Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 47
Текст из файла (страница 47)
См, приложение Л, рис. 21, 156. См. прилолсепие И, рис. 27. Достаточно построить точки (х„у)„ а соответствуклцие абсцисеам х = О, +-, +а, 157. Разрезная уравнение отно- 2 сительно х, будем иметь х = 10 1д у — у . Отсюда получаем точки (х, д) искомой кривой, давая ординате у произвольные значения (у > О) и вычислял по формуле (*) абсциссу х. Следует иметь в виду, что 1д у — ео при у - О.
2 2 159. Переходя к полярным координатам г= х +у и Фд у = и, будем иметь г = е' (см. приложение 'Л„рис. 32). 160, Переходя к полярным координатам х = гсоз у и у = гз(п ~р, будем иметь г = ~~р (см. приложение у1, 3 31п соыр еоз ~р+з1п ~р рис. 32), 161. Р = 32 + 1,8С. 162. у = 0,6 х(10 — х); у,„= 15 при х = 5. 163.у- — з(п х; у - — при х ~. 164.а) х 1/2, х = 2; б) х = 0,68; аЬ .
. аЬ п~ах 2' ' 1 $ "2 1 в) х, = 1,37, х = 10; г) х = 0,40; д) х = 1,50; е) х = 0,86. 165. а) х, = 2, у, = 5; .''.. х =Ьу =25)х, -Зу -2х = — 2у =-.Зх =2у =Зх,,=3, у2=29;хз=29,уз=18;х =34,у -"-16;д)х3= —,д = —;Х2=— и 2 бк у. - — —,. 166. и > †. а) п > 4; б) л > 10; в) и 32. 167. л > — — 1 = Ф Л 2,Д а) М = 9; б) Х = 99; в) У - 999. 168. Ь = — (е < 1). а) 0,02; б) 0„002; в) 0,0002': 169* а) 1Д х ~ -М при О < х < Ь(Х); б) 2 > Х при х > Х(Я); в) ~дх)~ ~ у при ,'х~ > Х(Ф). 170.
а) О; б) 1; и) 2; г) 7/ЗО. 171. 1,~2. 172. 1. 173. — 3/2, 174. 1. 175. 3. 176. 1. 177, 3/4. 178, 1~3. Указание: использовать формулу 1 + 2 + + ... + а = — л(л + 1)(2л ~ 1). 179. О. 180. О. 181. 1, 182. О. 183. ее. 184, О. 2 1 6 185. 72. 186. 2. 187. 2. 188. Оо. 189. О. 190. 1. 191. О, 192.оэ.
193. -2. 194.оэ. 195. 1/2. 196. а:, . 197. Зх . 198. -1. 199. 1/2. 200. 3. 201, 4/3, 202. 1/9. 203. -1/56, 204. 12, 205. 3~2, 206. -1/3, 207. 1. 208. —. 209- 2Г ЗУ 210. — 1/3. 211. О, 212. а/2, 213. -5/2. 214. 1/2. 215. О. 216. а) — з(п 2; б) О, 2 217.3. 218. 5/2. 219. 1/3. 220.я. 221. 1/2. 222.сова. 223. — а(па. 224,п. 225. соз х.
226. — 1/./2 . 227. а) О; б) 1. 228. 2/к. 229. 1у'2. 230. О, 231. — 1/ ГЗ . 232. — (л — т, ). 233. 1~2, 234. 1, 235. 2~3. 236. 2~и. 237. — 1у'4. 238. и. 239. 1/4. 1 2 2 240. 1. 241, 1. 242. — . 243. О, 244. 3/2, 245, О. 246, е . 247. е . 248. е 249.е . 250.е". 251,е. 252.а)1. 1пп(созх) '" 1пп11 — (1 — совхоз ~ х- 0 х. 0 - -2. 1 11ш — = О, то 1пп (соз х) х, - 1х х- 04 х-0 1 = е 1.
б) 1/./е . Аналогично предыдущему, = 1,~,~е. 253. 1п 2. 254. 101и 2. 255. 1, 256. 1, 257. -1~2, 258. 1. Положить е — 1 = О, где ц -. О. 259. 1п а. Использовать тождество а = е" '. 260, 1п а, Положить — = а, где а — О (см. № 259), 261. а — Ь. 262. 1. 263. а) 1; б) 1,'2, 1 ответы, ркшеиия, уклэАния 400 Глава П 264. а) — 1; б) 1. 265. а) -1; б) 1. 266. а) 1; б) О. 267. а) О; б) 1. 268. а) -1; б) 1.
269. а) — 1; б) 1. 270. а) — ос„б) +ос). 271. Ксли х ~ ))вк (й О, +1е +2, ...), то соз х < 1 и у - 0; если же х = йк, то соз х = 1 и у - 1, 272. у = х при 0 < х < 1; 2 2 у — при х = 1; у = О при х > 1. 273. у = ~х~. 274. у = — - при х < О; у = О 1 я 2 * 2 при х = О; у = — прн х > О. 275. у = 1 при 0 < х ~ 1; у = х при 1 < х < +со.
я 276. 61/450. 277.х - --; х со. 278. я. 279. 2яВ. 280. е . 281. 1- . Ь 2 е — 1 * 3 282, . 284. 1пп АС = —, 285. —. 286. й 1, Ь = О; прямая у = х /1е +1 . 1 аЬ )),с2 „ее )) является асимптотой кривой у = —. 287. 9, = Яо~1+ — ~, где й— х'+ 1 (.) ~ ЙЙ" х+1 коэффициент пропорциональности («закон сложных процентов«); Я, =9ое . 288.~х!. —;а)Ц> 10;б)!4>100; )~х~. 1ООО.289.1х — 4< -' пр О<Я<1; а) ~х — 1~ < 0,05; б) ~х — 1~ < 0,005; в) 1х — 1~ < 0,0005, 290. !х — 2! < — = Ь; а) Ь = 0,1; б) 6-0,01; в) Ь= 0,001, 291. а) Второй; 6) третий.
1)/2, 3/2. 292. а) 1; б) 2; в) 3. 293. а) 1; б) 1/4; в) 2/'3; г) 2; д) 3. 295. Нет. 296. 15. 297. -1. 298. — 1. 299. 3, 300. а) 1,03 (1,0296); 6) 0,985 (0,9849); в) 3,167 (3,1623). ДО /9 + 1 = 3 11 + —; г) 10,954 (10,954). 301. 1) 0,98 (0,9804); 2) 1,03 (1,0309); 3)0,0095 (0,00952); 4) 3,875 (3,8730); 5) 1,12 (1,125); 6)0,72 (0,7480); 7) 0,043 (0,04139). 303. а) 2; б) 4; в) 1/2; г) 2/3. 307. Бели х > О, то при ~ЛХ~ < х ппееп ) /х + Ех — /х) - М/) ух + Пх -:-./х ) Х М/ /х . ВВВ. Воспохьеоеетьех неравенством ~соз (х + Лх) — сов х~ 4' ~ЛХ~.
310. а) х ~ — + А)я, где Й вЂ” целое 2 число; б) х ~ Йя, где Й вЂ” целое число. 311, Воспользоваться неравенством 1~х + ЛХ1 — ~х~1 ~ 1ЛХ~. 313. Л = 4. 314, /'(О) = 1. 315. Н . 316. а) /'(О) - д; б)/"(О) —; в) ДО) -2; г)ДО) 2; д)ДО) = 0; е) ДО) = 1, 317.х = 2 — точка 1, разрыва 2-го рода. 318. х = -1 — устранимая точка разрыва. 319. х = — 2 — точка разрыва 2-го рода; х = 2 — устранимая точка разрыва. 320. х = 0 — точка разрыва 1-го рода.
321. а) х 0 — точка разрыва 2-го рода; б) х = Π— устранимая точка разрыва. 322. х = Π— устранимая точка разрыва, х = йя (Ф =+1, +2, ...)— точки бесконечного разрыва. 323. х = 2кй и — (й - О, +1, +2, ...) — точки бес- 2 конечиого разрыва. 324. х - .Ьт. (Ф = О, 1, Й:2„...) — точки бесконечного разрыва. 325. х Π— точка разрыва 1-го рода.
326. х = -1 — устрапимая точка разрыва; х = 1 — точка разрыва 1-го рода. 327. х = — 1 — точка разрыва 2-го рода. 328. х = 0 — устранимая 1очка разрыва, 329, х = 1 — точка разрыва 1-го рода, 330. х = 3 — точка разрыва 1-го рода. 332. х = 1 — точка разрыва 1-го рода. 333, Функция непрерывна. 334. а) х 0 — точка разрыва 1-го рода; б) функция непрерывна; в) х = Ь~ (Й вЂ” целое) — точки разрыва 1-го рода. 335. а) х = Й (Й вЂ” целое) — точки разрыва 1-го рода; б) х = Й (Й;в 0 — целое) — точки разрыва 1-го рода, 337. Нет, так как функция у = Е(х» разрывна при х = 1. 338.
1„53. 339. Показать, что при хо достаточно большом имеем Р( — х„) Р(х„) < О, 341. а» 3; б) 0,21; в) 2л + Ь . 342, а) 0,1; б) — 3; в) з а + ))в — з/а . 344. а) 624; 1560; 6) 0,01; 100; в) -1; 0,000011. 345. а) аЛХ; а; б) Зх Лх + Зх(Лх) + (Лх)'; 2 2 2, В е + В в „е, ) Вхох е)пх), Вхеьх, „-„— — г. х'(х+Лх)' х'(х+Лх)' д) 2"(2 " — 1); ' '; е) 1п —; — 1п ~1 + ./х+ Вх+./х ' х Лх 346. а) -1; б) 0,1; в) -Ь; О. 347, 21. 348. 15 см/'с. 349.
7. 350. ~(х+ Лх) — ~(х ~(х+ Лх) в(х), 352, а) — в1); б) -2 = 111п — "', где с) — угол м-о Лх Л2 ЙФ ы..о Л2 поворота в момент 2. 353. а) —; б) — 11пт —, Т вЂ” температура ЛТ. ЙТ . ЛТ Лг дв и- оЛ2 в момент ~. 354. — = 1пп —, 9 — количество вещества в момент 1, Щ М 355. а) —;б) 11т †. 356. а) -- =-0,16; б) - — = — 0,238; в) — — = — 0,249; Ли . Л/и 1 . 5, 50 Лх ' ох-обЛх 6 ' ' 21 ' ' 201 1я х+ Лх) — $дх . Я1пЛХ =о 11ш м о Лх созх сов(х + Лх) 11гп — * 11п~ 1 2 2 2, з' Ьх-О ЛХ Ях- О СОЯХСОЯ(Х+ЛХ) СОЯ2Х х' /в -хх)-/в) ),. ев ех-с/в 2 „// ' 2 12 /)х — о Лх вх о Лх 2./х я1п х 8+ Лх — 8 ьх)еоВ+Ьх ь~/8+вхВеее/В ) ' е/с«епх) ьве/)Вепх)+е —, 360, ~'(О) = — 8, ~в'(1) = О, ~'(2) = О. 361.
х, = О; х, = 3. Уравнение 12 /"(х) = Ях) для данной функции имеет вид Зх = х'. 362. 30 и/'с. 363. 1, 2. 364. -1. 365. ~'(хо»- —, 366. — 1; 2; ~~ е) 3, Использовать результаты хо ОТВЕТЫ, РЕЫИНИЯ, УКАЗАНИЯ ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 2 (' а 72'1 (а-1 н'( (и-2) я( в)(1 — х )соз ~ х+ — ! — 2пх соз ~х+ 2 ~ — п(п — 1)соз ~х+ 2 ( — 1) 1. 3 ... (273- 3) (-1)'6(п — 4)) и (20+ 1)/2 8 3 691 у (О) = ( е — 1)1 692. а) 92; б) 22 + 2; в) — Б — 2, 693, а):; аз1п 2 б); в); г) .
694. а) О; б) 2е '. За соз 2 з(п2 4аз1п (Ь'2) а2 з1п 2 3' ' 3' (1 — 2) (соз2+ з1п2) - 1. Обычное правило дифференцирования тут неприменимо. 1-0 . 701. — 6е '(1 + 32 + 2 ). 702. (з(п2+ соз2) 699. (Зсф 2)/з1п 2. 700, х С х 703 Й"х -~"(»1 Й х 3( "х 1 -Т' х ("' х ( 31у (/'(х))3 6у К(х)) 707. — -~ — —. 708. ~ "—; — †. Т09. 111/256. 710. -1~16. у (1х (1- у) Ф 711.
а) 1/3; б) — За х/у . 712. Лу - 0„009001; ау - 0,009. 713. й(1 — х ) = 1 при х - 1 н Лх = — 1/3. 714. М = 2хЛХ + (Лх); М = 2хЛх. 717. Прн х - О. 718. Нет. 719. (((у -и/12 = -0,0436. 720. ду = 1/2700 = 0,00037. 721. ду = п/45 = 0,0698, 722. — . 723.. 724.. 725. — . Т26. -2хе " Йх. Т27.!и « Йх. Т28. †. Т29. -~ ЙО. 730. — —. 1-х а(п (р 1+е 2 . 2 2( ~~Охе8 6„733 -»е "Йх 7 Й 734 «+3 Й 35 12 Й 7Х+5у ' ' 2 -«/(1 х у ' ' х у ' 11 737. а) 0„485; б) 0,965; в) 1,2; г) — 0,045; д) п/4 + 0,025 = 0,81. 738.
565 см . 739../5 = 2,25; Д7 = 4,13; ./70 = 8,38; ЯИ = 25,3. 740. ЯО = 2,16; 3/70 = 413; 3(200 = 5,85. 741.а) 5; б) 1,1; в) 0,93; г)0,9. 742.1,0019. Т43.0357. 744. 203. 748. — ~ — -. 749. — х( — е. Т50. ( — е1и х (их + (1- х')"' (1-х')3 2 + созх — ьн'х ° (дх) 751 и (дх) 752 — е (х — бх + 6) ((1х) ° х х2 „3 , 2 / 753. ' . 754. 3 2" з1п ~2х + 5 + ~— ~ (йх)".
755.е«"'"з)п(хз(па+ + 73и) (йх)". 757. Нет, так как /"(2) не существует. 758. Нет. Точка х = л/2— точка разрыва функции. 762. )( О. 763. (2„4). 765. а) ~ 14/9; б) Р, х/4. 768.(их = (х — И вЂ” †(х — 1) + ( — ~- . »ие 1 = 1 + 9 (х — И, 0 е 9 е 1. 2 щ 3 0 3 Ь х х х х 769. з1п х = х — — + — соз с, где с, - О х, О < 0 < 1; з(п х = х — — + —— 3! 5! 1' ~ 1 ' 2 ' 3( 51 7 2 3 (( - 1 — — созГ, е гдес, =О х, 0 <6 <1.770. е =1+ х+ — + — + ... + + 7( 2 2 ' 2 2( 31 (и — 1)( + — е, гдето =Ох, О <О < 1.
772. Погрешность: а) —,; б)— х" 1 х, 5 х и! ~)з/2 81 ( 1 ~)з/3 в обоих случаях с - Ох; О < 6 < 1. 773. Погрешность меньше— 3 1 Я 40 775. Решение. Имеем а+ х = (1 + (х/а) ~ (1 — (х/а)) ~ . Разлагая оба множн- 1/2 1 х 1 х, / х'1-У2 теля по степеням х, получим: (1 + (х/а)) = 1 + — — — — —; ~ 1 —— 2а 8,'~ 2 е 1Х Зх а+х х х = 1+- — + — —, Перемножая, будем иметь: — = 1+ — + †. Далее, 2а 8а2 а-х а разлагая е по степеням х/а, получаем тот же многочлен е = 1 + — + —, . «/(3 х х 2а" 777. -1/3, 778,(2(3. 779, 1.
780, 3. 781. 1/2. 782, 5, 783. о(3, 784, О, 785. к /2. 786. 1. 788. 2/н. 789. 1. 790. О. 791. а. 792.с(3 для ю > 1; а для ю = 1; О для и < 1. 793. О. 795. 1/5. 796. 1/12. 797. -1. 799. 1.800. е .801. 1.802. 1. 803. 1. 804. 1/е. 805. 1/е. 806. 1/е. 807. 1. 808. 1. 810. Надо найти 1пп †, , где 8 ( -О 2/ЗЬЬ' В Я = — (а — з1п а) — точное выражение площади сегмента ( — радиус со- 2 ответствукпцей окружности), Глава 1П 811. ( — О(3, -2) — возрастает; ( — 2, (То) — убывает.
812. ( — 3о, 2) — убывает; (2, О(3) — возрастает, 813. (-Й«3; (3о) — возрастает. 814. ( — 0(3„0) и (2, ~23) — возрастает; (О, 2) — убывает. 815. ( — с«3, 2) и (2, 6«3) — убывает. 816. ( — со, 1)— возрастает„.(1, о(3) — убывает, 817. (--43(3, -2), ( — 2, 8) и (8, (3(1) — убывает, ОТВЕТЫ, РЕП»ЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 818. (О, 1) — убывает; (1; ~«.-) — возрастает.
819. (-~ «, — 1) и (1, ««) — возрастает; ( — 1, 1) — убывает. 820. (''««; ««) — ьозрастает. 821, (О, »/е) — убывает", (1//с, с «) — возрастает. 822. (-2, О) — возрастает. 823. (-ж, 2) — убывает. 824. ( — сд«, а) и (а, /«о) — убьгвает. 825.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
