Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 52
Текст из файла (страница 52)
18Т6. 20 6 — 2./2 км7». 1876. — — . 18ТТ. 1. », 1т2»'»3», ЗГЗ 1+1 +1 1878. Г2. 1679. -'ГЗ. 1880. 83713. 1881.. 1882. »ПЗ; 02 2 * 3 3 б) (О; О) и (1; 1); в) (7; 2; 1). 1884. 91 — 3«. 1885, — (51 — 3)). 1886, 61 + 31 + 21с. 1 1887. 1дгад и~ = б; соз а = 2/3, соз 1) = -2 '3, соз у 1/3, 1888. сов са = 3/./10, 1889.
(д ср = 8,944; ср = 83'37'. Поскольку вектор угад г в точке (2, 1, 8) и вектор 1с лежат в одной плоскости, го ~р'ад г~ в рассматриваемой точке опре- Э г деляет тангенс угла наклона паиболыпего подъема поверхности. 1891. — = Эх 2 2 2 г (Ьх+ау) "у (Ьх+ау) Эу (Ьх+ау) г г 2 3 2 3» 2~7-х) 3» Зх 3» 1 3» дх (х + у ) " " (х +у ) ду (х + у ) дг (2ху+ у ) У дх 7 дх ду дг г 2 2 3 з = О; — = — — "- 1. 1897. —. = сфух у г .
1898. — = ди ди ди ди и~11 ~т1 дг Эхду Эхдг дхдх дхдудг Эхду = — х усов (ху) -- 2хв(п (ху), 1899. /',", (О, О) тп(тп — 1); «'„(О, О) = тпд," ~„"„(О, О) = п(п — 1). 1902. Проверить, пользуясь правилами дифференцирования г г 2 » 4х и определением частной производной, что «7 (х, у) = у —; + Х т г г 7 г г х +у (х +у ) (при х + у 0), « „(О, О) = О и, следовательно, «(О, у) = -у при х О и при любом у, Отсюда ~„"„(О, у) = -1, в частности «'„'„(О, О) = — 1, Аналогично находим, что /'„(О, 0) = 1. 1903.
— = 2/', (и, и) + 4х «'„"„(и, с7) + 4ху/„"„(и, и) + у /„„(и, и); дх ОтЫтЫ, РКШжНИЯ, УКАЗАНИЯ вЂ” — — б) — = — (и + и) — — (и — и) в) ог — х сз1по, дг ссози, дг 1 дг 1, 1 и ду и дх 2 ' ду 2 * 2ег х (е" 6(и + и)»(х + е" ' '(22 - и) ЙУ1. 1967. — ' = Г' (г, 4»2)сов у — Г' (г, ф —; дх 'т У" — = 7„(г, ~р)з1п (р+ Р (г, ср) — . 1968. — " — — сов ~басф ~; — — — з1п 4р с»а' Ч~. дг ° созе дг с . дг ду " 9 г дх а Й Й г д' Й д' 1969.
— и + †»» + у = О. 1970. — ~ = О. 1971. а) — — 2у — = О; б) — = О. ', »г,1» ' ' г ' * г,~~ ' з 2 $~2 1974 Й =О 1975.ий г=о [""®'3*" 1972. $Ю )» = —, . 1973. К = г' + — — + — — О. 1977. — — —. 1978. — О. 1ди 1ди дг 1 дг д4с г дг дадо 2и до до = О, 1980. — = †. 1981. а) 2х — 4у — г — 5 = О;— да» 1 , х — 1 у1+2 'дг 2' * 2 — 4 .х — 4 ~~ — 3 г — 4, Зх + 4У вЂ” бг О; — - — —; в) хсоз а + узш и - В = О, 3 4 -6 6 — Яа»аа х — Всозп сова .
1962. 2х т 42 т 12с — 169 9. 1966. х т 42 т 6х - »21. » 2» с 2966. х т у т с тча .т»Е тс . 1962. В точках»1; +1; 9» «асатехахые плоскости параллельны плоскости ХОЯ; в точках (О; О; О) и (2; О; О)— плоскос*и УОЯ. Точек» в которых касательная ~броскость была бы параллельна плоскости ХОУ, на поверхности нет. 1991. л/3, 1994, Проекция ,1 г О, на плоскость ХОУ:~ г 'г О Проекция на плоскость гОЕ: ~ х +у — ху — 1 =0. х О, 1У-О, г ' Зу г Проекция на плоскость ХОЯ: 1' Зх 4 Указание.
Линия касания поверхности с цилиндром, проецирующим эту поверхность на какую-нибудь плоскость, представляет собой геометрическое место точек, в которых касательная плоскость данной поверхности перпспди- 9 г кулярна плоскости проекции. 1996. /(х + Й, у + Й) = ах 1 2Ьху + су + + 2(ах + Ьу)Ь+ 2(Ьх+ су)Ф+ аЬ + 2ЬЛй+ М . 1997./(х, у) = 1 — (х+ 2) + + 2(х + 2)(у — 1) + 3(у — 1), 1998. Л/(х, у) = 2й + й + Ьг + 2Ай + Ь й, 1999./(х, у, г) =(х-1) +(у — 1)г+ (г — 1) + 2(х — 1)(у — 1) — (у-1)(г-1).
2000. /(х + Ь, у + й, г + Ц = Дх, у, г) + 2~6(х — у — г) + -у))+/(Ь, ~, »),2001. у+ху+ 3— "-и:-и . 2002. 1 — - — +у- 3 2! 2003. 1+(у — 1)+(х-1)(у- Ц.2004. 1+ ~(х — Ц+(у+ 1Н+ 2 , 2005. а) агс»,а' — = — + - (а 1+с» я 1 1-р 4 2 б) = 1 + — (ши + лр) + — 1(3щ — 4лг)с» 1 1 г 2 32 — 4л)р 1. 2006. а) 1,0081; б) 0,902, Применить формулу Тейл а) /(х, у) ./х з/у в окрестности точки (1; Ц; б) Дх, у) точки (2; 1). 2007. г = 1 + 2(х — 1) — (у — 1) — 8(х — 1) + — 3(у — 1) + ...
2008. г»»,16 О при Х = 1, у - О. 2009, г 2010 г,„~„1 при х 1 у О 2011 г„„„108 при х = -8 при х =,/2, у ~ — Я и при х ~ — /2, у =,/2 . При х = нет. 2013. г = — в точках х —, у - — и х аЬ а Ь а 3,/3 ./3' ./3 / аЬ а Ь а Ь = — — в точках х = —, у = — — и х — —, у - — . 3./3 /3 /3 '3 ./3 х = у О.
2015. г,„= О при х = у = О; нестрогий максиму г г окружности х + у = 1. 2016. г = ./3 нри х = 1, у при х - 4, у ~ 2. 2016.2. г „„= 8е при х = -4, у = — 2; з .г х = О, у О. 2017. и,.„= -4/3 при х = -2/З„у = -1/3, г при х = 1/2, у 1, г 1. 2019. Уравнение определяет дв торых одна имеет максимум (г,„- 8) при х = 1, у = -2, д (г .
- — 2) при х = 1, у = -2; в точках окружности (х— каждая из этих Функций имеет краевой экстремум г 3 всте Функции определяются явно равенствами г - 3 + 25 и существуют, следовательно, только внутри и на гра (х — 1) + (у + 2) = 25, в точках которой обе Функции пр г г г - 3. Это значение является наименьшим для первой фу гпим для второй. 2020. Одна из функций, определяемых максимум (г„„„= — 2) при х = -1, у = 2, другая — мини х — 1, у 2; обе функции имеют краевой экстремум в точках кривой 4х — 4у — 12х + 1бу — 33 = О.
2021. г„= 1/4 при х = у - 1/2. 2022. г „5 при х = 1, у = 2» г„»6 = — 5 при х - -1, у = -2. 2023. г„,1В 36/13 при х - 18/13, у = 12/13. 2024. г = — при х = — + Аи, у = — + йя; 2+./2 7к 9л и»ах 2 8 '' 8 Отнктц, РКШКНИ2», УКЛЗЛНИЯ ОТВКТЫ, РКШКБИЯ, УКАЗАНИЯ г — при х = — + Фл, р - — + М.
2025. и ,. = -9 при х = -1, 2-,/2 Зя 5к 4714Б 2 8 8 * ыи14 у 2, г -2; и„,„„ 9 при х = 1, у =- -2, г = 2. 2026. и„,„ = а прн х †..а, 2, 3 у г = 0;и . сири х - у О, г ~с. 2027, и . = 2 4 6 при х 2, 111111 7002 р = 4, г - 6. 2028. и„,„„- 4 — в точках (4/3; 4/3; 7/3), (4/3; 7/3; 4/3), 4 (7/3„4/3; 4/3); и,, = 4 в точках (2; 2; 1)е (2; 1; 2), (1; 2; 2), 2030. а) Наибольшее значение г - 3 при х = О, у = 1; б) наибольшее значение г = 2 при х 1, у О.
2031. а) Наибольшее значение г = — при х = ./2/3, 2 3 /3 у = Я/3; наименьшее значение г — — при х 4- /2/3, у = -Я/3 ", 2 3/'ЗЗ б) наибольшее значение г = 1 при х =- "-1, у = 0; наимеиыпее значение г - — 1 при х О, у +1. 2032. Наибольшее значение г — при х = у = я/3 З,ГЗ 2 (внутренний максимум); наименьшее значение г = 0 при х = у = О (краевой минимум). 2033. Наибольшее значение г - 13 при х = 2, у = -1 (краевой максимум); наименьшее значение г — 1 при х ~ р = 1 (внутренний минимум) и при х О, у — 1 (краевой минимум). 2034. Куб.
2035. ЯР; Ч2»2; — 2/21'. 2036. Равносторонний треугольник. 2037. Куб. 2038. а = 4/а 4/а . 4Га ~/а. 2039. М(-1/4; 1/4), 2040, Стороны треугольника: — р, — р и ~ . 2041. х .3 3 4 4 2 т1х1 + щ2х2+ щзхз т1У1+ Щ2У2+ тзуз ?042 х У г 3 Ве у юе , 2042, — + + — = 3. ж,+тг+тз т1+ т2+ тз 2043.
Измерения параллелепипеда: —, —, —, где а, Ь и с — полуоси , 2а 2Ь 2с Я *,Гз * /3 ' эллипсонда. 2044. х = у - 2Ь + 2/2»', г = х/2. 2045. х - +а/./2, у = +Ь/ /2 . 2046, Болыпая ось 2а = 6, малая ось 2Ь = 2, Квадрат расстояния точки (х, у) 2 2 эллипса от его центра (начала координат) равен х + у, Задача сводится к 2 2 2 е отысканию экстремума функции х + у при условии бх + 8ху + 5у = Э. В 2 2 2047. Радиус основания цилиндра — 2+ —, высота В 2- —, где В— 2 Д' яе радиус шара. 2048.
Канал должен соединять точку параболы (1/2; 1/4) с точкой прямой (11/8; — 5/8); его длина —. 2049. —,/2780, 2050.— 7./2 1, Б1п(х п1 8 14 Б(п р п2 Очевидно, точка М, в которой луч переходит из одной среды в другую, должна находиться между А1 и 8,, причем ЛМ вЂ”, ВМ - —, А,М, а»я и, а Ь СОБ О'. 1 1 ~1~ = ~М 1?. Ремя распрострапспи лу'1а равна — ° ~адана а Ь 171сОБО.
П2соз11 сводится к отысканию минимума функции Яа, 11) — + г1ри а Ь 171сОБЙ игсоБР условии, что а25 и + Ь$д ~3 с. 2051. а = (). 2052. Х: Х: Х„ 1, 1 . 1 В, Вг ВБ Найти минимум Функции/(Х,, Х,, Хэ) = Х2 В, + Х~ В, + Х2 Вз при условии, что Х, + Х + Х 1. 2053. Изолированная точка (О; О). 2054. Точка возврата 2-го рода (О; О), 2055. Точка самоприкосновения (О; О).
2056. Изолированная точка (О; О). 2057. Узел (О; О). 2058. Точка возврата 1-го рода (О; О). 2059. Узел (О; О). 2060. Узел (О; О). 2061. Начало координат — изолированная точка, есчи а > Ь,' точка возврата 1-го рода, если а - Ь, и узел, если а < Ь, 2062 Если среди величии а, Ь и с нет равных между собой, то кривая не имее~ особых точек. Если а = Ь < с, то А(а, О) — изолированная точка; если а < Ь = с, то В(Ь. О) — узел; если а = Ь = с, то А.(а, О) — точка возврата 1-го рода. 2063.у +х. 2064.у 2рх.
2065.у =+В. 2066. х ' + у ' =1 ~ . 1 2067. ху = — 8. 2068. Пара сопряженных равносторонних гипербол, уравнения которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, имеют вид ху = 18/2к, 2069. а) Дискриминантнал кривая у = О является геометрическим местом точек перегиба и Огибающей данного семейства; б) дискриминантная кривая у = О является геометрическим местом точек заострения и огибающей семейства", в) дискриминантная кривая у О есть геометрическое место точек заострения и не является огибающей; г) дискриминантная кривая распадается на прямые: х = О (геометричсское место узловых точек) и х = а (огибающая).
2070. у = — ~ — †. 2071. 7-. 2072. 40 е 4е . 2072. е'2 1е — 11. 2074. 42. 2070. 0. 2070. ее е е . 2077. 11 1 + . 2079. а) Пряман; б) парабола; в) эллипс; г) гипербола, 2080, 1) — а; 1п 10 Йа О 9 Й1 2) а —; 3) — а + а —. 2081, — (аЬс) = ~ — 1?с~ + ~ а — с ~ + ~аЬ вЂ” ~ . Йа . Йа з Йа Й 1'Йа 1 ~ Й11 '1 4' Йс' Й1 Й1 Й2 Й2 Й2 / , Й1 г д2, 2 2082.42(2 + 1). 2083, х Зсов ~; У = 4а)п 2 (эллипс);1 41„2т = — 31 при 1= О; ч — — 1+ 2,/21, ~41 — — 1 — 2./21 при 2 и/4 2' — 31 1т = -41 при 1 ЗЛ. -. ЗЯ. 2 ' 2 е - я/2. 2084.
х = 2соз ~, р - 2а(п 2, г - 31 (винтовая линия); т = — 21Б1п 1 + + 2)СОБ1 ~. 311; 11 = ДЗ при любому; 121= -21соБ2 — 21Б1п2, и = 2при любом 2; ъ = .) + ЗЫ, 12 = -21 при 2 = О; т = -21 + 31с, 121 -21 при 2 = Н/2. 2085. Х ~ соБ Й сОБ Ы; У = Я1п Й сОБ сн1 г ~ Б1п О11 (ОКРУж17ость); т ~ -С11СОБ О Б1п шов 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
