Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 40
Текст из файла (страница 40)
у" — 4у' + 4у = х . 2999. 2996, у" — у' + у = х + б. 3000. 2997. у" + 2у'+ у е . 3001. 2998. у" — Зу'+ 7у = 14. 3002. у" — у = е". у" + у = соз х. у" + у' — 2у = 8з1п 2х, у" + у' — бу = хе 3'. П р и н ци и н а ложен и я решений. Если правая часть уравнения (3) есть сумма нескольких Функций Лх) - Ух) + Ух) + ... + Г„(х) и У,. (с = 1, 2, ..., л) — соответствувнцие решения уравнений у" + ру' + ду = ~',.(Х) (~ = 1, 2,, и), то сумма у=)',+У',+ ... +У„ является решением уравнения (3).
Найти общие решения уравнений: 2976. у" — 5у + бу = О. 2982. у" + 2д' + у - О. 2977. у" - 9у - О, 2983. д" - 4у'+ 2у = О. 2978. у" — у' = О. 2984. у" — Иу = О (й ~ О). 2979. у" + у' = О. 2985, у = у" + у', 2980. у" — 2у'+ 2у = О. 2986, ":;,~ = 3. у" 2981. у" + 4д'+ 13у = О. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указан- ным условиям: 2987. у" — 5у'+ 4у О; у 5, у" = 8 при х = О. 2988. у" + Зу'+ 2у = О; у = 1, у' -1 при х = О. 2989. у" + 4у = О," у = О, у' = 2 при х О, 2990. у" + 2у' = О; у = 1, у' = О при х О. 2991. у" = ~~; у = а, у' = О при х = О, 2992.
у" + Зу' = О; д = О при х = О и у = О при х = 3, 2993. у" + и у = О; у = О при х = О и у = 0 при х = 1. 2994. Указать вид частных решений для данных неоднородных уравнений: а)у" — 4у = х е 6)у" + 9у соз2х; в) у" — 4у' + 4у = з1п 2х + е г) у" + 2д'+ 2у = е"з1п х; д) у" — Ьу'+ бу = (х2 + 1)е" + хе~; е) у" — 2у'+ 5у хе соз 2х — х е а(п 2х. 3003. у" — 2у' + у = з(п х + зЬ х. 3004. у" + у' = з1п х. 3005.
д" — 2у' + 5у = е соз 2х. 3006. Найти решение уравнения у" + 4у = з1п х, удовлетворяющее условиям у = 1, у' = 1 при х = О. Решить уравнения; а'х 3007. — + о) х = Аз1п р~. Рассмотреть случаи: 1) р»~ в; 2) р .= о). д1' 3008. у" — 7у'+ 12у = -е 3009. у" — 2у' = х — 1. 3010. у" — 2у" + у = 2е . 3011, у" — 2у' = е * + 5. 3012.
д" — 2у' — 8у = е" — Зсоз 2х. 3013.у" +у = 5х+2е". 3014. у" — у' = 2х — 1 — Зе'. 3015. у" + 2у' + у = е + е — ". 3016. у'" — 2у'+ 10у з1п Зх + е". 3017. у" — 4у' + 4у = 2ез" + "- . 2 3018. у" — Зу' = х + соз х. 3019. Найти решение уравнения у" — 2у' = е + х — 1, удовлетворяющее условиям; у = —, у = 1 при х = О. 1 8 Решить уравнения: 3020. у" — у = 2хз1п х. 3021, у" — 4у = е "з1п 2х. 3022, у" + 4у = 2з1п2Х вЂ” Зсоз 2Х + 1. 3023. у" — 2у' + 2у = 4е'з1п х. 3024.
у"' = хе" + у. 3025. у" + Яу = 2хып х+ хе ". 3026. у" — 2у' — Зу = х(1 + е'"). 3027. у" — 2у' = Зх + 2хе". 3028. у" — 4у' +4у = х е 3029. у" + 2у' — Зу = 2хе "" + (х + 1)е". 3030~. у" + у 2хСОз х сОЗ 2х* 3031. у" — 2у = 2хс (соз х — з1 х). Глава 1Х. ДИФФКРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Э 13. Линейные уравнения порядка выше 2-го Применяя метод вариации прОизвОльных постоянных, решить уравнения: 3036. д" + у = — ' сов х 3032. у" + д =- $д х.
3033. у" + д = сф х. 3037, д" + у = —, 81ПХ 3034. у" — 2у'+ у =— 3038. а) д" — у = а х; б) д" — 2у = 4х е 3035, у" + 2у' + д = ~ —, х 3039. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти уравнение движения, которое будет совершать один из этих грузов, если другой оборвется. Р е ш е и и е, Пусть увеличение длины пружины под действием одпого груза в состоянии покоя равно а и масса груза п1.
Обозначим через х координату груза, отсчитываемую пО вертикали От полояжкия равновесия при наличии одного груза, Тогда щ — - т~ — й(х + а), д х 41 2 где, Очевидно, Й вЂ” и, следовательно, — — — х. 061цсе решение есть ю~К, Й х в а ~12 а Йх х = С сев ~1+ С. в1п ~~. Начальные условия дают х = а и — = О при й1 1 = О; отсюда С, = а и С = О, следовательно, х = асов 3040"'. К пружине с коэффициентом жесткости й подвешен груз массой ги. Найти период колебательного движения, которое будет совершать этот груз„если его слегка оттянуть от положения равновесия н затем отпустить.
3041', Груз массой М подвешен на пружине с коэффициентом жесткости Й. Найти уравнение движения груза, если верхний конец пружины совершает вертикальное гармоническое колебание у =А э111 Ю и в начальный момент груз находился в покое (сопротивлением среды пренебрегаем). 3042. Материальная точка массы и притягивается каждым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности равен Й). Найти закон движения точки, зная, что расстояние между центрами 2Ь, в начальный момент точка находилась на отрезке, соединяющем центры, на расстоянии с от середины е1'0 и имела скорОсть равную нулю.
3043. Цепь длины 6 м скользит вниз с подставки без трения. Если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи, то во сколько времени соскользнет вся цепь? 3044+. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью св около перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения. Найти законы движения 1аарика относительно трубки, считая, что: а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси вращения и начальная скорость шарика равна нулю; б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел начальную скорость рв. $ 13.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше 2-го 1 . Од нор од н ее ура в нс н ие. Фундаментальнаясистемарешений у„однородного липсйноге уравнения с постоянными коэффи11иептами (1) строится на основе характера каркей характеристического уравнения й" + а,й" + .. + а й + а„ О, (2) А именно: 1) если Й есть вещественный корень уравнения (2) кратности л1, то ему соответствует я липсйно независимых решений уравнения (1): Фх йх щ 1хх у,-е Ф у,=хе Ф ° ° ° Ф у„=х е 2) если и + р1 — пара комплексных корней уравнения (2) кратности ш, то ей соответствует 2и линейно независимых решений уравнения (1): ах ах ах ах у, =е соэрх, у,=е в111рх, у =хе соврх,у =хе'з1прх, У, - Х Еа" СОВ РХ, У „= Х'" Еаха111 РХ.
2', Неоднородное уравнен не. Частноереп1ениекеодпородпого уравнения У "1У "." л-1У + У Р) отыскивается на основе правил Э 12, 2' и 3'. Найти общие решения уравнений: 3045. у'" — 13у" + 12д' = О. 3050. 3046. у"' — у' = О, 3051. 3047. д'" + у = О, 3052. 3048. у — 2у" -' О. 3053. 3049. д"' — Зу" + Зу' — у = О. 3054. у + 4д О. 1Ъ' у" = Зд" + 1бу = О. у" у'=О. у -2у" +у=О. 1У 4 у — ау=О. Глава 1Х.
ДИФФКРЕН ЦИАЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ $14. Уравнения Эйлера 3057. у + 2у"' + у" = О, 3058. у + 2У" + у = О. 3055. у — бу" + 9у О. 3056. у + а у" = О. 3067. Найти частное решение уравнения у"'+ 2У" + 2У'+ у = х, удовлетворяющее начальным условиям у(О) = у'(О) = у (О) = О В 14.
Уравнения Эйлера Линейное уравнение вида (ах+ Ь)"у" +А,(ах+ Ь)" д" '+ ... +А, (ах+ Ь)у'+А„р = Дх), (1) где а, Ь, А, „, А„„А„— постоянные, называется уравнением Эйлера. Для области ах + Ь > О вводим новую независимую переменную 1, полагая ах+ Ь-е'. -«Йу „2 -2««1 р «1у у' = ае — ~, у" = а е «1ф ' «1~2 «12 у'"=ас --, +2 и т.д- 3-м«1ц«1иф Ы~ д~ й =й =2 1 2 и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постояннымн коэффициентами.
При ах + Ь < О полагаем ах + Ь = -е . Пример 1. Реа~ить уравнение х у" + ху'+ у 1. Р е п«е н и е. Полагая х = е, получим Решить уравнения: 3068. х — ~ + зх —" + у = О. 2«1 6 * (х' «1х д«,1~2 ~ «122 3072. (Зх+ 2)у" + 7у' О. 3069. Х2у- — ху — Зу = О. Следовательно, данное уравнение примет вид Й' — У +у=1 «12' 3070. х у" - ху' + 4У = О, 3074. у" + Ы- + у = О. х откуда у = С) сов 1 1- С2 Б1Й Г + 1 3059. у'"'+ 3060, у"— ~у 3061.
у 3062. у"'— 3063. у" + » (» — 1» ~ »»'»Л - » 1 1.2 2у +у 2у'"+ у" ~ х . — 1. у"" = сов 4х. о« вЂ” 2) „ „ и г + О 3064. у"' + у" = х + 1 + Зхе", 3065. у'" + у" + у' + у = хе". 3066. у"'+ у' = ф~х вес х. у = С сов (1п х) + С а1п (1п х) + 1, Для однородного уравнепия Эйлера х"у'"~+ А,хв |у'" ~+ ... +А, ху'+А„д О (2) при х > О решение можно искать в виде у~х (3) Подставляя в (2) у, у, ..., у, определяемые из соотношения (3), получим » «~«) характеристическое ур~~~е~~е, из которо~~ можно найти показател~ Й, Если й — действительный корень характеристического уравнения крат- ности «««, то ему соответствуют щ линейно независимых решений й ««2 й в — 1 у, =х, ув=х 1пх, р =х(1пх), ..., у =х(1пх) Если а+ ф — пара комплексных корней кратности «и, то ей соответствуег 2«я линейно независимых решений у1 = х сов (Р 1п х) д2 = х в1п (Р 1п х), уз = х 1п хсоз (р1п х), у, = х'1пхв1п((31пх),, у = х'"(1пх)'" 'с (р1п у2„, = х (1п х) а1П (р' 1п Х).
П р и - е р 2 ре ть уравнение х'у" — Зху + 4у = О, Решен ие, Полагая а-1  — 2 д х, у'=Ах, у =Ф(й — 1)х Подставляя в данное уравнение, после сокращения на х получим характе- А ристическое уравнение ~2-- И+ 4=О, следовательно, общее решение будет У=Сх +Сх1пх, 2 2 3071.х'у'" — Зх у" + бху' — бу = О. 3075.х у" — 4ху" + бу = х, ура»»не»»ис., полученное после дифференцирования, приходим к уравнению 2-го порядка с одной неизвестной у: Решая его, найдем и тогда 1»' Й»~, » 2х Св -з~ 1 2 г= — ~1+4х — — — 2у~ = — С с + — с — -х.
Анало» ично можно поступать и в случае системы с болыпим числом уравнений. Решить системы: ! ау 3078. 1 Й~ 1 Йх 3083. ( Й ! Й г ~р~х, р, ~~1 Йх,~ 3084. ~ „ ~~ Йх ~ Й1 Глава»Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫК УРАВПК1»ИЯ 3076. (1 + х) у" — 3(1 + х)у' + 4р = (1 + х) . 3077. Найти частное решение уравнения х Д" — хД'+ Д = 2х, удовлетворяющее начальным условиям: у = О, у' = 1 при х = 1. 6 15. Системы дифференциальных уравнений М е т о д и с к л ю ч е н и я Для нахождения рен»ения, например, нормальной системы двух диффсренциальных уравнений 1-го порядка, т.
е. системы вида разреп»енной относительно производных от искомых функций»~ и у, диффсре»»цируем по х одно нз пих, Имеем, на»»р»»мер, — = — + — ~+ Й у д~ д»" д»' (2) Йх'" дх дц дз Определяя г из первого уравнения системы (1) и подставляя найденное вы- ражение в уравнение (2), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функцией у. Решая его, находим у = »»»(х, С,, С )„ (4) где С, н С вЂ” произвольные постоянные. Подставляя функцию (4) в формулу (3», определяем функцию г без новых интеграций, Совокупность формул (3) и (4), где у заменено на»»», дает общее ргшеыие сисгиемь» (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
