Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 43
Текст из файла (страница 43)
3109. Вычислить абсолютные н относительные погрешности приближенных чисел, верных в узком смысле в написанных зинках: а) 241,7; б)0,035; н) 3,14, з71 З В. Интерполирование функдин 5 2. Интерполирование функций Глава Х. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 3110. Определить число верных знаков и дать соответствующую запись приближенных чисел: а) 48 361 при точности в 1%; б) 14,9360 при точности в 1%; в) 592,8 при точности в 2%. 3111.
Произвести сложение приближенных чисел, верных в написанных знаках: а) 25,386+ 0,49+ 3,10+ 0,5; б) 1,2 10 + 41,72 + 0,09; в) 38,1+ 2,0+ 3,124. 3112. Произвести вычитание приближенных чисел, верных в написанных знаках: а) 148,1 — 63,871; б) 29,72 — 11,25; в) 34,22 — 34,21, 3113-'. Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны которых по измерению равны 15,28 см и 15,22 см (с точностью до 0,05 мм).
3114. Вычислить произведение приближенных чисел, верных в написанных знаках: 1 а) 3,49 8,6; б) 25,1 . 1,734; в) 0,02 16,5. Указать возможные границы результатов. 3115. Стороны прямоугольника равны 4,02 м и 4,96 м (с точностью до 1 см). Вычислить площадь прямоугольника. 3116, Вычислить частное приближенных чисел, верных в написанных знаках: а) 5,684: 5,032; б) 0,144: 1,2; в) 216: 4. 3117. Катеты прямоугольного треугольника равны 12,10см и 25,21 см (с точностью до 0,01 см). Вычислить тангенс угла, противолежащего первому катету. ! 3118.
Вычислить указанные степени приближенных чисел (основания степеней верны в написанных знаках): а) 0,4158; б) 65,2; в) 1,5 . 3119. Сторона квадрата равна 45,3 см (с точностью до 1 мм). Найти площадь квадрата. 3120. Вычислить значения корней (подкоренные числа верны в написанных знаках): а),Д, 715; б) фбб, 2; в) ./з1, 1. 3121, Радиусы оснований и образующая усеченного конуса рав- '' ны: В = 23,64 см + 0,01 см, г = 17„31 см + 0,01 см; 1 10,21 см + + 0,01 см; число я = 3,14. Вычислить по этим данным полную по- ф верхность усеченного конуса. Оценить абсолютную и относительную $ ъ погрешности результата.
*у Верные знаки понимаются в узком смыслс. 3122. 1'ипотенуза прямоугольного треугольника равна 15,4 см + — 0,1 см; один из катетов равен 6,8 см + 0,1 см. Как ~о~~о ~огут быть Определены по этим данным второй катет и прилежащий к нему Острый угол? Найти их значения, 3123. Вычис~и~ь плОтность алюминия, если ма~са алюминиевого пилиндра диаметром 2 см и высотой 11 см равна 93,4 г. Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная погрешность взвешивания равна 0,001.
3124. Вычислить силу тока„если злектродвижущая сила равна 221 В + 1 В, а сопротивление равно 809 Ом + 1 Ом. 3125. Период колебания маятника длины 1 равен где в — ускорение свободного падения. С какой точностью следует измерить длину маятника„период колебаний которого близок к 2 с, чтобы получить период его колебаний с относительной погрешностью в 0,5%7 Как то~и~ должны быть взяты числа я и л'7 3126.
Требуется измерить с точностью и 1% площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого 2 м и 1 м„ а образующая 5 м (приближенно). С какой точностью следует измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками следует взять число я7 3127. Для определения модуля Юнга но прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула рр Е .=— 4 1РЬа' где 1 — длина стержня, Ь и Г1 — основание и высота поперечного сечения стержня, в — стрела прогиба, Р— нагрузка, С какой точностью следует измерить длину 1 и стрелу в, чтобы погрешность Е не превышала 5,5% при условии, что Р известна с точностью до 0,1%, величины д и Ь известны с точностью до 1%, 1 = 50 см, а = 2,5 см7 Г. И Н т Е Р И О Л Я П и О Н Н а Я ф О Р И У Л а Н Ь 1О т О Н а, ПУСТЬ Х,, Х,, х — табличные значения аргумента, разность которых Ь = Лх, (Лх.= х., — х.; 1 =- О, 1, ., и -1) ностоянна11иаг таблицы), и уо, у„..„ у,, — Ооотаетстау1ОИ1не значения функнии ф.
'1ОГда значение функции д для промежуточного значення аргумента х нрнб 1иже11но дается иитерполяиионной фор.иулой Ньютона Г.((ЯЯ(( Х. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ $ 2. Иитерпелировавие фупкций где (7 —" и Лу, у . у„, Л у Лу — Луо, ... — последовательные коиечиые реепоети фупепии р.
При » т((( = р, 1, ..., и) поп ииоп(Иприпииеот соответственно табличные значения у,. (( = О, 1, ..., л). Как частные случаи формулы Ньютона получаем: при и = 1 — линейное инлтераолироваяие; при р л = 2 — ке(1дрпв(ичное инл(ер11олироепние, Для удобства пользования формулой Ньютона рекомендуется предварительно составлять таблицу конечных разностей. Если у - ~(х) — многочлен и-й степени, то Л у,. = сопз1 и Л у,. = О и, следовательно, формула (1) является точной В общем случае, если 1'(х) имеет непрерывную производную ~ (х) на (((+ 1> отрезке 1а, Ь1, включающем точки х„, х„..., х„и х, то погрешность формулы (1) равна В( — -тЧ( ')- "') " ' ' -' ")~("'"() () х =у ' у ." где ~ — некоторое промежуточное значение между х,.
(1 = О, 1...,„л) и х. Ба практике пользуются более удобной приближенной формулой т( ° 1 В„(х) = д(д — 1) ... ((1 - и). (и+ 1)! Если число п можно взя( ь любым, то его следует выбирать так, чтобы ((+ 1 разность Л у = О в пределах данкой точности; иными словами, разности Л у, должны быть постоянны в заданных десятичных разрядах. П р и м е р 1. Найти а)п 26'15', пользуясь табличными данными в1п 26' 0,43837, в1п 27' = 0,45399, в)п 28' = 0,46947.
Реш е н не. Составляем таблицу: Здесь л = 60', (7— 26" 15'- 26' 1 Применяя формулу (1), используя первую горизонтальную строку таблицы, имеем ып 26"15' = 0,43837 (- — 0,01562 + '' ' (-0,00014) = 0,44229, 4 2( Оценим погрешность Й . Используя Формулу (2) и учитывая, что если (рз у = з1п х, то ~у ~ =' 1, будем иметь -' — — 1 — — 2 4(,4 Я4 (' л'(з 7 1 1 -а ~В ~': ° 10 У '~~~~1 Д~ '57 33з о - и ~о~ д'"(р"' — (~ п1ре 2 Луз и! Луе ((-О, 1„2,,), За д принимаем общее значение (с заданной точностью() двух последова- (рз (ж.
ц гельных приближений д = д . Отсюда х х„(. д . Ь, П р и м е р 2. Пользуясь таблицей ((риближенно вычислить корень уравпс1(ия ЯЬ х = 5, Р е ш е н и е. Принимая у„= 4,457, имеем Ч"' = 5 4т 457 = 0 543 = 0,538; 1, 009 1, 009 ю ~ц д'"~~ -~~ о "( П'ре Ч =Ч + 2 Луо О 220 — 0,528 + 0,027 = 0,565„ 1„009 0,538 О 462 2 (2~, 0,.565 От435 0(220 О р + О 02, 1.
009 Таким Образом, можно принять х =-- 2,2 ( 0,565 0,2 —.- 2,2 + 0,113 = 2,313, Таким образом, все приведенные знаки вп 26'15' — верные, С помощью формулы Ньютона можно также по заданному промежуточному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х (обр(1(ппое и((л1ерлолировияие). Для зтого сначала определяем соответст- В'ЛОП1ЕЕ ЗНЯЧЕНИЕ (7 МЕТОДОМ ПОСЛСДОВатЕЛЬНЫХ ПРИбЛИж(еНИЙт ПОЛаГаЯ 1О 473 Глава Х, ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛКБИЯ 2". Интерпол яцнон на я формула Ла гран жа. В общем случае полипом степени и, принимак1»ций при х ~ х, заданные значения у.
(~ О, 1, „., п), дается иитераоляционной формулой Лагранлга (х х1нх х2) '(х х ) (х хо)(х х2) '(х х ) У1 '— (х — х„)(х — х )...(х — х ) с (х — х )(х, — х.)...(х — х )' ' (х — хо)(х — х,)... (х — х~ 1)(х — х„„)... (х — х„) у, + ". * (х~ - хе)(х - х,)...(х~ - хь 1)(хд — хь, 1)„,(х1, — х„) (х — хе)(х — х1)... (х — х„1) (х, — хз)(х„— х,)...(х„— х,,) 3128. Дана таблица значений величин х и у: Составить таблицу конечных разностей функции у.
3 2 3129, Составить таблицу разностей функции у = х — 5х + х — 1 для значений х = 1, 3, 5, 7, 9, 11. Убедиться в том, что все конечные разности 3-го порядка равны между собой. 3130'». Используя постоянство разностей 4-го порядка, составить 4 3 2 таблицу разностей функции Д = х — 10х + 2х -1- Зх для целых значений х, ~аключенных в промежутке 1 ~ х < 10, 3131. Дана таблица 1а 1 = 0,000, 1д 2 = 0,301, 1д3 = 0,477, 1ц 4 = 0,602. 1д 5 = 0,699. Вычислить с номощью линейного инте(нюлирования числа 1д 1,7, 1д 2,5, 1д3,1 и 1а'4,6.
3132. Дана таблица Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при и = 2) значения синуса через полградуса. 3133. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей 3 3, Вычисление действительных корней уравнений 3134"", Составить интерг1олирующий многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей Найти у при х = 5,5.
При каком х величина у = 20? 3135. Функция задана таблицей Составить интерполирующий многочлен Лагранжа и найти значение д при х = О. 3136. Из опыта найдены удлинения пружины х в зависимости от нагрузки Р на эту пружину: Найти нагрузку, дающую укорочение пружины на 14 мм, 3137. Дана таблица величин х и у Вычислить значения у для х = 0,5 и для х = 2: а) с помощью ли- нейного интерполирования," б) по формуле Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
