Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В этом случае переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть 4Р(х) тх у- Се. (3) Для решения нсоднородного линейною уравнения (1) применяем так называемый метод вариации лроизеальной ПОстлолннои; этот метод СОСТОит н 11ОЛУх1ИМ Решая его, получим » 4 и — -и=-О, х 1 у =Св СОЯ Х С~:,1итая С» фуккцис»Й от х, диФФеренцируя, находим 1 11С В1пх — + — „С, СОВХ ЙХ Подставляя у и у' В дс — — + СОВХ ОХ О1'С1ода паходим и: ,Г1 ~2 О = ~-1П1Х1+С1 2 11 1 . 1 1 у =: -х+-В1п2х+С1: —. «,2 4 '1 СОВХ и'+ Р(х)и = О, Глава 1Х. ДИ 2хФКРКНЦИАЛЬНЬ«К УРАВНКНИЯ том, что сначала находим Общее решение соотнетству1О1цего однородного линейного уравнения, т, с.
сооткошсние (3).Затем, полагая В этом соотношении всличину С функцией от х, ищем решение ИЕоднородного уравнения (1) н Виде (3). Для этого подставляем В уравнение (1) у и у', определяемые из (3), и из полученного дифференциального уравнения определяем функци1О С(х), Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем В ниде -11»('х1 Ых у = С(х)е- П р и и с р 1, РЕИИ1ть урав11Екие у' = ~~х у+ сов х. Р е ш е н и е. Соответствующее однородное уравнение есть у' — (,~ х . у = О. уравнение (4), получим В1пх . С дС 2 С = «д х «сов х, или — - сов х, совх 11Х С(х) = сов хдх = — х+ — вчп2х -1- С, 2 1 1 2 4 Слсдовател1»ЙО» ОО1цее ре1пение ураВнения (4) имеет Вид Для решения линейного уравнения (1) мо2кко также применить подста- НОВКУ у = иу, (б) где и и Π— функции от х. Тогда уравкекие (1) примет Вид (и' + Р(х)и1и + О'и = Щх).
Если потребовать, чтобы то из (7) найдем и„затем из (6) найдем ю, а следователь11О, из (5) нейдем д, 2'. Ура В кение Берн ул ли, Уравнение 1-го порядка Вида у'+ Р(х)у = Я(х)у, где о'. ж О и а ~ 1, называется уравнением Бернулли, Око приводится к лие нейному с помощь1О подстановки 0 у . Мож210 '1акж1». пспосредственкО 2 Ь. Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли 11рименя'1'ь подстановку у = ии, или метОд Вариации ироиЗВОльной 11ОстОяикой1. Приме р 2. Решить уравнение» 4 у = - д + х 11у.
х* 1'1 Р е ш е н и е. Это — уравнение Бернулли ~а = -~ . Полагая Ы' и и 1 11»и = - ии + Х,1ио или п~ и — — и~ + и и = Х.1ир . 4 ! ~', 4 1, Г— Для определения Функции и потребуем Вьшолнения соотношения Подставляя это Выражение в уравнение (8), получим Г 4 ух = Х4ух следовательно» ОбЩю рсшспие 11олучим В Виде 4г1 '12 у - х ~-1п~х1+С~ . Ь Найти общие интегралы уравнений: 2785, У вЂ” У = д Йх 2786. "+ "=х. <1 2 з 11х х 2787:. (1 + у ) дх = ( 1 + у Вш у — ху) ду. 2 2 2788, у 1«х — (2ху + 3) с«у = О, Найти частные реп«ения уравнений, удов11етноря«ощие указан- НЫМ УСЛОВИЯМ: 2789, ху' + у — ех == О; у = Ь при х = а.
2790. у' — ~~, — 1 —. х = О; у = О при х = О. 1 — х 2191, у -- у $д' х == —; у = О при х = О. » 1 сОВ х Глава ГХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ1ЫЕ УРАВНЕНИЯ ~5 б. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий ««««ожнталь 333 Найти общие рептения уравнений: 2792. -" + " = — ху . ««2 ««х х 2793.
2ху — 3- — у + х О. ««2 «(х 2794, у «1х + ~ х — — х' у ~ «)у = О. 1 .3 / 2795. Зх«)у = у(1+ хв1п х — Зу 81п х) «)х. 2796. Даны три частных решения у, у,, у2 линейного уравнения. Доказать, что выражение — сохраняет постоянное значение при . У2-У у — у~ любом х. Каков геометрический смысл этого результата'« 2797. Найти кривые, для которых площадь треугольника, обра-:: зованного осью ОХ, касательной и радиусом-вектором точки касания, постоянна. 2798. Нанти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый: каса~~~~~ой на оси абсцисс, ра~~~ ~~адра~у ординаты ~~~~~ каса- .
ния. 2799. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый . касательной на оси ординат, равен поднормали. 28ОО. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты точки касания. 2801. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной равен расстоянию точки пересечения этой касательной с осью О 2. от точки М(О, а). $ 6. Уравнения в полных диФференциалах.
Интегрирующий множитель Г,Уравпснкя в полных дифференциалах. Еслидлядиф-: Ференц иального уравнения Р(х, у)«1Х ~ Щх, у)«)у= О, (ц выполнено тождество — =- —, то уравнение (1) может быть записано в виде ., дР д9 ду дх «1«,«(х, у) = О и называется уравнеииел«, в волны«х дифференциалах. Общий интеграл уравнения (1) ссть У(х, у) = С. Функция (.2(х, у) определяется способом, указанным в гл. У'1, $8, или по формуле х «« «.7 = Р(х, у) «2Х+ Щх„, у) Лу (см. гл. Л1, 59). П р и м с р 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (Зх + бху ) «)х + (бх у + 4у') «)у = О.
Р е ш с к и с. ЭтΠ— уравнение в полных дифференциалах, так как д(ЗХ2+ бху ) д(бх у+ 4у ) — = 12ху и, следовательно, уравнение имеет вид ду дх «Е'' = О. Здесь (.« ' (Зх + бху ) «)х + «в(у) = х ~ 3х~у~ + «««(у). Диффсрспцируя «-«по у, найдем — = бх у + «Р'(у) - бх у + 4у (по условию); д««2 2 3 дх отсюда «р'(у) - 4у и «р(у) = у + С . Окончательно получим 1У(х, у) = х + 2 2 4 3 2 2 4 «- Зх у + у - со, следовательно, х' «Зх у + у = С есть искомый общий интсграл данного уравнения.
2', И н т е г р и р у ю щ и Й и н О ж и т е л ь, Если левая часть уравнения (1) нс является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы копти, то существует функция 1« = )2(х, у) «'ии«22егрирующий миожишелы,«такая, что а(Р «)х + Я йу) - «1У. (2) Отсюда получаем, что функция р удовлетворяет уравнению — ()'Р) = =(М). д д ду дх Интсгрирующий множитель р. легко Находится в двух случаях; 1 «'дР д® 1) — — — — '~ = Г(х), тогда)« = )2(х); Ю Я~ дх~ 1 дР дЯ) 2) — ~ — — — ) = Р (у), тогда )2 = р(у). Р «,ду дх« Пример 2. Решить уравнение 2ху+х у+"- «)х+ (х + у ) «(у О, 3 Решение.
Здесь Р = 2ху+ ху- 2-, 9 ~ х + у и 2 1 «'дР д4)'« д~ду д. ~ = 1, следовательно, )« = р(х), х'+ у' '1'ак как — - — нли )2 — = Я )« —." „ТО . д(««Р) д()«Ч) дР «1ц д«„-2 ду дх ду ««х «)х «1««1 «'дР с~~'~ — — — — ««(х = «(х и Ъ ц - х„п - с . 1««;) ~~ду дх,« Глава 1Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $8.
Уравнения Лагранжа и Клеро 2'. Решение д и Фферен ци альп ого уравнен и я методом в в е д е н и я и а р а м е т р а, Если дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид х - Ч(у у ) то переменные у и х могут быть определены из системы уравнений 2 + ~.' х -(р(у р) 1 д дфоп р ду др»»з где р - у' играет роль параметра. Аналогично, если у = у(х, у'), то х и у определяются из системы уравнений р= х+»-Р, у= у(х,р).
д д Й ду др д» П ри и ер 2. Найти общий и особый интегралы уравнения 2 »2» Х у=у -ху + 2' Р е ш е н и е. Делая подстановку у' = р, перепишем уравнение в виде 2 Х 2 у р — хр+ 2 Дифференцируя по х, считая р функцией от х, имеем р=2р — -р — х- +х, др оп дх ох или — (2р — х) = (2р — х), или — = 1, Интегрируя, получим р = х + С. с(х пх Подставляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение: г х 2 2 у = (х + С) — х(х + С) + — или у = — + Сх + С, х 2 2 2 Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое реше- 2 2 ние: у = х . (Проверка показывает, что у = х есть решение данного урав- .
4 нения.) Если приравнять нулю мно:китель 2р - х, на который было произведено!» сокращение„то получим р = — и, подставив р в данное уравнение»получим-:-.; 2 у - — — то же самое особое решение. х Найти общие и особые интегралы уравнений (н №№ 2812, 2813: построить поле интегральных кривых): 2812. у" — —" у' + 1 = О. 2814. уу' — (ху + 1)у' + х = О, х 2813. 4у' — 9х = О.
2815. уу' — 2ху' + у =- О. »2 2 2816. Найти интегральные кривые уравнения у + у = 1, проходящие через точку М О; -~. , 1~ Вводя параметр у' р, решить уравнения: 2817, х в1п у'+ )и у', 2820. 4у = х + у', 2»2 2818.у = у' е". 2821, е" = "' + ~-. 2у' 2819, у = уд + 21п у'. 1'. Уравнен и е Лагран жа. Уравнение вида у - х<р(р) + в»(р), (1) где р - у', называется уравнением Лагранжа.
При помощи дифференциро- вания, учитывая, что пу = р пх, уравнение (1) сводится к линейному отно- сительно х: р 6» = Ф(р) йх + ~х~р'(р) + ~у'(р)1 4. (2) Если р = у(р), то из уравнений (Ц и (2) получаем общее решение в парамет- рическом виде: х = Сйр) + Фр), у " 1С)'(р) + Фр)1 Ир) + у(р) где р — параметр, ~(р), у(р) — некоторые известные функции, Кроме того, может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом. 2'.
У р а и н е н и е К л е р о. Если и уравнении (1) <р(р) =- р, то получаем уравнение Клеро у = хр + Ч(р). Общее решение его имеет вид у Сх+ у(С) (семейство нрямых). Кроме того, существует особое решение (огибающая), получающееся в результате иск- лючения параметра р из системы уравнений х = — ~у'(р), у - рх + Ч(р) При мер. Решить уравнение у = 2у'х+ —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
