Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Р е ш е н и е. Здесь «(х, у) = х + у — 1, «р(х, у) = х — у' Г„' (хо. уо) = 116 ~' (х„, у ) = 1,1; «р„' (х, у, ) 1,92, «р„' (х,, у„) = -1. Записываем систему, аквивалентную исхолиои: а(х 1у — 1)+Д(х — у)=О, «' а, ~3| 7(х + у . 1)+Ь(х' — у) = О,! г. Ь ~ х = х + «т(х + у — 1) + 13(х' — у), 2 2, 3 у - у + 7(х -«у — 1) + Ь(х — у). Выбираем в качестве подходящих числовых значений е, Д, у, Л решение системы уравнений 1+ 1,6а+ 1,9213= О, 1,1п — р О, 1,6у+ 1,92Ь = О, 1+ 1,17 — Ь = О, т.
е. полагаем а = — О,З, р = -0,3, 7 = — 0,5, Ь = 0,4. Тогда система уравнений | х х — 0,3(х + у 1) — 0,3(х — у), 2 2 3 ,' у = у —. ОД(х + у — 1) + 0,4(х' — у), эквивалентная исходной, имеет вид (7), причем в достйточно мйлой окрест- ности точки (х; у ) условие (8) будет выполнено. Методом проб отделить действительные корни уравнений и с по- мон(ью правила пропорционйльных частеЙ вычислить их с точно- стью до 0,01, 3138. х — х + 1 = О.
3139. х + 0,5х — 1,55 = О. 3140. х — 4х — 1 = О. 2 Исходя из графически найденных начальных приближений, способом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действительные корни уравнений«' 3141, х — 2х — 5 = О. 3143. 2 = 4х. 3142. 2х — 1п х — 4 = О. 3144. 1а х = —. Используя найденные графическим путем начальные приближения, способом итерации вычислить с точностью до 0,01 действительные корни уравнений: 3145.
х — 5х + 0,1 = О. 3146. 4х = сов х. 3147. х — х — 2 = О. о Найти графически начальные приближения и вычислить с точностью до 0,01 действительные корни уравнений и систем: 3148. х — Зх + 1 = О. 3151, х . 1п х — 14 = О. 3149.х — 2х + Зх — 5 = О. 3152.х" + Зх — 0,5 = О. 3150.х + х — 2х — 2 = О. 3153, 4х — 7 а(п х = О. $4. Численное иитегрирование функций ~х — у=О, 3157 х +д — 4=0, у — )ах — 1=0 3154.
х + 2х — 6 = О. с абсолютной погрешностью .Я =: — (Ь вЂ” а)М, Ь4 Л 130 4$ в. интеграла шаг вы- "„' $ (2), О,б 1,О о,о 4,5О 1,бО Глаза Х. ПРИЬЛИЖКННЫЕ Вь1ЧИСЛКНИЯ 3158. Вычислить с точностью до 0,001 наименьший положитель-: ный корень уравнения $д х х.
3159. Вычислить с точностью до 0,0001 корни уравнения х - 1Ь х = 1. '-; 5 4. Численное интегрирование функций 1". Формула трап ец и й. Для приближенного вычисления интег- рала (~(х) — непрерывная па 1а, Ь) функция) делим промежуток интегрирования Ь вЂ” а (а, Ь1 па и равных частей и Выбираем ~иаз Вычислений Ь = —, Пусть и х, =х„+ й (х„= а, х = Ь, ( = О, 1, 2, „.,л) — абсциссы точек деления, у,= Дх,.) — соответствующие значения подынтегральной Функции у = ~(х), 'Гогда по формуле трапеций имеем ь л )'(х) с(х = Ь~' "+ у, 1 уз+ ... + д„ (1) С.' Ф с абсолютной иогрешностью Ь' П„'-' — (Ь вЂ” а) ЛХ,, где М шах ~~"(х)~ при а ~ х < Ь. Для достижения заданной точности е при вычислении числепий Ь определяется из неравенства 2 .
12е Ь 1 (Ь вЂ” а)МТ т. е. Ь должен иметь порядок .~се . Полученное значение Ь округляется в сто-, рону уменьшения твк, чтобы былО целым числОм> и это дает нам число делений л Ъстановив Ь и и по Формуле (1), вычисляем интеграл, беря зиачсиия подынтегральной функции с Одиим или двумя запасными десятичиыми знаками, 2', Формула Си мисопа (параболическая Формула). Если и — четное число, ТО в обозначениях 1' справедлива формула Симпсона л з ~(х) 6х = — ~у + ул) + 4(у + у + .
„+ у„) + 2(у + у + ... + у„з)1 (3) Ь где М шах ~~7 (х)~ при и ~~ х ~ Ь .1у Для ОбеспечениЯ заданнОЙ тОЧИОсти е при Вычислении интеграла пгаг вы" числений Ь определяется из неравенства — (Ь вЂ” а)М < с, Ь4 180 4 (б) т. е, шаг Ь имеет порядок '5. Число Ь округляется в сторону умсньшепия Ь вЂ” а так, чтобы п — было целым четным числом, Ь 3 а и е ч а н и е, Так как определение шага вычислений Ь и связанного с иим числа л из неравенств (2) и (б), вообще говоря, затруднительно, то на практике Ь определяют грубой прикидкой, Затем, получив результат, удваивают число и, т. е.
половинят шаг Ь. Ксли новыЙ результат совпадает с прежним в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисление заканчивается. В противном случае этот прием повторяют и т. д. Для приближенного вычисления абсолютной погрешности Я квадратуриой формулы Симпсона (3) можно также использовать иринцал Рунге, согласно которому где Х и Х вЂ” результаты вычислений по формуле (3), соответственно с шагом Ь и Я' 2Ь.
3160. Под действием переменной силы Г, направленной вдоль оси ОХ, материальная точка переместилась по оси ОХ из положения х = 0 в положение х = 4, Вычислить приближенно работу А силы ~, если дана таблица значений ее модуля Г: Вычисление провести по формуле трапеций и по формуле (:импсона. Главе Х. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ $ 5.
Численное интегрирование обыкновенных уравнений 1 3161. Вычислить приближенно (Зх — 4х) Йх по Формуле тра- 2 О пеций, полагая и = 10. Вычислить этот интеграл точно и найти абсолютную и относительную погрешности результата. Установить верхнюю границу Ь абсолютной погрешности вычисления при и = = 10, используя формулу погрешности, приведенную в тексте.
1 г хдх 3162. Вычислить с точностью до 10 по 4юрмуле Симпсона ~ 1 х О Ф принимая н = 10. Установить верхнкпо границу й абсолютной погрешности, используя формулу погрешности, приведенную в тексте. Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интегралы: 1 2 Я х )ахи . 3169. — О1пх дх.
1 2 2 3164, ~ — "х . 3167. 1 ~ах йх. 3170 1+ хг х х О 1 1 л 1 г 2 «)х 3 68 ~ ыпх 1 3171 ~ совх дх 1+ хз 1+х О О 3172. е Йх. О 3173. Вычислить с точностью до 0,01 несобственный интеграл ОЭ , применив подстановку х = †. Проверить вычисление, при- ' 1 1+ хг 1 6 менив формулу Симпсона к интегралу —,, где Ь выбрано так,,'.
дх 1+ хе в 1 + ОО ;! пх 1 -2 ':! чтобы — < — . 10 1+хг 2 Ь .г., 3174. Плоская фигура, ограниченная полуволной синусоиды " у = в1п х и осью ОХ, вращается вокруг оси ОУ. Вычислить по Формуле Симпсона с точностью до 0,01 объем тела вращения. 3175"". Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01 дли-~ хг ну дуги эллипса — + . 1, расположенную в первой коор- 1 (О, 6222)2 динатной четверти. Ф б.
Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 1". Метод последо ватель н ы х приближений (метод П и к а р а), Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка у' = Йх. у) (1) при начальном условии у = у при х х . Решение у(х) уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному условию, вообще говоря, может быть представлено в виде У(х) = 11п1 У,(х), «2) где последовательные приближения у,(х) определяются по формулам уо(х) уо у,.(х) = у, + ~(х, у,.
(х))4х (1=0,1,2, ...), Если правая часть |(х, у) определена н непрерывна в окрестности В(~х — хо~ < а, ~у — у ~ Ь| и удовлетворяет в этой окрестности условию Лившица ~~(х„у,) — ~(х, у )~ < Х ~у — у ~ (У. — постоянная), то процесс последовательных приближений (2) заведомо сходится в промежутке !х — х ~ < Л, где Й = аппп ~а. — ~ и м = ~пах их, д)~. Ь1 л 'М1 л При Этом пэгрешнОСть х ~а+1 )1 ~у(х) „(х)~ < М~ ~ о~ в (л+ 1)1 если только ~х — хо~ < Л, Метод последовательных приближений «' метод Пикара ) с незначительными видоизменениями применим также к нормальным системам дифференциальных уравнений.
Что касается дифференциальных уравнений высших порядков, то их можно записывать в виде систем дифференциальных ураввсний. 2'. М е т о д Р у н г е — К у т т а. Пусть требуется на данном промежутке хо < х < Х найти решение у(х) задачи (1) с заданной степенью точности е. Х-ХО Для этого сначала выбираем Ь = — «'1иаг вычислекий ), деля отрезок Й з зВВ41чи и 7$ц3йжвФивя у; У;. т+ — (Г,.+4Г,, )+,», ), Ь.— у... = у»+ Лу,, », Х(х,, у,.) и»г,. дх,„у,). Для контроля вычисляем величину »=0,1,2> ..., и 1 в= — ~у -у1 29 Ь(,» = )"(х, у,.)Ь, »и = »' х, + -, у..~ — ~ Ь, »л с 2 ' =у' .+-,у,+ — ~Ь, н»» Ь 3 з — 2 21' ~уь~ ущ~ 15 у Йх> у~ з).
з = Ф(х, у1 з) у - у(х,), у = у(х~), уз = у(х ) Глава Х. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (хо, Х') па я равных частей так, чтобь» Ь < е. Точки деления х, определяются »»О ФОРМУЛЕ х1 - хо 4 »Ь (» = О, 1, 2, "" н)- Соответствующие значения у, = у(х,.) искомой функции по методу Рунге— Кутг»»а последовательно вычисляются по Формулам Ь~ ~ = )'(х,. + Ь, У» + Ьзп )Ь. Метод Рунге — Кутта имеет порядок точности Ь, Грубую оценку погрешности метода Рунге — Кутта па данном промежутке (хо, Х1 можно получить, исхОдя из принципа Рунге: где и = 2т, у и у„, — результаты вычислений по схеме (3) с шагом Ь и шагОм 2Ь.
Метод Рунге — Кутта применим также для решения системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями; у = у, з з при х ~ х, 3'. М е т о д М и л н а. Для решения задачи (1) по методу М»»лна„исходя из начальных даннь1х у у, при х ° х„, находим каким-нибудь способом последовательные значения искомой функции у(х) (например, можно воспользоваться разложением решения у(х) в ряд (гл. 1Х, ~ 17) или найти эти значения методом последовательных приближений, или применить метод Рунге — Кутта и т, и.). При- З о, Численное интегрирование обыкновенных уравнений ближения у.
и у,. для следующих значений у. (» = 4, 5, „»») последовательно находятся по Формулам ч, -у, 4+ — (21, з-~,,+2~,,), 4Ь Если с, не превосходит единицы последнего сохраняемого нами в ответе десятичного разряда 10 для у(х), то в качестве у» берем у и переходим к вычислению следу»ощего значения у,, повторяя процесс. Если же г,. '> 10, то следует начать работу сначала, уменьшив шаг вычислений, Величина начального шага приближенно определяется из неравенства Ь'<10 ", ДлЯ случал решениЯ системы (4) ФОрмулы Милна отдельно пишутсЯ для Функций у(х) и г(х). Порядок вычислений остается прежним. П р и и е р 1. Дано дифференциальное уравнение у' = у — х с начальным условием у(0) = 1,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
