Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 39
Текст из файла (страница 39)
гументом). Решая его, найдем Р= ° у С,+у Из условия у' = р = О при у = 1 имеем С вЂ” 1. Следовательно, Р = +УМУ вЂ” 1 2 Интегрируя, имеем Полагая у = 1 и х = О, получим С - О, откуда — = сов х или у вес х. 1 3 1 у или 2917. (1+ х)у" + у' + 1 О. 2918, у'(1 + у' ) ау"', 2923. (х + 1)у" — (х + 2)у' + х + 2 О, 2924. ху" = у' )п "- . 2926. ху"' + у" = 1 + х. 2925. у'+ -(у") = ху". г у р Р~~ 0 Найти частные решения при уиазанньхх 2928.
(1 + х )у" — 2ху' = О; у = О, у' = 3 2929. 1 + у' = 2уу"; у = 1, у" = 1 при х 2930. уу"' + у' = у'; у = 1, у' = 1 при х 2931. ху" у'„у = О, у' = О при х = О. начальных условиях: при х = О, — 1 = О. Найти общие интегралы уравнений: ЗЗЗЗ. ИЧ' = ~~ + 9'юЗ" — 9'9".
9994. 9'' — Юи" - Зюи'. ЗЗЗЗ. ЗУ" = У' + 9'~~ ~ З'". 2935. ЗЗ" + У' — З' !п У = 9. разуется в след~чОщее: Глана 1Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ П р и м е р 1. Нанти частное решение уравнения ху" + у'+ х = О, удовлетворяющее условиям д-О, у'-О при х= О, Р е ш е н и е. Полагая у' р, имеем у" ° р', откуда Решая последнее уравнение как линейное относительно функции р, получим 3 Рх =.С 1 2 Из условия у' = р = О при х = О имеем О - С вЂ” О, т. е. С - О. Следовательно, откуда, интегрируя еще раз, получим 2 у ~ — — +( х ъ а' Полагая у О при х = О, находим С - О.
Следовательно, искомое частное решение есть 2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит х, например Р(х, у', у") О, то, полагая у' р, у" - р-~-, получим уравнение порядка на единицу ниже Йу' При ме р 2, Найти частное решение уравнения .а ду д =* у при условии у 1„у' = О при х = О.
Р е ш е н и е. Полагаем р' = Р, тогда у"' - р-'- и нап~е уравнение преоб- Йу Решить уравнения: 2911. у" х 2912. у" = —— 2у 291З, у" - 1 — у'. 2914. ху" + у' = О. 291$. уу" = у'. 2916. уу" + у' О. 2919, х у" + ху' = 1. 292О. уу" = у у' + у . 2921. уу" — у'(1 + у') = О. 2922. у" у гчввв 1у диф«рЕрЕнццАЛЬНЬХХ.„' урАВБЕНИя $ Х Х.
Линейные дифференциальные уруувисння Найти решения, удовлетворяющие указанным условиям: 2936. д "д' '-- 1; у ='= 1, у' = 1 при х = — . 2937. уу" + у" = 1; у =- 1, у' = 1 при х = О. 2938. ху" = /1 . у'; у = О при т = 1; у = 1 при х = е . 2939, д "(1 — 1п х) + — ° у' = 2 — ' 1п х; д = —, у' = 1 при х = 1. х 2'' 1 Р '~ 2940,у"= Ч ~ 1+1пр — ',;у= 1,д'=1дрих=1. х) 2 2941, у" — д' + д'(д — 1) = О; у = 2, у' = 2 при х = О. 2942, Зу'у'" = у + у' — 1; д = -2; д' == О нри х = О. 2943.
у + у' — 2ду" -- 0; у --- 1, д' = 1 при х --- О, 2944, уу' + у' + уу" -- О; у:-- 1 при х = 0 и у = О при х = — 1. 2945. 2у' + (у' — бх) д" = О; у' = 2 при х = 2. 2946. у'д + ду' — д' = 0; у = 1, у' = 2 при х = О. 2947. 2уу" — Зу' =- 4у; у -- 1, д' .=- 1 при х = О. 2948. 2уу" — у — у' = О; у =- 1, у' = 1 при х — О. уз 1 ~ 1 2949, у '- д — д; у = — —, у = — при х = 1. 2950.
д" + —, е" у' - 2уу' = О; у = 1, у' = е при х = -— р 2с 2951. 1 — уу" + д' = О; д = О, д' = 1 при х = 1. 2952. (1 + уу')у" = (1 — у' )у'; д = 1, у' = 1 при х = О. 2953. (х — 1)д" + хд' = у'; у = — 2, у' = 4 11ри х = 1, Репхить уравнения: 2954. д' = ху" + у"". 2955. у' = ху" — у" — у" 2956.
у"' = 4у". 2957, уу'у" = у' + у" . Выделить интегральную кривую, прохо- дящую через точку (О; О) и касакнцуюся в ней прямой д + х = О, 2958. Найти кривые постоянного радиуса кривизны. 2959. Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорциона- лен кубу нормали, 2960, Найти кривую, у которои радиус кривизны равен нормали, 2961. Н1111ти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше норм аг1и, 2962. Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны на ось ОУ постоянна. 2963.
Найти уравнение каната подвесно1.0 моста, предполагая, что нагрузка распределена равномерно по проекции каната на горизонтальную прямую. Весом каната пренебречь. 2964'"'. Найти положение равновесия гибкой нерастяжимой нити, укрепленной концами в двух точках и имеющей постояннухо нагрузку а (включая вес нити) на единицу длины. 2965+. '1"яжелое тело без начальной скорости скользит по наклонной 1хлоскости, Найти закон движения, если угол наклона равен и, Й коэФ(1)ициеит трения Р.
У к а з а н н с, Сила трения равна рЯ, где ю сидя реакции плоскости, 2966":. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно считать пропорциональной квадрату скорости. Найти закон движении, если начальная скорость равна нулкц 2967'"'. Моторная лодка массой ЗОО кг движется прямолинейно со скоростью 66 м~с. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости лодки и ранна 10 Н при скорости 1 м/с, Через сколько времени после выключения мотора скорость лодки будет равна 8 м/с7 $ 11, Линейные дифференциальные уравнения 1'.
О д н О р О д н ы е у р а в н е н и я. Функции р, =- «р (х), р = д (х), . „р„= -:- 111.(х) называются линейно заеисим1ями на (а, ь), если существуют иостоя11ные С1, С2, ., С„, не Все Равные нулю, такие, что С1р1 + Сгр2 + ' С р О при а < Х 1 Ь в противном случае данные функции называются линейно независим1 1ми, Общее решение однороднага линеиного дифференциального уравнения р -' Р,(х)р + ... + Р„(х)р = 0 (1) с ненрсрывнымн коэффициентами Р,(х) (1 = 1, 2, ..., а) имеет вид р = С,р, + Сгр,, + ...
+ С„р„, г.'хе р,, р,, ..., р„— линейнО независимые решения уравнения (1) 1'фрндал1ентальная система реи1ений ), 2', Не од нор Од н ые ура и не ни я. Общее решение неоднородного линеинаго дифференциального уравнения р ~+ Р,(х)р'" ~ + ... + Р„(х)р =" Дх) (2) с непрерывными козффицнентами Р,(х) н правой частью Д(х) имеет вид р = р„ 1 У, 1д«. р„— общее решение сООтветствующегО ОднОрОдного уравнения (1); У— ч«хстное рс111ен11е данного нсОДНОРОдн01О уравнения (2). йбО 1 за ьв 1Х.,1(ИФФКРЕ11ЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $12. Линейные уравнсвяя 2-го порядка то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов: А,х А,„х 1)у =- С е + С,с, если Й1 и Й вещественны и Ь ~ Й2; 2) и = е 'х (С1 + С2х), если й1 - й,; 3) у- е (С,сов15х+ С2в1п Рх), если Ь1 = и+ Р1 и й = а — р1 ® ~ О), 2'. Неоднородное ура к н е н не.
Общее решение линейного неод- нородного дифференциального уравнения и" + ру' + д~р = Д(х) (3) можно записать в виде суммы у = р„ ~ У, где у„— общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части„ определяемое по формулам (1)--(3), и У вЂ” частное решение данного урав- нения (3). Функция У может быть найдена ме1подом неопределекмых коэффициек. л1ое в следующих простейп1их случаях: 1, Д(х) = е Р„(х), где Р„(х) — многочлен степени а. Если а ке является корнем характеристического уравнения (2), т. е. фа) ~~ О, то полагают У - е Я„(х), где Я„(х) — многочлен степени и с неон- рсдслсппыми коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения (2), т. е. 1р(а) - О, то У = х"е" Я„(х), где г -- краткость корня а (г = 1 или г - 2). 2. 1(х) = е'"(Р„(х)сов Ьх + Я (х)в(п Ьх). Если 1Р(а " Ь1) О, то полагают У с ~8,(х)сов Ьх + Т„,.(х)в1п ЬХ1, где В,(х) и Т„,(х) — мкогочлены степени М = шах «и, т). Если же д(а Ь1) = О, то У =- х е ~3,(х)сов Ьх + Т, (х)в1п ЬХ1, где г — краткость корней а + Ь1 (для уравнений 2-го порядка г = 1). В обгцем случае для решения уравкения (3) применяется.иеп1од вариации произвольных лосл1олииых (см. ~ 11). П р и и е р 1.
Найти общее решение уравнения 2у"' — у' — у = 4хе Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 211 — Ь вЂ” 1 О имеет корни 2 1 Й 1 и Й -- . Общее решение соответствующего однородного уравнения ( ер Й вид) Ро = С„с" + Све . Правая ° ть Зала 1ко о уравке я Г(Х) = 2х йх зх = 4хе в е Р„(х), Следоватслы1о, У = е (Ах + В), так как п = 1 и г = О. Дифференцируя У два раза и подставляя производные в данное уравнение, получаем 2е ' (4Ах + 4В + 4А) е' (2Ах + 2В + А) — е (Ах + В) = 4хс 2х Сокращая на е и приравнивая друг другу коэФФициенты при первых степенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем М=4 и 7А+ЬВ=О, откуда А=- иВ=- —. 4 28 5 25 Таким образом, У е ~-х — — ~, а общее решение данного уравнения 2х1'4 281 Ь Ы' есть х 2 Ы'4 28'1 у=Се +Се +е ~ — х- — ~.
1 2 Ь Ы' Пример 2, Найти общее решение уравнения и" — 2у'+ у = хе'. Р е ш е н н е. Характеристическое уравнение Й вЂ” 2Й + 1 = О имеет дву- 2 кратный корень й = 1, Правая чань уравнения имеет вид Дх) = хе"; здесь а = 1 и в = 1, Частное решение У = х е (Ах + В), так как а совпадает с двукратным корнем Ф = 1 и, следовательно, г 2. Дифференцируя У два раза, подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты, получим А = —, В = О. Следовательно, общее решение данного 1 уравнения запишется в виде у (С + С х)е + — х е .
х 1 3 х 6 Пример 3. Найти общее решение уравнения у" + и хв1пх. Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение й + 1 = О имеет корни Ф1 = 1 и Й2 = -1. Общее решение соответствующего однородного уравнения будет 1см,(3),гдеа=Оир Ц: и = С,совх+ С2в1пх. Правая часть вида )(х) = е 1Р„(х)соз Ьх + 9 (х)е(п Ьх|, где а О, Ь = 1, Р„(х) = О, 9 (х) = х. Бй соответствует частное решение У хКАх + В)соз х + (Сх + ХЦв1п х1 (здесь М = 1, а - .О, Ь = 1, г = 1). Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение, приравниваем ко- эффициенты в обеих частях равенства при сов х, х сов х, в1п х и хз1п х.
В результате получатся четыре уравнения 2А + 2З О, 4С = О, — 2В + 2С = О, -4А - 1, из которых и определяются А — 1~4, В - О, С = О, .0 = 1/4. Поэтому х 2 х У = - — сов х + — в1п х, Общее решение у - С сов х + С в1п х — — сов х + — в1п х. х х 1 2 4 Глава 1Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ в 12, Линейные уравнения 2-га порядка Найти общие решения уравнений: 2995.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
