Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 36
Текст из файла (страница 36)
у' х + у, у(1) = 1; найти у(2) (Ь = 0,1). 274О. у' = - "—, у(О) = 2; й у(1) ()1 = О,Ц. 1+х' 2741. у' = у — — ", у(О) = 1; найти у(1) (Ь = О,2). у Ф 3. ДиФФеренциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории 1'. У р а в н е н и я 1-г о п о р я д к а с р а з д е л я ю щ и и и с я и е р е-; м с и и ы м и. Уравнением с разделлкицимися переменными называется:: уравнение 1-1"о порядка Вида у' = Г(х) д(у) (1) Разделив обе части уравнения (Ц иа фу) и умножив на дх, будем иметь:.
— = ~(х) дх. Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (1) ': ду у(у) в виде Аналогично, разделив обе часги уравнения (1') на Х1(х)У(у) и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (1') в виде Если для некоторого значения у = у мы имеем у(у ) = О, то функция у у является также, как непосредственно легко убедиться, решением уравпсиия (1). Аналогично, прямые х = а и у = Ь будут интегральными кривыми уравнения (1'), если а и Ь являются соответственно корнями уравнений;:; Х1(х) = О и 1'(у) = О, на левые части которых приходилось делить исходное ', уравнение.
! П р и м е р 1, Решить уравнение г (3) ": х В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию: у(1) = 2, З 3. Урависвви ) .го порядка с раэделян~и1имисв переме1п1ыми 325 Р е ш е н и е. Уравнение (3» можно записать в виде Й~ ах х Отсюда, разделяя переменные, будем иметь сЬ~ дх у х где произвольная постоянная 1п С, взята в логарифмическом виде.
После иотенцироваиня получим общее решение (4) где С = +С,. При делении на у мы могли потерять решение у = О, но последнее содержится в формуле (4) ири С = О. Используя заданное начальное условие, получим С = 2, и, следовательно, 11скомое частное реп1ение есть 2',Некоторые диФФеренциальные уравнения, приБодящисся к уравнениям с разделяющимися перемен» и ы и и. Дифференциальные уравнения вида у' -,1(ах + Ьу + с) (Ь ~ О) приводятся к уравнениям Вида (1) при ВОмОщи замены и = ах + Ьу + с~ Где и — новая искомая фуикция. 3', О р т о г о н а л ь и ы е т р а е к т о р и и — кривые, пересекающие линии дапиого семейства Ф(х, у, а) = 0 (а — параметр) под прямым углом.
Если г(х, у, у') = 0 есть дифференциальное уравнение семейства, то - — дифференциальное уравнение ортогональных траскгорий. П р и м е р 2. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов х )-2у =а, (б) Р с ш е н и с. Диффсре1щируя обе части уравнения (5), находим дифференциальное уравнение семейства х+ 2уу'= О.
)' Отсюда, заменяя у' на — —,, получим диффереи- 1 у ц11альиое уравнение ортогопальных траекторий х —, Оилиу'= —. 2у г 2у у Х Иигегрируя, будем иметь у .= Сх (семейство пара- бол) (рис. 10б). Глава ) Х, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬПЫВ УРАВНЕНИЯ З 4, ОанОродныв уравнения 1-го порядка 4'. С О с т а В л с п и е д и ф ф с р с н ц и а л ь н ы х у р а н н е н и й, При составлении дифференциального уравнения в геометрических задачах часто может быть использонйн геомстрический смысл производной кйк тйнгенсй угла, образованного касательной и кривой с положительным направлением Оси ОХ; это ПОЗВОляет ВО многих случаях сразу установить соотпоп1ения между ординйтой у искомой кривой, ес абсциссой х и у', т.
е. получить дифференциальноее уравнение, В других случаях (см. №№ 2783, 2890, 2895) используется геометрический смысл определенного интеграла как плоЕцади криВОлинейной трапеции или длины ду1'и. При этом пе11осредстВенпо из услОВия задачи ПОлучйстся 1$ростейшее иптегрзльное урйВпспие (поскольку искомая функция содержится под знаком интеграла), Однако путем диффе« ренцирования обеих его частей можно легко перейти к дифференциальному урйве1еи ию. П р и мер 3. Найти кривую, проходящую Еерсз точку (3; 2), для которой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам В точке касания.
Р е пт е н и е. Пусть М(х, у) есть середина касательной АВ, по условию являю1цаяся точкой касания (точки А и  — это точки пересечения касательной с осями ОУ и Ох). В силу условия ОА 2у и Ов = 2х, Угловой коэФФициент касательной к кривой В точке М(х, у) рйвсп 11 у ОА Ы дх ОВ х ')то и есть ДифференцийльиОЕ уравнение искомОй кривой, ПрсобраЗОВЙВ, получим 11 х Ее у — — =0 х у и, следовательно, 1пх+ 1П д =1П С или ху = С.
Используя начальное условие, Определим С = 3 2 =- б. итак„искомая кривая есть гипербола ху = 6. Решить дифференциальные уравнения: 2742, (,а х в1п у 1)х + соз х с$~ у 11у = О. 2 2 2743. ху' — у = у . 2744. хуу' = 1 — х . 2745. у — ху' = а(1 + х у'). 2746. Зе" (и у дх + (1 — е") зес у 11у = О.
2747. у'1,д х = у, Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 2748. (1 + е ) у у' = е; у = 1 при х = О. 2749. (ху + х) с)х + (х у — у) ду = О„у = 1 при х = О. 2 2 2750. у'зЕП х = у1П у; у = 1 при х = — . 2 Реенить дифференциальные уравнения, использовав замену пере- менных: 2751. у' = (х + у), 2752. у' = (8х + 2у + 1), 2753, (2х + Зу — 1) йх + (4х + бу — 5) ду О.
2754. (2х — у) е(х + (4х — 2у + 3) с)у = О. В №№ 2755 и 2756 перейти к полярным координатам: 2 2 2 2 2г~55 г х + у — х 2756. (х + у ) 11х — худ)у = О. у 2757". Найти кривую, у которой отрезок касательной равен расстоянию точки касания От начала координат. 2758, Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке кривой, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке. 2759. Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную длину а. 2760.Найти кривую, у которой подкасательная вдвое более абсциссы точки касания. 2761". Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат, этой кривой и Ординатой любой ее точки, равна 3/4 абсциссы этой точки. 2762. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с Осью О1', 2763.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку (2; О), если Отрезок касательной к кривой между точкой касания и Осью ОУ имеет постоянную длину 2. Найти ортогональньЕе траектории данных семейств кривых (ив параметр), построить семейства и их ортогональные траектории. 2764.х +у =а. 2, 2 2 2766. ху = а. 2765. у = ах. 2767.(х-а) +у =а ° ь. 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка 1'. О д н О р О д н ы е у р а В н е н и я, Дифференциальное уравнение Р(х, у) е)х + 9(х, у) е)у = 0 (1) 11язывйстся Однородимз1, ссли Р(х, у) и 9(х, у) — Однородные функции Оди11зкОВО1'О измерения.
Ъ рйппс1ПЕс (1) мОжст быть приведено к Виду с Ч1 .х,,' Глава 1Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $ 5, Лннайныа уравнения 1-го порядка. Уравнаннв Бернулли и при пОмОщи пОдстннОвки у хи, где и — НОВзя неизвестная функция, преобразуется В уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применять пОдстановку х = уи.
П р и м е р 1, Найти общее решение уравнения у'=е"~ +и х и Р е ш е н и е. Палагаем д = их; тогда и + хи' = е + и или дх е Йи= х Интегрируя, получим и = -1п 1п —, Откуда С х' у - — Х1п 1п —. С 2", У р н в н е н и я, п р и в О д я щ и е с я к о д н О р О д н ы и. Если ~ О, то, полагая в уравнении (2) х и + а, у - и + р„где постоянные а и 13 Определяются из системы уравнений а1а + Ь1р + с1 0 аза + Ьзр + с2 0 получим однородное дифференциальное уравнение Относительно переменных и и У Если О О~ то1 полнгзя в уравнении (2) О1Х + Ь1у ~ и1 получим уравнение с разделяющимися переменными.
Проинтегрировать дифференциальные уравнения: 2768. у' '~ — 1. 2769. у' = -"— 'У. 2770. «х — у)уйх — х йу = О, 2771. Для уравнения «х + у ) йх — 2ху пу О найти семейство интегральных кривых, а также выделить кривые, проходящие со-: 1 ответственно через точки «4; О) и «1; 1). 2772. у дх + «2./ху у— х) ду = О. «773. «Йи — ф д« /«+ я ««. 2774. (4х + Зху + у ) йх + (4у + Зху + х ) ду = О. 2775.
Найти частное решение уравнения (х — Зу ) ах + 2ху ду = О из условия„что у = 1 при х 2. Решить уравнения: 2776. (2х — у + 4) с1у + «х — 2у + 5) дх =- О, аттт ~~- Э « — 3 1+ х+у 2ттв 2х+4у+ 3 2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку «1; О) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси 0У, равен полярному радиусу точки касания. 2780"'"". Какую Форму следует придать зеркалу прожектора, чтобы лучи от точечного источника света отразились параллельным пучком7 2781. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна среднему арифметическому координат точки касания.
2782. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат. 2783'. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключенная между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна нз которых постоянная, а другая — переменная, равна отношению куба переменной ординаты к соответствующей абсциссе.
2784, Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемой любой касательной, равен абсциссе точки касания. $5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли 1'. л и н е й н ы е у р а в н е н и я. Дифференциальное уравнение вида у' + Р(х)у = Щх) (1) ОтносительнО у и у' называется линейным. Если функция Щх) н О, то уравнение (Ц принимает вид у'+ Р(х)у = О (2) и называется однсродным линейным диФФсренциальным уравнением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
