Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 41
Текст из файла (страница 41)
П р и м е р. Ре»нить систему :; ) + 2у + 4г 1 + 4х, 1 Йх Р е ш е н и е. Дифференцнруем первое уравнение по х; Из первого урав»»с»»ия определяется г = — ~1+ 4х - — 2»»1 и тогда из Йх Йя 3 3, 1 3 1й/ (Ы второго будем иметь — = — х» х ' — — д - — ', Подставляя 3»» — в Йх 2 4 2 4Йх Йх ( ау 3079. ~, 1 Йх Й~ 3080.
~ Й' Йх с»х Йс 3082, ',' Йц Й~ Ф !,Й 5 15. Свс»емь» дифферен»»иальных уравнений — ~ — 4х — у+ 36~ = О, Й Й Йх 3086, — + 2х — д+ 2е'= О. Йх Йц Д' 3087 ~ Йх с»з 1 — — Д. Йх 2 $ 16. Интегрирование уравнений «)2 — У2+2У+ 42 е ° «1Х2 — — у — 32 = — х. «3 х «1Х 3090. Вообще, Следовательно, у - ~~~~ с„«х — хо~ .
а=о у--.с 1+ —" + "' + ... + о~ +с, х+ — "+ " +...+ 3.4 3 4.6 7 + ... + 2 3 ° 5 6...(ЗА — 1)ЗА 21«+ 1 3 4 б ° 7...3й(ЗФ+ 1) у' = Дх, у), где у(х,) уо, в виде ряда 1'сйлора «~1 „ И<и) - ~~>~, (х — х,3, гас У=УС+ Уох+ — х + — х + Уо 2 Уо 2 2$ 3! Глава 1Х. ДИФФЕРКНЦИАЛЬНЬ1Е УРАВНЕНИЯ Э)88 . а) х +Зху 2У 2у Г ) «1Х дД «12, х-у Х+у 8 в) — — = —, выделить интегральную кривую, «1х йм ~32 У вЂ” 2 2 — Х Х-У проходящую через точку (1; 1; — 2). 3091 "+. Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью оо под углом е к горизонту.
Найти уравнение движения снаряда, принимая сопротивление воздуха пропорциональным скорости. 3092+. Материальная точка М притягивается центром О с силой, пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на расстоянии а от центра с начальной скоростью ио, перпендикулярной отрезку ОА. Найти траекторию точки М.
$16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов Если интегрирование дифференциального ураинения при помощи элементарных функций не удается„то его решение в некоторых случаях можно искать и виде степенного ряда Неопределенные коэффициенть1 с„(а = О, 1. 2, ...) находятся путем подстановки ряда (1) в уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях бинома х — хо в левой и правой частях полученного равенства. Можно также искать решение уравнения 'де У(хо) Уо~ у (хо) = Лхо. Уо) и дальнейшие ЩФиэводные у " (х ) (и = 2, 3...) 11оследоиательно находятся 1«ри помОЩИ дифференцирОвания уравнекиЯ (2) И ПОДСТННОВКИ ВМЕСТО Х ЧИСЛЯ Хо.
При мер 1. Найти реп1еяие уравнения у" — ху=О, сслиу=уо,у'~уоприх О. Решен и е, Полагаем у-с +сх+...+сх" +..., отсюда, дифференцируя, получаем у" 2 ° 1с + 3 2с х+ ... + Я(а — 1)с„х" + (и+ 1)ис„1х" + + (л + 2)(п+ 1)с„+ х +,... Подставляя у и у'" в данное уравнение, приходим к тождеству ~2 1с + 3. 2сэх+ ... + л(п — 1)с„х" + (л+ 1)пс„х" + + (я + 2)(я + 1)с„+ х" + ...1 — х~с + с х + ... + с„х + ...1 и О, Собирая и левой части полученного равенства члены с одинаковыми степенями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь; с=О;3 2с — с-О с —;4.3с — С=О с со 2 ' 2 0 Р 3 3,21 4 1 Ф 4 4.31 о с 1 с 2.3 б'6".(Зй — 1)Зй 2""1 3 4.6 7„.3А(31+1) сэа + 2 О ()1 1ю 2е З~ ° ).
гдесо=уо и с,-у'. Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд (4) сходится при -со < Х < ОО, П ример 2. Найти решение уравнения у' = х + у; уо у(О) = 1. Решение. Полагаем 5 17. Задачи ва метод Фурье 363 Глава 1Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕН ИЯ Имеем у, = 1, у'„= О + 1 = 1. Дифференцируя обе части уравнения у' х -«у, последовательно находим у" 1 + у'„у" - 1 + 1 = 2, у"' = у", у"" =- 2 и т. д, Следовательно, Для разбираемого примера найденное решение можно записать в конечном виде у = 1 + х «2(е" — 1 — х) илн у = 2е" - 1 — х. Аналогично следует поступать в случае дифференциальных уравнений высших порядков.
Исследование сходнмости полученных рядов, вообще говоря, сложно и при решении задач этого параграфа обязательным не предполагается. Найти с помо1цьео степенных рядов решения уравнений при указанных начальных условиях. В 3ФМ 3097, 3098, 3099, 3101 исследовать сходимость полученных решений. 3093.
у' = у + х; д = -2 прн х = О. 3094, у' = 2д + х — 1; у = у, при х = 1. 3095. у' = д + х; у = — при х = О, 2 э, 1 2 3096,у =х — у;у=Онрнх=О. у 2 2 3097. (1 — х)у' - 1 + х — у; у = О при х = О. 3098+. ху" + у = О; у = О; у' = 1 при х = О. 3099.
д" + ху = О; у = 1; у' = О при х = О. 3100". у" + — у' + у = О;. у = 1, у' = О при х = О. Х 3101+. у" + -у' + у .= О; у = 1, у' = 0 при х = О. Ф 17. Задачи на метод Фурье Для нахождения решения линейнОго Однородного дифферспциальнОГО УРаВНЕНИЯ В ЧВСтпмх НРОИЗВОДНЫХ ПО МСтОДУ ФУРЬЕ СНаЧаяа ОтЫСКИВаЮт Частные решения этого уравнения спениалы1ого типа, каждое из которых представляет собой произведение Функций, зависящих только от одного аргумента.
В простейшем случае имеется бесконс«пал совокупность таких решений и„(а = 1, 2, ...), линейно независимых в любом коне шом числе между собой и удовлетворяющих заданным грал условиям. Искомое рс«пе- нис и представляется в виде ряда, расположенно1 о но этим частным решениям~ и= С„и„.
л=! Остающиеся неопределенными коэффициенты С„Находятся из иачалькых исловий. 3 ада ч а. Поперечное смещение и и(х, ~) точек струны с абсциссой х в момент времени 1 удовлетворяет уравнению д и зд" и (2) дФ дх з где и - — (Т вЂ” сила натяжения, р — линей- с ная плотность струны), Найти форму струны в момент времени 1, если концы ее х = 0 и х = 1 закреплены и в начальный момент ~ = О струна имела форму параболы и -.
— х(1 — х) (рис. 107) 4а 2 Рис. 107. н точки сс имели скорость, равную пулю. Р с шс и и с. Согласно условию задачи требуется найти решение и = и(х, 1) уравнения (2), удовлстворяющсс грани шым условиям: и(0,1)=О, и(~,~)=О (3) и начальным условиям: и(х, О) - — х(1 — х), и', (х, О) =- О. 46 (4) Ищем нс11улсвыс рсш«н1ня урав11спия (2) специального вида и = Л(х)T(1), Подставив зто выражение в уравнение (2) и разделив переменные, получим Т"(~) Х "(х) а Т(1) 1ак как перемен««ь«с х н 1 являются независимыми, тО тождестВО (5) ВОзможно лишь в том случае, когда общая величина отношения (б) будет по- 2 стоянкой.
Обозначая эту постоянную через — Х, найдем два обыкновенных д«1фферскниалы1ых уравнения: Т "(~) + (а).) 7"(г) = О и Х "(х) + ). Ж(х) = О. Решая эти уравнения, получим У(1) = Асов а~.1 -«ВВЕВ аИ., Х(х) = Ссоз лх + ПВ1п Ах, где А, В, С,,Π— произвюл«.нь«с н«ктоя1«1«ь1с. Из условия (Э) имеем Х(О) = О и Х(1) = О, СЛЕдОВВЕЕЛЬНО, С = О И ВЕП П = О (таК КВК Э НЕ мОжст ОдНОВрСМЕКНО 1 11Л с С быть рав11«1 нулю), Поэтому ). = —, где 11 — целое число. Легко убе.
Е в 17. Задачп нв метод Фурье 222. Искомое решение будет ! 2л~ 2~аш1 сов (3л+ 1)лх в|п (2п+ 1) 33Ь. и 22 = 22 Глава ЕХ, ДИФФЕРИХЦИЛЛЬЕЕЫЕ УРЛВЕЕЕНИЯ литься, что мы не потеряем общности, взяв для й лишь положительные значения (й = 1, 2, 3„...). Каждому значению ).„. соответствует частное решение йал , йал '1 . йлх и = А сов — г.Е В„в1'и — Е .в1п й-,й —, Ф удовлетворяющее граничным условиям (3).
Составим Ряд . йаЛг . ЬаЛЕ ''2, йлх и = , А сов М, 4 +В в(п — ~в1п —, 22 = 1 сумма которого, очевидно, удовлетворяет уравнению (2) и граничным усло- виям (3), Подберем постоянные А„и Вь так, чтобы сумма ряда удовлетворяла на- чальным условияь( (4). Так как ди ~2 йал ~ . йатй йалЕ '! . Ьлх — — 1 — А вЕ — + В„сов — ~ в1п— дг 2 ь=) то, полагая Е = О, получим и2х, О! 1! А в!и — — —,٠— х! йлх 4Ь Ф ди(х О) ч йал .
йлх — В в)п — - =О. ~т в=1 Следовательно, для Определения коэффициентов А„и В надо разложить в 4Ь Ряд Фурье но одним синусам функцию и(х, О) = — х(Š— х) и функцию ди(х, О) дЕ По известным формулам (гл. УШ, з 4, 3') имеем 2г 4Ь .. йлх 3ЯЬ А = — ~ —, х(Š— х) в1п — г(х = —, ~7 * О если й — нечетное, и А~ = О, если й — четное; 'алВ = — ~ О в1п лх дх=О, ВЬ=О. 0 3103"'.
В начальный момент (. = О струна, закрепленная на концах х =- 0 и х = (, имела форму синусоиды и = А з1п —, причем скорости лх точек ее были равны нулю. Найти форму струны В момент времени Ф. 3104"'. В начальный момент 1 = 0 точкам прямолинейной струны 0 < х < 1 сообщена скорость — = 1. Найти форму струны в момент ди дЕ времени 1, если концы ее х = 0 и х = 1 закреплены (см. № 3103). 3105"'.
Струна длиной 1 = 100 см, закрепленная на концах х = 0 и х = Е, в начальный момент оттянута в точке х = 50 см на расстояние Ь = 2 см, а затем отпущена без толчка. Определить форму струны для любого момента Времени 1. 3106:". При продольных колебаниях тонкого однородного прямолинейного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, смещение и = и(х, 1) поперечного сечения стержня с абсциссой х в момент времени г удОВлетВОряет уравнению ди 2ди — =а —, дг дх 2 К где а = — (Š— модуль Юнга, р — плотность стержня).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
