Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Определить Р продольные колебания упругого горизонтального стержня длины Е = 100см, закрепленного на конце х = 0 и оттянутого на конце х = 100 на длину М = 1 см, а затем отпущенного без толчка. 3107"'. Для прямолинейного однородного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, температура и = и(х, ~) в сечении с абсцнссой х в момент Времени 1 при отсутстВии истОчникОВ тепла удОВлетвОРяет уравнению теплопроводности ди 2д и — = а дх где а — пОстояиная, Определить распределение температуры для любого момента времени ~ в стержне длины 1 = 100 см, если известно начальное распределение температуры З 1.
Действия с приближенными числами л $ 1 1 ф 1. Действия с приближенными числами 1"-. Л б с О л ю т и а и и о г р е ш н о с т ь, Абеалеашнай 11огреш11аеееЕЫО ('а6- солеоее1ной Ои1ибкой ) приближенного числа а, заменяющего точное число А, называется абсол1отиая Всличи1га разности между ними. Число Л, удОвлстворяеощсе неравенству ~А — а~ Л, (1) называется нредельнай абсалеатиой иагрешнас1иью.
Точное число А находится в границах а — Л ~ А < а + Л или, короче, А = а + Л. 2'.Относительная погре н1 ность. под аиноеип1ельиой 11огреш11остью (относительной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точ1юе число А (А > О), понимается отношение абсолЕОтной погрешности числа а к точному числу А. Число О, удовлетворяющее неравенству ~А — а (2) А называется предельной атнаси~пелъной погрешнасепыа приближенного числа а..
Так как на практике А = а, то за предельную относительную иш реш- Л НОСть часто принимают числО О = а З.Число Верных десятичных зе1акОВ 1030рят, что поло. жительное приближенное число а, записанное в Виде десятичного разложения, имеет и верных деслеееичных знаков (цифр) в узком смысле, если аб- 1 солютная погрешность этого числа не превышает — единицы и-го разряда. 2 В этом случае ири я > 1 за предельную относительную погрешность можно принять число где А — первая значап1ая цифра числа и, Обратно, если известно, что '1а-1 5 ~, — ~, то число а имеет а Верных десятичных знаков в узком 2(й + 1)1,10~ смысла. Б частности, число а заведомо имеет а верных знаков в узком смыс- 11 11" лс, если 8= —,— > 2'~ 10 Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает единицы последнего разряда (таковы, например, числа, возникшие при измерении с точностью до соответствующей единицы), то говорят, что все десятичные знаки этого приближенного числа верные в широком смыеле.
При наличии большего числа значащих цифр в приближенном числе последнее, если оно является окончательным результатом вычислений, обычно округляют так, чтобы все оставшиеся ци41ры были вернымн в узком или широком смысле, В дальнейшем мы будем предполагать, что в записи исходных данных все цифры верные (если не оговорено противное) в узком смьесле, Что касается результатов промежуточных Вычислений, то оии могут содержать одну-две запасные цифры. Заметим, что примеры этого параграфа, как правило, представляют собой результат окончательных вычислений и поэтому Ответы к ним даются приближенными числами, содержав1иими лишь верные десятичные знаки. 4',Сложение н вычитание приближенных чисел.
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел равна сумме предельных апсолютных погрешностей этих чисел, Поэтому, чтобы иметь в сумме небольшого количества приближенных чисел, все десятичные знаки которых верны„лишь верные цифры (по меньшей мере в широком смысле), следует подравнять Все слагаемые по образцу того слаГаемого, десятичная запись котОрОГО ОбрывастсЯ ранее ДруГих, сохрае1ЯЯ В каждом из них запасной знак, Затем сложить полученные числа, как точные, и округлить сумму на один знак. Если приходится складывать исокругленные приближенные числа, то их следует округлить„сохраняя в каждом из слагаемых один-два запасных знака, а затем руководствоваться приведенным выше правилом сложения, удержиВая соответствуЕОщие ли1ш1ис Знаки В сумме /10 конца выкладОк.
П р и м е р 1. 215,21 р 14,182+ 21,4 = 215,2(1) + 14,1(8) -~ 21,4 = 250,8, Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых, Относительная погрешность разности нс поддается простому учету. Особенно неблагоприятна в этом смысле разность двух близких чисел, П р и м е р 2, При вычислении приближенных чисел 6,135 и 6,131, с четырьмя верными десятичными знаками, получаем разность 0,004.
ПредельО., 001+ —, О, 001 1 1 2 ' 2 1 иая относитсльная погрешность ее равна Π— — — = 0,25; следовательнО, ни Один знак разнОсти не является ДОстОВериь1м. ПОэтому следует по возможности избегать вычитания близких меекду собой приближенных чисел, преобразуя, в случае надобности, данное выражение так, чтобы эта нежелательная операция Отсутствовала. 5".Умножение и деление приближенных чисел, Предельная относительная погрешность произведения и частного нриблнжеиных чисел раВна сумме 11рсдельных Относитслы1ых НОГрешностей этих чисел.
Исходя нз этого и применяя правило числа верных знаков (3'), мы сохраняем в Отве1е линн Определенное количество знаков. Глава Х, ПРИБЛИЖКБНЫБ ВЫЧИСЛЕНИЯ з 1, Действия с приближенными числами П р и и е р 3. Произведение приближенных чиссл 25,3. 4,12 104,236. Предполагая, что все знаки сомножителей верные, получаем, что предельная относительная погрешность произведения Ь - — 0,01 + — 0,01 = 0,003. 1 22'42 Отсюда число верных знаков произведения равно трем и результат, если он является окончательным, следует писать так: 25,3 4, 12 - 104 или точнее 25,3 4„12 = 104,2 + 0,3, 6'.
Возведение в степе н ь и извлечен не корпя и з и р иб л и ж е н н ы х ч и с е л, Предельная относительная погрешность ттт-й степени приближенного числа а равна гп-кратной предельной относительной погрешности этого числа. Предельная относительная погрешность корня ттт-й степени из приближенного числа а составляет — -ю часть предельной относительной погреш- 1 тп ности числа а. 7", Вычисление погрешности резул ьтата разл ич н ых действий над приближенными числами. Если Ьа,, Ьа, — предельные абсолютные погрешности приближенных чисел а,, ..., а„, то предельная абсолютная погрешность Ь 8 результата З-ла,, ...,а„) приближенно может быть оценена по формуле Ь8 = Ж Ьат + „. + — Ь а„.
Э( а„, ' " Эа„ Предельная относительная погрешность Я тогда равна оЯ вЂ” - "~ — + ... + — —" = — Ьа, + ... + — Ь а„. Ь8 ~~ Лй~ 3~ Ьаа о(п д1п Г 1Ж з— .', !М - д.. 1й~ д., - д.„ П р и и е р 4. Вычислить Я 1тт (10,3+ ./4, 4 ); приближенные числа 10,3 и 4,4 верны в написанных знаках. Р е ш е н и е. Подсчитаем сначала предельную абсол|отную погрешность ЬЯ в общем виде: 8 = 1п (а + ./6 ), ЬЗ = — ~Ьа + — — ' ~ . Имеем Ьа ЬЬ "- —; 1, а+./Ь 2„$ * 20' ,/4,4 = 2,0976..„мы оставляем 2,1, так как относительная погрешность приближенного числа ./4, 4 ранна = — . — = —; абсолютная погрешность 1 1 1 .
2 40 80' тогда равна = 2 . — = —; за десятые доли можно поручиться. Следова- 1 1 . 80 40' 10,3+2 1~20 2 20 2,6 12,4.20(, ~ И 2604 Значит, сотые доли будет верны. Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком: 1я (10,3 + Я,. 4 ) = (б 12,4 = 1,093; 1п (10,3 + /4, 4 ) = 1,093 . 2,303 2,517.
Получаем ответ: 2,52. 8'. Установление допустимых погрешностей приближенных чисел при заданной погрешности результатаа действий над н им и. Применяя формулы пункта 7 призаданных нам величинах ЬЯ или Ы, считая при этом равными друг другу все Д~ ~ д~ частные дифференциалы — Ь а„или величины — —, мы вычисляем да~ ~~а, И' допустимые абсолюгные погрешности Ьа„..., Ь а„, ... приближенных чисел а„..., а„, ..., входящих в действия ('принцип равных влияний).
Следует отметить, что иногда при подсчете допустимых погрешностей аргументов функции невыгодно пользоваться принципом равных влияний, так как последний может предъявить практически невыполнимые требования. В этих случаях рекомендуется разумно перераспределить погрешности, если зто возможно, с таким расчетом, чтобы суммарная погрешпость не превышала заданной величины, Таким образом, поставленная задача, строго говоря, неопределенна. П р и и е р 5.
Объем «цилиндрического отрезка», т. е. тела, отсеченного от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания, 2 3 равный 2В, под углом н к основанию, вычисляется по Формуле Ъ' = — Л (~ а, С какой точностью следует измерять радиус В 60 см и угол наклона а, чтобы объем цилиндрического отрезка был известен с точностью до 1%? Р е ш е н и е. Если М", Ьй и Ьо — предельные абсол|отные погрешности величин ~; В и а, то предельная относительная погрешность вычисляемого объема»' есть Полагаем — ~ — и —, «' —, Отсюда ЗЛЯ .
1 2Ьа 1 В 200 в(п 2о 200 ЬА ~ — = — = 1 мм; В 60 ем 600 600 Ьо < — < — рад=9, а(п 2(х 1 400 400 Итак, мы обеспечим требуемую точность ответа в 1%, если будем измерять радиус с точностью до 1 мм, а угол наклона а с точностью до 9'. 3108. В результате измерения получены верные в широком смысле в написанных знаках приближюннын числа: а) 12'07'14"; б) 38„5 см; в) 62,215 кг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
