Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Вычислить с точностью до 0,01 значение решения этого уравнения при значении ар» умента х = 1,5. Вычисления провести по комбинированному методу Рунге — Кутта и Милна. Р е ш е н и е. Выбираем начальный шаг вычислений Ь из условия Ь < 0,01, Избегая сложной записи Ь, остановимся на Ь = 0,25.
Тогда весь участок интегрирования от х = О до х 1,5 разобьем на шесть равных частей„длиной 0,25, с помощью точек х, (» -О, 1, 2, 3, 4, 5„6); соответствующие значения реп»ения у и производной у' обозначим через у,. и у', Первые три значения у (не считая начального) вычислим по методу Рунге — КУтта (по ФОРмУлам (3))) Остальные тРи значениЯ вЂ” У4, Уа, Уз — по методу Милна (по Формулам (5)). Задаче~~~ ув будет, О~в~~дно, ответом ~удач~. Вычисления проведем с двумя запасными знаками по определенной схеме, состоящей из двух последовательных таблиц 1 и 2.
В конце таблицы 2 мы получаем ответ. Вычисление значения у. Здесь 1' 1(х. У) = — х+ у„х = О, у„1,5, Ь =0,25, у,' = 1,5000, Применяя Формулы (5), находим: у„= уе + — (2у', — у' + 2у' ) = 4Ь 3 у(1,5) = 4,74. у, = у(х,) = у(х„+ Ь), у = у(х ) у(х„+ 2Ь), у = у(х ) = у(хо + ЗЬ) ОО =~ Ьу~, = ЬДхе» уе), 1У, = ЕЦ' - Ц(х2, УО), з)1 Ьу Ь»(х1 у1)' д = Ьу' = Ц(хз, уз). Глава Х.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Л = -1(Ь'" + 2Ь1"1 + 2Ь1" + Ь1" ) = уз=6 1 12 З = -'(0,3750 + 2 . 0,3906 + 2 - 0,3926 + 0,4106) = 0,3920; Ь1 ' = )0(хе» Уз)Ь =" ( — 0+ 1,5000)0,25 = 0,3750; (111 1(»~+2 У~» — )8 =1-0,128 + 1.8000 у 0,187810,23 0,3900; Ь(с) Ь~ ' = ~ хо+ —, ус+ — Ь = ( — 0,125 + 1,5000 + 0,1953)0,25 = 0,3926; Ь'," = Дх, + Ь, у, + Ь,'" ) Ь = (-0,25+ 1Д000 + 0,3926)0,25 = 0,4106„ у у + Лу = 1 5000 ~ О 3920 = 1 8920(первые три знака в этом приближенном числе гарантированы). Аналогично вычислязотся значения у и у .
Результаты вычислений приведены в таблице 1. Вычисление у,, уз у по методу Рунге — Вутта. Д(х, у) - - + у; Ь = 0,25 ф 5. Численное интегрирование обь 1кнонен н мх уравнений В ы ч и с л е н и е з н а ч е н и я у . Имеем.' Дх, у) — х + у, Ь = 0,25, х1 = 1; уо = 1,5000, у - 1,8920, у 2,3243, уз = 2,8084.„ у1 = 1,6420, у' = 1,8243, у' 2,0584 - 1,ЬООО + †' ' 12 1,8820 — 1,8288 » 2 2,08311 = З,ЗЬ88; 4-0,25 у' = Дхз, у ) = -1 + 3,3588 = 2,3588; Ь вЂ”. У4 У2 (У4 УЗ У2) = 2,3243 + †' (2,3588 + 4 ' 2,0584 ( 1,8243) = 3,3590; 0,25 ~94 91~ ~3. 3888 — 8. ЗЬОО! 1 10»' < 1 0 001 следовательно, пересмотр шага вычислений не требуется.
Получаем у у4 = 3,3590 (первые три знака в этом приближении гаран'1'и рованы). Аналогично производим вычисления значений у. и у . Результйты вы- 3 ° З' числеиий даны в таблице 2. Таким образом, окончательио имеем 4'. Метод Ада и с а. Для решения задачи (1) по методу Адамса, исходя из начальных Данных у(хе) = ус мы находим каким-нибудь способом следу1ощие три знйчения искомой функции у(х): (эти три значения можно получить, например, с помощьзо разложения у(х) в степенной ряд (гл. 1Х, 3 16), или найти их методом последовательных приближений (и. 1'), или применяя метод Рунге — 1ь",утта (и.
2') ит, и.) П1~»'»ОЩ»»»о чисел хе» х1» х2» хз и уе» у1» у2» уз МЬ1 вы 1исляем вели 1инь1 уа ~~1, Ч2, дз, где в я И»х Ю ,»,» б5 В с в е ~~ Я в Н 3 ь о Сь МЪ »'9 4»3 ~Ъ, Н 1=» сч сэ ° т »4% Глава Х. ПРИБЛИЖЕННЫК ВЫЧИСЛЕЦИЯ 5 5. Численное интегрирование обыкновенных уравнений Составляем, далее, диагональну1О таблицу конечных разностей величины д: Мел1од Адамса заключается в продолжепии диагональной таблицы раз- нос гей с помощью формулы Адамса 1 б 2 3 3 (7) У 2 3 Гак, используя числа дз, Лд2, Л а1, Л уо, расположенныс в таблице раз- постей по диагонали„мы с помощью формулы (7), полагая в ней и = 3, вы- 1, 5 2 3 3 числяем Лу д + — Лд + — Л д 1- — Л 7.
Найдя значение Лу мы вы° 3 3 2 2 12 1 8 О 3» чнслясм у уз + Лу . Зная же х и у„мы вычисляем 17 = АДх4, у ), вносим у, Луз и д в таблицу разностей и пополняем затем ее конечными разностями 2 2 Лу3 Л 172, Л 171» расположенными вместе с 17 по новой диагонали, параллель- по прежней. Зятем, используя числя новой диаГОпяли, мы с помощью формулы (8), 1 олагая в ней и = 4, вычисляем Лу4, у, и 17 и получаем следующую диаго- 2 3 на 1ь, 17, Л17 „Л 17, Л Я2, С помощью эгон ДИЯГОнали мы ВычислЯем значение у.
искомОГО решения у(х) и т. д. Формула Адамса (7) для Вычисления Лу исходит из предположениЯ, 3 что третьи конечные разности Л 11 Являются пОстояниыми, В соответствии с этим величина Ь начального шага вычислений определяется из неравен- 4 -гп " 7И стеа а «: 1О (если мы желаем получить значение у(х) с точностью до 10 В этом смысле формула Адамса (7) эквивалентна формулам Милна (5) и Формулам Рунге — Куття (3), Оценка погреш1гости для метода Адамса сложна и практически бесполезна, так как в общем случае дает сильно завышенные результаты. НЯ практике следят за ходом третьих конечных разностей, выбирая шаг Ь столь малым, 3 3 чтобь1 соседние разности Л'д н Л'д,.
1 отличались между собой не более чем на олпу-две единицы заданного разряда (не считая запасных знаков), Глава Х. НРИБЛИЖКННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ $ Ь. Численное интегрирование обыкновенных уравнений Таблица 3 Основная таблица для вычисления у,, ув, у„по методу Адамса. Дх, у) = — х + у; Ь = 0,25 (курсивом обозначены входные данные) 0,0026 0,3750 0,0037 0,4105 0,0166 2 О,БО 0,0751 0,0964 0,5146 0,5897 0,6861 2,05З4 2,35ЗЗ 2,7444 2,8084 3,36ЗЗ 3,9944 0,5504 0,6356 0,7450 Ответ: 4,74 Таблица 4 Вспомогательная таблица для вычисления по методу Адамса ~у.-о. ~- -Ад + — Ь д. + -Ад. 1 5 з 3 с г 2 ~-1 1» с — 2 3 ~ — 3 Значение у, = 4,74 будет ответом задачи. Для повьппения точности результата формула Адамса может быть пополнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины о.
Нри этом возрастает число первых значений функции у, нужных нам для начального заполнения таблицы, Формулы Адамса повьпиенной точности мы не будем здесь приводить, П р и и е р 2. Вычислить при х ~ 1,5 с точностью до 0,01 по комбинированному методу Рунге — Еутта и Адамса значение решения дифференциального уравнения у' = у — х с начальным условием у(0) 1,5 (см. пример 1). Р е ш е н и е, Используем значения у, у, у, полученные нами при решении примера 1.
Их вычисление приведено в таблице 1. Последуютцие значения д„у,, у мы вычисляем по методу Адамса (см. таблицы 3 и 4). Для случая решения системы (4) формула Адзмса (т) и схема вычисле. ний, показанная в таблице 3, применяются отдельно для обеих функций у(х) и 2(х). Найти три последовательных приближения решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем: 3176.
у' = х + у; у(О) = О. 3177. у' = х+ у+ 2, г' у — 2; у(0) 1, 2(0) — 2. 3178. у" = -у; у(0) = О, у'(О) = 1, Методом Рунге — Мутти, полагая шаг Ь = 0,2, вычислить приближенно для указанных промежутков решения данных дифференциальных уравнений и систем".
3179. у' = у — х„у(0) = 1,5 (О < х < 1). 3180. у' = " — у; у(1) = 1 (1 ~ х 4 2). Х 3181. у' = 2 + 1, г' = у — х, у(О) = 1, 2(0) 1 (О а' х '- Ц. Применяя комбинированный метод Рунге — Кутта и Милна или Рунге — Кутта и Адамса, вычислить с точностью до 0,01 значения решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем при указанных значениях аргумента: 3182. у' х + у; у = 1 при х = О.
Вычислить у при х = 0,5. 2 3183. у х + у; у = 1 при х = О. Вычислить упри х 1. 3184. у' = 2у — 3; у = 1 при х = О. Вычислить у при х = 0,5. у' = — х+ 2у+ 2, 3185, х+ 2у+ 32т у 2,2= — 2прих=О. Вычислить у и г при х = 0,5. ~У = ЗУ вЂ” 2, 3186. (,, у = 2, 2 = -1 при х = О, ~2 =У 2; Вычислить у и 2 при х 0,5.
3187. у'" = 2 — у; у = 2, у' = -1 при х = О. Вычислить у при х = 1. 3188. у у" + 1 = О; у 1„у' О при х = 1. Вычислить у при х = 1,5. 3189. — + — сов 2~ 0; х = О, х' = 1 при (' = О. п2х х 612 2 Найти х(п) н х'(и), По Формулам (1) имеем. йо= 9,7; Ь =13,9; а,= 10,3; аз = 3,8; у1 = ЗОО у,-О у,- -5200 у; = -2250 у„, 4500 у 9,72 у =8,97 у =8,18 ув = 7,42 у, =6,81 у =622 ч, =6,68 у2 у = 0,788 у = 0495 у, - 0,540 уи Глаза Х. ПРИБЛИЖКННЫЕ ВЫЧИСЛННИЯ 5 6.
Приближенное вычисление коэффициентов Фурье Сх ем а 12 орли н ат. Пусть у = Дх ) (и = О, 1, ...„12) — зпачекия ля функции у = Дх) а равноотстоящих точках х = — отрезка (О, 2я), причем ''Л у = у,. Составим таблицы: фф»»»»» ф»» ~» р 1,2,31фу»»ц»»у=Я»)»р»6»»ж»»но могут быть определены по формулам: 69 = 8(, + 81+ в + яз, е е 6Ь = 0,5о, + 0,866а.
+ о, ~о + О 866~1+ О б~з 6о,= 1„— $,, Д 1 1 где 0,866 — 1 — — — —, 2 1О ЗО* Имеем. 3 Пх) — +;~ (а совлх+ Ь ил пх), по И а=1 Употребитсльиы также другие схемы. Для облегчения вычислений исполь- зуютса шаблонь~ (см., например: В, И, Смирнов, Курс высшей математики, т. П, 1962„гл, У1, 424 — 430). П р и и е р. Найти полипом Фурье для функции у - Дх) (О .= х ~ 2х), задапиой таблицей: 6. Нраближеаиое ам~йслеаие козффициевтов Фу~й>с Следовательно, Дх) = 4,8 + (24,9сов х + 13,9вш х) + (1О,Зсов 2х — 8,4в1п 2х) + + (3,8сов Зх + 0,8в1п Зх). Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для следующих функций, заданных на отрезке 10, 2х1 таблицами своих значений, соответствующих равноотстонщим значениям аргумента (Уо= У1в): у|1 250 ув = 5,60 у1„= 4,88 у„3,67 3193.
Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по схе ме 12 ординат для следующих функций." а) Дх) — (х — Злх + 2л х) (О "- х ~ 2л), 1 3 2 2 2яз б) Ях) = — (х — л) (О ~ х < 2л). 1 2 л2 ОтаытЫ, РКШКПИЯ, УКАЗЛНИЯ 399 1еп -— й . 'Гак 2еШ вЂ” „ йх 1-2з)п = 11ш 1-2.1 -~~ = 11. . 2Х1~~х х 0 2 х 0 2 2 х 4х 2 2з(п— 2Х как 1пп— 2 = — 2 1пп х-~ х *О 2М~Р ~'~ ап~ — — ~ 2 1пп(созх)~~" = е х '0 2Х 2з1п Так как 11пт — " = 211т х х х-.е з1п 2 х 3 1 1:х -1г'2 — = --, то 1пп(созх) =е 4х 2 -0 рис, 14.
102. См. приложение У1, рис. 15. 103. См. приложение Л, рис. 17. 104, См. приложение Ъ"1, рис, 17. 105. См. приложение Л, рис. 18. 107. См. приложение Ъ'1, рис. 18. 118. См. приложение 71, рис. 12. 119. См. приложение У1. рис. 12. 120. См. приложение'Л, рис. 13. 121. См. приложение У1, рис. 13. 132.
См. приложение Ч1, рис. 30. 133. См. приложение Л, рис. 32. 134. См. приложение 'Л, рис 31. 138. См, приложение Ъ'1, рис. 33. 139, См. приложение 'Л, рис. 28. 140. См. приложение ЪЧ, рис. 25. 141. Составим таблицу значений: Построив найденные точки (х, у), получим искомую кривую (см.
приложение Ч1, рис. 7), (Параметр 2 при этом геометрически пе откладывается1) 142. См. приложение ~1, рис. 19, 143. См. приложение Л, рис. 27. 144. См. приложение Ч1, рис, 29. 145. См. приложение T1, рис. 22. 150. См. приложение И, 2 рис. 28. 151. Разрешив уравнение относительно у, получим у = + 25 — х . Теперь искомую кривую легко построить по точкам. 153.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
