Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ф 3. Вычисление действительных корней уравнений 1'.Установление начальных приближениЙ корней, Приближенное нахождение корней данного уравнения Ях) = О (1) складывается из двух зтапов: 1) ол1деленил корней, т. е. установления про- МЕЖУТКОВ, ПО ВОЗМОЖНОСТИ ТЕСНЫХ, ВНУТРИ КОТОРЫХ НаХОДИТСЯ ОДИП И ТОЛЬ- ко один кОрень уравнения (1); 2) вычисления корней с заданной степенью точ поети.
Ксли функция ~(х) определена и непрерывна на отрезке 1а„Ь1 и )(х) ДЬ) < О, то на отрезке 1а, ь) находится по меньп1ей мере один корень ~ уравнения (1). Этот корень будет заведомо единственным, если )"(х) > О или ~'(х) < О прн а < х < б. Для приближенного иахо1кдепня корня,", рекомендуется на миллиметровой бумаге построить график функции у = )'(х), Абсциссы точек пересе- Глена Х. ПРИВЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛВНИЯ З' 3.
Вычисление действительных корней уравнений чения графика с осью ОЖ и являются корнями уравнения ~(х) О, Иногда удобно данное уравнение заменить равносильным ему уравнением <р(х) = ~у(х). Тогда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения в графиков у = <р(х) и у - у(х), 2'. Прав и ло пропорциональных частей (метод хорд).. Если на отрезке «а, Ь) находится единственный корень с уравнения Дх) = О„, где Функция Дх) непрерывна на отрезке «а, Ь1, то, заменив кривую у Дх) ' хордой, проходящей через точки (а; ~(а)) и (Ь; ДЬ)), получим первое при-,ь ближение корня е, - а — — л-~ — ~ь — а1 (2) .;. Г(Ь) — Яа) Вычисления приближений с„с, ..., вообще говоря„следует производить до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе де- .; ~ сятичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для про-;, межуточных выкладок надлежит брать один-два запасных знака, Это заме- ", ( чание имеет общий характер.
Если функция ~(х) имеет отличную от нуля непрерывную производную, ~'(х) на отрезке «а, Ь1, то для оценки абсолютной погрешности приближенного корня с„можно воспользоватъся Формулой где и = пйп ~Г(х)~. Ь<Х<Ь 3". Способ Ньютона (метод касател ьных). Если Г(х) ~ О,: и )'"(х) ~ О при а < х < Ь, причем Да)ЯЬ) < О, )'(а)~*'(Ь) > О, то последовательные ';: приближения х„(п = О, 1, 2, ...) корня с уравнения ~(х) 0 вычисляются ' по Формулам хе-а, х„-х„,— „" ' (п-1,2,...), Ях„,) е ' е л-1 (3) .; При данных предположениях последовательность х, (л 1, 2, ...) — мо- 4 ~ нотонная и Для оценки погрешностей ~~~~~ ~оспо~~~~ва~~с~ формулой Р где ц - пбп ~ПХ)~, и~х~Ь Для получения второго приближения с Формулу (2) применяем к тому ' из отрезков «а, с,| или «с„Ь1, на концах которого функция ~(х) имеет зна- .: чения противоположных знаков.
Так же строятся и следующие приближе-: ~ ния. Последовательность чисел с„(а - 1, 2, ...) сходится к корню ~, т. е. оп с„= с. ! Практически удобнее пользоваться более простыми формулами хо - а, х» = хд 1 -. оР(хи 1) (и = 1Ф 2, " ). где а —,, дающими примерно ту же точность, что и формулы (3). 1 У'(а) Если ДЬ)Г(Ь) > О„то в формулах (3) и (3') следует положить х„Ь. 4'. С п о с о б и т е р а ц и и, Пусть данное уравнение. приведено к виду х=фх), (4) где ~~р'(х)~ ~ г < 1 (г — постоянная) при а < х < Ь. Исходя из начального значения х,, принадлежащего отрезку «а, Ь1, построим последовательность чисел х,„х, ... по такому закону: Фхе)~ хз фх1), ..., Хв фх, 1)„ Если а < х„4 Ь (и - 1, 2, ...), то предел ~1~ ха является единств енн ы и корнем уравнения (4) на отрезке «а, Ь1, т, е. х суть последовательные приближения корня с.
Оценка абсолютной погрешности и-го приближения х„дается формулой ~х„„- х„~ 1-г Позтому если х„н х„, совпадают с точностью до з, то предельная абсо- лютная погрешность для х„будет —, е 1-г Для преобразования уравнения Дх) = О к виду (4) заменяем последнее эквивалентным уравнением где число А Ф О выбирается так, чтобы функция — «х — )ДХЦ - 1 — е.~'(х) Й дх была малой по абсолютной величине в окрестности точки х„(например, можно положить 1 — Х~'(х ) О). П р и м е р 1.
Привести уравнение 2х — 1п х — 4 О при начальном приближении корня хе = 2,5 к виду (4). Р е ш е н и е. Здесь |(х) = 2х — 1п х — 4; ~'(х) - 2 — †. Пишем эквивалентное 1 уравнение х = х — л(2х — 1п х — 4) и в качестве одного из подходящих значений е берем О,б — число, близкое к корню уравнения 1 — ) ~2 — -~ = О, т. е. х~ ж=2,5 Глава Х.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛ811ИЯ $3, Вычисление действительных корней уравнений Исходное уравнение приводится к виду х - х — 0,5«2х — 1п х — 4) 458 2 — 1п 2,458 = 2,450, 1 2 — 1п 2,450 = 2,448, х = 2 + -1п 2,448 = 2,448. 1 1 Итак, с = 2,45 «процесс далы1сйп1их приближений можно так как третий десятичный знак (тысячные) закрепился). Приведем оценку погрешности, Здесь 1р(х) 2+ — 1п х и 1р'(х) = —. 1, 1 2 2х прекратить, Считая„что все приближения х„лежат па отрезке «2,4; 2,51, получим г = п1ах ~1р (х)~ — = 0,21. У 1 2-2,4 Следовательно, предельная абсолютная погрешность приближения х, в силу привсде11ного Выше замечания есть Л= 0 00' =0,0012=0,001.
1 — О,. 21 1 аким О61ъазом, то~1е1ый корень ~» ураВнсниЯ содержнтсЯ В границах о447 .. с <2449. можно принять с = 2,45, причем все знаки этого приближенного числа будут .-; верными в узком смысле. В ы ч и с л с н и е к о р н я и о с н о с о б у Н ь ю т о н а. Здесь 11(х) = 2х — 1п х — 4, ~'(х) = 2 — —, ~"(х) = — . х' х2 На отрезке 2 < х < 3 имеем: 1'(х) > 0 и»'"(х) = О; 1(2)ДЗ) < О; »(3)»'"(3) - О. Следоватслы1о„условия пункга 3' при х„= 3 Выполнены. Припи маем 1,-1 а= ~2- — '.
-06, 3„1 П ример 2, Вычислить с точностью до 0,01 корень с предыдущего, уравнения, заключенный между 2 и 3. Вычислен ие корня по способу итерации. Используем результат примера 1, полагая х, - 2,5, Вычисление ведем по формулам (5) с Одним запасным знакОм," Вычисления ведем по формулам (3') с двумя запасными знаками; х = 3 — 0,6(2 * 3 — 1п 3 — 4) =- 2,4592; х, = 2,4592 — 0,6(2 . 2,4592 — 1п 2,4592 — 4) = 2,4481", "з х =- 2,4477 — 0„6(2 2,4477 — 1п 2,4477 — 4) = 2,4475, На этом этапе вычисления прекращаем, так как число тысячных больше не изменяется, Даем отвст: корень ~ = 2,45.
Оценку погрешности мы опус- каем, 5". Сл уча й си стем ы д в ух уравнен и й. Пусть требуется вы- числить, с заданной степенью то 1постн, действительные корни системы двух уравнений с двумя неизвестными ~Дх,у) =О, ~ ср(х, д) = О, и пусть имеется начальное приближение одного из решений (с, 1)) этой сис- темы х = хе„Д = Д ~. Это начальное приближение можно получить, например, графически, по- строив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые 1(х, у) = 0 и 1р(х, р) = 0 и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а) С и особ Н ьюто на. Предположим, что функциональный опреде- литель не оораьцается в нуль вблизи начального приближения х = хо, у = пе. "Тогда> по способу Ньютона, первое приближение решения системы (6) имеет вид Ч1 Ус + 0с~ ГДЕ По~ Ре — РСШЕ11ИС СИСтсМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ уравнений 1'(Х„.У„) 1 а,У'„(~,, д,)+ 1)„Г„(х„, уо) =О, 1р("о М "Ф' х(хо М+ р01р (хэ Уо) = О. Второе приближение получается тем же приемом: х +11 Д, — Д +(3 1'де а „р1 — решение системы линейных уравнений ~йх Р1) и1Г.(Х1 У1)+р1Г„(х1 У1)-0 ~ 1р(х1. 91) " п11р „.(Х1~ Д1) + 1111р, (х1, Д1) = 0 А11алоги п1о получаются третье и последующие приближения. б) С и о с о б и т е р а ц н и. К решению системы уравнений (6) можно применить и способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному вн.1у х = г"(х, р), у — — Ф(х, у) и предполагая,что ~Г"„ (х, у)~ + ~Ф"„ (х, у)~ < г < 1; ~Г'„(х, р)~ г ~Ф',(х, у»'., '= г < 1 (8) Глана Х. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ й 3.
Вь«ч««с««оииа дейотвитальвмх корней ураававий в некоторой двумерной окрестности «.У начального приближения (х„, у„), содержащей и точное решение (~„«1) системы, Последовательность приближспий (х„, у„) (и = 1, 2,,), сходящаяся к решению системы (7), или, что то же, к рсшсни|о системы (6), строится по следукацему закону: х =.И~хо, уо), у.« - Ф(хо, уо), х =Р(х,у), Ч =Ф(х,Ч), = Йх,, у.,), у = Ф(х, у ), Ксли все (х,, у„) принадлежат У, то 1пп х„= с, 1пп у„- «1. л" л Для преобразования системы уравнений (6) к виду (7) с соблюдением ус- ловия (8) можно рекомендовать такой прием. Рйссмотрим систему урйвнений ' «тЯх, у) + 13«р(х, у) - О, уДх, у) + Ь«р(х, у) = О, д « ~* ' ', ~О, Перепишем ее так: У,Ь1« аквивалентную системе (6) при условии, что х = х + них, у) + 13«р(х, у) =- Г(х, у), у = у 1 фх, у) + Ь«р(х, у) ~ Ф(х, у).
Выберем параметры н, 13, у, Ь такими, чтобы частные производнь«е функций Г(х, у) и Ф(х, у) были равны или близки к нулю при начальном приближении„т. е, находим а, 13, у, Ь как приближеппыс решения системы уравнений 1+ о«~'„(хо, у„)+ ~3«р,'(хо, у„) = О, с«~„'(х, „у„) + (3«р„'(хо, уо) = О, 7~'„'(хо, уо) + ЬФхо, уо) = О, 1 '« '«7 (хо, У( ) + Ь«Р (хо, Уо) = О. При таком выборе параметров «х, 13, '«, Ь в предположении, что частные производные функций,«(х, у) и «р(х, у) изменяются ие очень быстро в окрестности начального приближения (хо, уо), условие (8) будет соблюдено, При мер 3. Привести систему уравнений при начальном приближении корня х 0,8, уо = О,бб к виду (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
