Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(3) 1, Решен не. Полагаем у" р, тогда у = 2рх+ — ' дифференцируя и ва- р меняя Йу на р Йх» получим р Йх = 2р Й» + 2» мар†Йр р х = — (1пР+ С). 1 Р х = — (1пР+С) 1 Р' 1У = 2РХ+ —, Р и, следовательно, 2822. у = — х у'+ —, 2323. у = р' '." Б — у' 2824. у = (1 + у')х + у' . 2825". у = — 1у'(2х + у'). 2 уравнений Клеро и построить Глава 1Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Решив это линейное уравнение, будем иметь Следовательно, общий интеграл будет Для нахождения особого интеграла по общему правилу составляем сис- тему: у = +ЗЯХ. Подставляя у в уравнение (3), убеждаемся, что полученная функция не является решением и, следовательно, уравнение (3) не имеет особого интегрэла.
Найти общий и особый интегралы поле интегральных кривых: 2826.у = ху'+ у' . 28 28. у = ху'+ й+(у')". 2827. у '- ху' + у', 2829. у = ху'+ —,. у 2830. Найти кривую, для которой площадь треугольника, образованного касательной в любой точке и осями координат, постоянна. 2831. Найти кривую, если расстояние данной точки до любой касательной к атой кривой постоянно, 2832.
Найти кривую, для которой отрезок любой ее касательной, заключенный между осами координат, имеет постоянную длину 1. $9, Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порялка $ 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка 2833. Определить типы диФФеренциальных уравнений и указать методы их решения: а) (х + у)у' = хагс1Е "; б) (х — у)у' = д; в)у' = 2ху+ х ", е г)у' = 2ху+ у; д) ху'+ у ~ в111 д; е) (у — ху') = у'; ж) у = хе"; з)(у' — 2ху) бу = х; и)у' = (х + у); к) хсоа д'+ ув1п у' = 1; л)(х — ху)д' = у; и) (х + 2ху' ) дх+(у + Зх у ) Йу= 01 н) (х — Зху) 11х + (х + 3) 4у = О; 3 2 о)(ху + 1п х) с1х = у г1у. Реп1ить уравнения: 2834, а) ~ х — у сов " '~ ох + х соа " ду = О; б) х 1п "- ду — у ох = О. х1 х у 2 з' г 2835.
х дх = ~ "— ' — у ) йу. 2837. ху' + у = ху 1п х. у [ 2836. (2ху — у) дх + х йу = О. 2838. у = ху' + у')и у'. 2839. у = ху'+ ./ — ау'. 2840. х (у + 1) дх + (х' — 1)(у — 1) дд = О. 2841. (1 + у )(е йх — еудд) — (1+ у) ду = О.
2842. у' — у х = 1. 2845. (1 — х )у' + ху = а. 2843. уе" = (уз + 2хеу)у'. 2846. ху ' — ~ — ' х+1 2844. у' + усов х = з1п х соа х. 2847. у'(х сов д + а в1п 2у) = 1. 2848 (х Ч вЂ” х" + у — 1) дх + (хд + 2х — Зу — 6) Йу =- О, 2849. у' = 1+~ — 1 ° 2854, уу' + д = соа х. 2х / 2850.ху йх = (х д + 2)~1у 2855 х пу + у11х = у 2851. у' = 2856, у'(х + в1п у) = 1. х Фу4 1 2852 2,4Х + " ду — у дх = 0.2857, у-"- = -Р + Р с у ' х ду 2853, у' = а + М ~ ° 2858, х' дх — (х + у ) 3 4 3 Глава 1Х, ДИФФКРИЩИАЛ ЬНЫЕ УРАВНКНИЯ 5 В, Смешавныс диФЧ»яре»п»иальныс уравнения 1.го порядка » 2х -с)х.—" 2са, или -дх = — — — а.
100+ г 28б9 х у + Зхуу'+ 2у = О 2864, (2е +у ) Йу — уе" Йх= О. 2аао хбх~уйу хну-удх»» уаау 2»' у~2 2861. е" йх + (хе" — 2у) йу = О. 2866. Ху(ху2 + 1) йу — г)х = О. 2862. у = 2лу'-'; I» +у' . 2867. а(ху' » уу» ууу'. 2863. у' = "— (1 + 1п у — 1п х). 2868. х ду — у йх = у г)х. 2869. ~х — 1» Оу ' (х' .» уху /х — »»йх = О. 2870. ф х -" — у = а, г)х .2871. а +х йу+(х+у- а +х )йх=-О. 2 2 2 2 2872. хуу' — (Х2 + у')у' + Ху = О. 2873. у = ху'+ —, 2 2 2 у 2874. (Зх ь 2ху — у ) йх + (х — 2ху — Зу ) 6у = О. 2 2875.
2уф — ~-' = Зя + 4у . ду Найти решения уравнений при указанных начальных условиях: 2876. у' -"= ~+; у = О при х = 1. 2877. е' "у' = 1; у = 1 при х = 1. 2878. у'С1д х + у = 2; у = 2 при х = О. 2879. е"(у' + 1) = 1; у = О при х = О. 2880. у + у = сов х; у =- — при х = О. » 1 2 2881. у' — 2у = -х; у = — при х =- О. 2882. у'+ у = 2Х; у = -1 при х = О. 2883. ху' = у; а) у = 1 при х =- 1; б) у = О при х = О. 2884.
2ху" = у; а) у = 1 при х = 1; б) у = О при = О, 2885. 2хуу' + х — у = О; а) у = О при х = 0; б) у = 1 при х = О; в) у = О при х —.— 1. 2886. Найти кривую, проходящую через точку (О; 1), у которой подкасательная равна сумме координат точки касания. 2887. найти кривую, знйя, что сумма ОтрезкоВ, Отсекаемых ка- сательнОЙ к ней на Осях координат, постоянна и рйВна 2а.
2888. Сумма длин нормали и поднормали равна единице. Найти уравнение кривой, если известно, что кривая проходит через начало координат. 2889 . Нййти кривую, у которой угол, Обрйзовйнный кйсйтельнОЙ и радиусом-вектором точки касания, постоянен, 2890. Найти кривую, зная, что площадь, заключенная между осями координйт, этой кривой и Ординйтой лк»бой ~о~ки нй ней, равна Кубу ЭТОЙ Ордииаты.
2891. Найти кривую, зная, что площадь сектора, ограниченного ПОлярной ОСЬЮ, Этой КРИВОЙ И поляриым рйднуСОМ ЛЮбОЙ ЕЕ ТОчкн„ пропОрциОнальна кубу зтогО радиуса. 2892. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ОХ, равен длине этой касательной. 2893. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключен- 2 ный между осями координат, делится пополам парйболои у = 2х. 2894. Найти кривую, у которой нормаль В любой ее точке равна расстоянию этой Точки от нйчйлй координйтй. 2895". Площадь фигуры, ограниченной кривой, осями координат и ординатой какой-либо точки кривой, равна длине соочветствующей дуги кривой.
Найти уравнение этОЙ кривой» если изВестно, чтО онй проходит через точку (О; 1). 2896. Найти кривую, у которой площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиусом-Вектором точки ка- 2 сания» постояннй и рйвпй а 2897. Найти кривую, если известно, что середина отрезка„отсекаемого на оси ОУ касательной н нормалью к кривой, есть постоянная точка (а; О). При составлении дифферсвциау»»,ио» о уравнения 1-го порядка, асобснпо в Физических задачах, чало бывает целесообразно применять так назь»вземый.иелгод двффереиц»уаяое, заключающийся и том, что приближенные сс. отношения между бесконечно малыми приращениями искомых величин, справедливые с точностью до бесконечно малых высшего порядка, заменяются соответствующими соотношениями мс"кду их дифферепцизлами, что не отражается па результате. 3 а д а ч а.
В резервуаре находится 100 л водного раствора, содержащего 10 кг соли. Водэ вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 мин, и смесь вь|текает из него сс скоростью 2 л в 1 мин, причем концентрация»»оддерживается равномерной пос1ледством перемешивйния, Сколько соли будет содержать резервуар пс истечении 1 ч? 1' е ьч е н и с, Концов» рацией с данного вещества пазь»вается количество его, заключенное в единице объема, Если концентрация равномерна, то количество вещества в сбьеме 1'равно с'~', Пусть количество соли, паходя»несся в резервуаре по истечении времени 1 (в минутах), есть х, Количество смеси в резервуаре в зто'г момент х будет (100 ~ 1) л и, следовательно, концентрация с = — кг,'л. 100- ~ В течение»»рсмежуткя времени Ф из резервуара вытекает 2д~ литров смеси, содержащих соли 2с д1 кг.
Псзтому изменение Йх количества соли в ре. зервуаре характеризуется соотношением Глава 1Х, ДИФЦ>ЕРЕБЦИАЛЬНЫЕ У13АВНКНИЯ Это и есть искомое дифференциальное уравнение, Разделяя переменные и интегрируя, получим 1п х = — 2 1п (100 + 1) + 1н С Постоянное С определится из условия, что при 1 = О х = 10, т, е, С = 100000. По истечении часа в резервуаре будет содержаться соли х = кг = 3,9 кг. 1ООООО 160' '%( 2898 .
Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около:=',. вертикальной оси, свободная поверхность имеет фориу параболоида ','.', вращения. Й 2899:. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если из- .~: вестно, что это давление равно 10 Па на уровне моря и 9,2 10 Па '~' на высоте 500 и. Ъ; 2900-. Согласно закону Гука, эластичный шнур длины 1 под дей-;.Г ствием растягивающей силы Г получает приращение длины ИР (Ь = сопа$). На сколько увеличится длина шнура под действием его веса И', если подвесить шнур за один конец? (Начальная длина шнура 1.) 2901. Решить ту же задачу при условии„что к концу шнура подвешен груз Р.
11ри решении задач №Ж 2902 — 2903 использовать закон Ньюто- на, по которому скорость охлаждения тела пропорциональна раз- ности температур тела и окружающей его среды. 2902, Найти зависимость температуры Т от времени 1, если тело, нагретое до температуры Т„, внесено в помещение, температура ко- торого постоянна и равна а. 2903, Через сколько времени температура тела, нагретого до 100'С, понизится до 30'С, если температура помещения равна 20 С и за первые 20 мин тело охладилось до 60'С? 2904.
Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти за- висимость этой у1ловой скорости от времени, если известно„что диск, начавший вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении-:,'; 1 1 мин вращается со скоростью 60 об/мин, 2905'"". Скорость распада радия пропорциональна наличному ко- личеству его. Известно, что по истечении 1600 лет остается полонина первоначального запаса радия. Найти, какой процент радия окажет- ся распавшимся по истечении 100 лет. Я 10. Лифференниальныа уравнения выеших порядков 2906"', Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии Ь по вертикали От свободной поверхности Определяется формулой и = СЛдд, где с "- 0,6 — безразмерный коэффициент, определяемый экспериментально, и д — ускорение свободного падения.
В какое время вода, заполняющая полусферический котел диаметра 2 и, вытечет из него через круглое отверстие на дне радиуса 0,1 м? 2907'. Интенсивность света, проходящего через тонкий слой воды, уменьшается п)юпорциОнально интенсивности падающего света и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м интенсивность света вдвое уменьшается, то какова будет интенсивность на глубине 30 и? 2908'"'. Сила сопротивления воздуха при падении тела с парашютом пропорциональна квадрату скорости движения.
Найти предельную скорость падения тела. 2909 '. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет 1/3 кг соли в 1 мин, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 ч. 2910'". Электродвижущая сила е в цепи с током 1, имеющей соп1ютивление В и индукгивность Х„складываегся из 11адения напряжения И и электродвижущей силы самоиндукции Х.
†. Определить 61 й1' ток 1 в момент времени Г, если е = К в1п юг (Е и о) — постоянные) и 1=0при 1 =О. 5 10. Дифференциальные уравнения высших порядков 1'. С л у ч а й н е и О с р е д с т в е н н о г о и и т е г р и р о в а н и я. Если у =Дх), У " ''* ~1 ) 1 2 ''' в' 2'. Сл уча и и он и же н ия порядка. 1) Бели дифференциальное уравнение явно не содержит у, например г1х, У Д )'=О, тсч НОЛаГаЯ У' - Р, ПОЛУЧИМ УРаВНЕНИЕ ПОРНДКа На ЕДИНИЦУ НИЖЕ Г(х, р, р') = о. $10. Дифференциальные уравнения высших сорндкон Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем ар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
