх, 2140. ду Дх, у) дх+ а - ./й'-у' а 2а 2Л 2а О ~1 — х + ду Дх, у) дх+ ду ~(х, р) дх. 2141. дх г(х, у) ду+ О „,Д» г О -1 0 1 1-х 2 Ах «2 + дХ ДХ, у) ду. 2142. дх Дх, у) йу + дх Ях» у) ду + О О О 0 О + дх Дх, у) ду.
2143. др Дх, у) дх. 2144. ду Дх, у) дх, + Д О О у О »гавру 2145. 1/6. 2146. 1/3. 2147. - а. 2148. п/6. 2149. 6. 2150. 1!2. 2151.1п 2. 21»2.«14/г;б1;в12 —.2122, — р".2124. 1бх «хааа» 3' 1 0 2»В у = Дх1 2155. — аЯа. 2156. — лВ'. Указание: ~~ удхду = ~ дх ~ уду = 8 5 3 2 г Х»11 са»11 В(1 — соз 1) Ю у ду, гдЕ 1100лодпий интеграл получается из преды- Йугцего в результате замопь1 х Й(2 -- в1п 1), 2157. — . 2158. — .
2159. а + — . В 1 2 В~ * 80 6 2' ОТВЕТЫ, РИПЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ОТВЕТЫ, РХИ1ЕНИЯ„УКАЗАНИЯ с,«4 1 'сову а/2 1/в«ау Ф гФ"сов «Р, гв1п 9) дг + д«ьь г~(гсоз «ьь, гвьп «р) дг. 2161. дФ гьр(г) дг, 2162, д«р гДгсоз «р,га1п «р) дг. р«г'4 ншу.'сов у Зь«/4 1 Увьььу 2163 ~((4: «ьь) дФ г дг + ДФа «ьь) д«р г дг + о о сУ4 О р« вьоу/сов у 4 о.Ьсос 2у + «'(рв Ф д«Р г дг.
2164. д«р г~ (гсоа «3, гвьп ф дг + Зуру'4 о й 0 3Ь«ао«СОЕ.:2У 2 а сову + д«Ьь гф"сов «ьье ГВ1п ф) дг. 216$. д««1 г 31п «ьь дг 3рр о о о 4 2166 4 2167 ыа 2168 224 и 3 2169 па 2170 12 16м«2-20 а 2 3 9 2 6 ~З 9 2 и 3 12 2171. — паЬ. Укааание. Якобиаи Х - аЬг. Пределы интегрирования: О < «(ь < 2к, 2 при х = О, откуда и = О (так как 1 — о -с О); и = — при х = с. Пределы 1 — и ИЗМЕНЕНИЯ «Ь: таК Каи Д мн ахе ТО и«Ь = аи(1 О), Отнуда.
и = — е ДЛя а 1+а + ди ~ —, — д«ь — д«ь ь' — — ди + -ь 1 2-ы Р~ —, — 1 Вн~ . Поена замены перемевныв уравнения второе 2 2 0 о р 1 ее 1-с О < г = 1. 2172. д«ь ~(и — и«ь, ио)и ди. Решение. Имеем х - и(1 — о) о 0 и у ио; якобиан 4' = и. Определяем пределы и как функции от О." и(1 — «у) = 0 2 о аЬ ьа + — . УраВНЕНИЕ КрИВОй Г = Г" ~ — рСО3 «ЬЬ вЂ” —, 3111 «ЬЬ, ОтКуда НЬ«я«11И11 ПрЕдЕЗ« Ьй ,ЬЗ й2 .
Так как г должно быть вещественным, г = О н верхний г = 2 2 то —, сов «ьь — — 31п «ьь .= 0; отсюда для первого координатного угла имеем а 2 Ь 2 ЬЗ й' ф~ «ьь ~ — . Вследствие симметрии области интегрирования Относительно осей аь« ЬЬ' а4ОЛСНО ВЫЧИСЛИТЬ вЂ” ВСЕГО ИНТЕГРадае ОГРаНИЧИВВЯСЬ ПЕРВЫМ КВаДРаНТОМ: 1 е 1 оУ аЬгдг, 2175. а) 4-; «(д дх 1, 2 0 Д «вь 0 0 ,У2 ~ в,,вьна "; «вн Ь В.врув.аьр;вь~ вен)о'.вург. 1 3 — 2 0 о-с 2179,;, (-1 1).
2180. †, Л~, 2181. 3ь — + — ~. 2182. 10 2, . 16 -, 'ьс 11 3 ' ' 3 ' "«4 Š— ~3 . 2183. — ла, 2184- 6. 2185. 10п. Сделать Замену переменных х — 2у --- и, 5 2 4 Зх+ 4у = о. 2186. — (Ь вЂ” а)ф — а). 2187. - (~ — а)111 — .
2188 ьь = «(у (1 - х) дх = 1. 1. Ь 3 3 а 3 3 4 дх (1 — х)дд. 2193. ' —. 2194.3/4. 2195.1у'6. 2196, а —, 2197, к — ' 6 * * 3 4а 2198. —. 2199. 88,«105. 2200. —, 2201. —,'. 2Э)2. '( — Р). 48 ьгб,, а аЬО 3 '18' * 3 2203. — „ыа' (2,Д вЂ” 1). 2204. — ь«а'( «у2 1). 2205- —" . 2206. — ы««Ьс. еЪ * 3 3 '3 3 32 2207, — (6./3 — б). 2208, — а . 2209.ь«а(1 — е ). 2210, †" .2211. 3 9 2 ' ' 2 2212. — (2Я вЂ” 1). Сделать Замену перемеь«ь«ых х«ь =- и, ' 3 а Ь . аФ квадРата бУдУт и = «У; и + «ь - 2; и — О - 2; и -«ь.
2174. аЬ вЂ” — ~ агс2~ '~~~ .. ОТВКТЫ, РИ1ИНИЯ, УКАЗАНИЯ Отактц, ЫШЕНИЯ, УКАЗЛБИЯ . 2214. 4(л — 11)Х12. 2215. — а . И тсгри~ ~ва Д 2 2 плоскости УОУ, 2216. 4а . 2217, 8а ахса(п —, 2218. — яа (3./3 — 1). 2219. 8а . а 3 2 2220. 1. Зла, Перейти к полярным координатам, 2. Спроецировать поверхность на координатну1о плоскость ХОУ. 3. а Х2 . 2221. о' = — па 1 + — „— 1 зх- 2 2 Я 3 Перейти к полярным координатам. 2222.
— а и 8а . Перейти к полярным 162 з 9 «~2 8а агсв1п дх. Интегрировать по частям, а затем сделать подста- 2 2 0 2 а — х а./3 2 2 — ответ преобразовать. 2224. — Ь Ь + с а а + с + 2Я1П1 ' 4 +о!и . р!ерейти и иолириыи иоорриииееи. 2226. —. Ее о ео" 2 бл а+ а +с 2 2 2226. —; —. 2227. х =; у = . 2228, х ии -а; у = О. аЬ. аЬ, — 12 — я.— к — 5 12 24 3(4 — я) 6(4 — и) 6 2229. х =; у = О. 2230. х = —; у = О. 2231. Х = 4.
2232. а) Х = — (Х1 — а ).„6)Х = — (Π— 1Х ). 2233.Х -а . 2234. -а . Указание: Х = 11 4 *4 Е44,2484 32 * х 64 3 б « 3 = ~ дх ~ (у+ а) Йу. 2235.161п 2 — 9-. Расстояние точки (х, у) от прямой 8 -.Х«р х — а х = у, равное 41 = —, находится с помощью нормального уравнения прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
