Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 35
Текст из файла (страница 35)
3". Ряды Ф ур ье периода 21. Если функция ~(х) удовлетворяет условиям Дирихле в некотором интервале ( — 1, 1) длины 2), то в точках непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо раз- ложение Дх) - — + а сов — + Ь а1п — + а, сов — + Ь а)п — + ао , их ,. лх 2нх . . 2лх В точках разрыва функции Дх) и в концах х = +) интервала сумма ряда Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении в интервале ( — и, и), В случае разложения Функции Дх) в ряд Фурье в произвольном интервале (а, а —: 2О) длины Ж пределы интегрирования в формулах (2) следует заменить соответственно через а и а + 2). Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интервале ( — я„я)„определить сумму ряда в точках разрыва и на концах ин- тервала (х = -"я, х = я), построить график самой функции и суммы соответствующего ряда (также и вне интервала (-х, х)): |с при — п<Х~~О, 2671.
~(х) = ~ | с2 при 0 < х < я, Рассмотреть частный случай, когда с, = — 1, с = 1. 2672. )'(х) == ах при -и < х < О, ~ Ьх при О ~ х ( я. Рассмотреть частные случаи: а) а = Ь = 1; б) а = — 1, Ь = 1; ф в)а = О, Ь = 1; г) а = 1, Ь = О. 2673, Ях) = х, 2676, Дх) = сов ах. 2674. Дх) = е' . 2677. ~(х) = в'г1 ах. 2675. Дх) = вш ах. 2678. Дх) =- с)1 ах. 2679. Функцию )'(х) = ":," разложить в ряд Фурье в интервале 2 (О, 2п).
2680, Разложить в интервале (О, я) по синусам кратных дуг функцию )'(х) = —. Полученное разложение использовать для суммиро- н в)1 — — + — — — + — —... 1 1 1 1 5 7 11 13 Указанные ниже функции разложить в интервале (О, и) в неполные ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг; б) по косинусам кратных дуг. Нарисовать графики функций и графики сумм соответствующих рядов в области их существования, 2681. Дх) = х.
Найти с помощью полученного разложения сумму ряда в 2682, )г(х) = х . Найти с помощью полученного разложения суммы числОВых рядов: 1) 1 + —., + — + ...; 2) 1 — —, +— 1 1 1 1 1 24', 32 2 3 4 2683. ~(х) = е'". 1 при О < х 2 2684. Йх) = ~ ,О при — ~~ х< и. 2 2' "хприО<х< и, 2685. Д(х) =. я — х при " -< х < я.
2 Разложить в интервале (О, я) по синусам кратных дуг функции: х прн О < х =. 2686, Дх) = ( 0 при ~ < х < я. 2 Глава у'Ш. РЯДЫ Разложить в интервале (О, 11) по косинусам кратных дуг функции: 1 при О < х '= Й, О прн Ь < х < я. 1 — —" при 0 < х '- 2Ь, 2690. )'(Х) = ~ О при2Ь<х<л. д соз х при О < х ти —, 2' -СОВ Х ПРИ -" < Х < Х.
2 2693. Используя разложение функций х и х в интервале (О, л» по косинусам кратных дуг (см. №М 2681, 2682), доказать равенство г г г Зх — бхх+ 2х «О < 12 2694+~. Доказать, что если функция )'(х) — четная и при атом 1'и у~- те~ = -у~- -з|, то ее ряд Фурье в интервале à — я, хЗ представляет собой разложение по косинусам нечетных кратных дуг, а если функция дх) — нечетная и ~г~-+ х 1 = Г1 - -х|, то она разлагается в интервале (-х, я) по синусам нечетных кратных дуг. В указа~~~~ интервалах разложить в ряд Фурье функции: 2695. Дх) = |х|(-1 < х < 1).
2696. Г(х) = 2х (О < х < 1). 2697. )'(Х) = е (-1 < х < 1). 2698. Дх) = 10 — х (5 . х < 15). Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг, б) по косинусам кратных дуг следующие функции: 2699, Кх) = 1(О < х < 1). 2700. )'(х) = х(0 < х < 1).
2701. ~(х) = х (О < х < 2х). х приО<х< 1, 2702. Дх) = 2 — хпри1<х<2. 2703. Разложить по косинусам кратных дуг в интервале ~-та| х2 функцию 1 при- <х<2, 3 Йх) = 3 — х при2<х<3. $1. Проверка решений, Составление дифференциальных уравнений семейств кривых. Начальные условия 1', Основные понятия. Уравнение вида 1л1 г(х, и, и, .*., и ) = О, где у у(х) — искомая Функция, называется диФФеренциальным ираенеиием я го яорядка.
Любая Функция у = 1р(х)а обращающая уравнение (1) В тождество, назь1вяется решением зтого уравнения, а график атой Функции— иищегральной угриеой. Если решение задано в неявном виде Ф(х, у) = О, то Оно обычно называется интегралом. П р н и е р 1. Проверить, что функция у В1п хявляетсярешениемуравнения и" +у=О. Решен и с, Имеем д "' соз х, ф = '"'В1п х и, слсдовательнот У" + У = — В1П Х + З1Н Х в О. Интеграл Ф(х, 11, С1, ° .-, С ) = О дифференциального уравнения (1), содержащий а независимых произвольных постоянных С, ..., С„н эквивалентный (В данной области) уравнен11ю (1), называется общим икунегралом этого уравнения (в соответствунлцей Об.части). Придавая в соотношении (2) постоянным С,, С„определенные значения, получаем часуу1кый ииуу1еграл уравнения (1).
Обратно, имея семейство кривых (2) и исключая параметры С,, ..., С, из системы уравнений "Очучим, Вообще гОВоря, Диффсрснцизт1ькое урЯВ11сние Вида (1), Об1Цим ик- *егралом которого в соответствующей Области является соотношение (2). Глава )Х. ЛИФФЕРКНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНВНИЯ $1. Проверка решений. Составление диФФеренциальных уравнений 321 2 уу" = у' . Легко проверить, что функция (3) обращает это уравнение в тождество. 2'. Начал ьи ы е условия, Если для искомого час~ного ре)пения у = у(х) диФференциального уравнения (б) заданы начальньюе условия (задача Коши,) 1а - Ц 1л — 1) У(хе) = У,), У(хе) = Уе, ..., У (хо) Уе н известно о6щее реи1екие уравнения (б) у = 1р(х, С,„..., С,), то произвольные постоянныо С„...„С определяются, если это возможно, из системы уравнений у,=1р(хе,С1,",С„) у',=1р'(х,,С1, ",С„), 1а -1) (а — П у, = е) (х„, С , ..., С„), П ример 3.
Найти кривую семейства у Се +Се для которой у(О) = 1, у'(О) = — 2. Решен не. Имеем у' = С,е — 2С„е Полагая в формулах (6) и (7) 1=С + х = О, получим С, — 2=С вЂ” 2С „ С,=О, С =1 и, следовательноа Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции: 2704. ху' = 2у, у = Ьх . 2705. у" = х + у, у ~ П р н м е р 2, Найти дифференциальное уравнение семейства парабол у С(х — С), (3) Р е п) е н н е, Дифференцируя два раза уравнение (3), будем иметь у' 2С(Х-С,) иу"=2С,.
(4) Исключая из уравнений (3) и (4) параметры С и С, получим искомое дифференциальное уравнение С 2 2706, (х + у) йх + хну = О, у = 2х 2707. у" + у О, у = 3 а1п х — 4 сов х. 2708. — + е) х = О, х = С сов оИ + С а1п а)1. д х 2 з 3 2709. у" — 2у' + у = О; а) у = хе, б) у = х е . 2710. у" — (А + ) )у' + ).,Х у = О, у = С1е ' + С е ' Показать, что для данных дифференциальных уравнений указанные соотношения являются интегралами." 2711.
(х — 2у)у' = 2х — у, х — ху + у = С . 2712. (х — у + 1)у' = 1, у = х + СеГ. 2713. (ху — х)у"' + ху' + уу' — 2у' = О, у = )и (ху). СОставить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых (С, С, Сз, С вЂ” произвольные постоянные): 2714. у = Сх. 2715, у =. Сх . 2716. у = 2Сх. 2717.х +у =С, 2718. у = Се'. 2719. х = С(х — у ). 2721. 1п "- = 1 + щ (Π— параметр). у 2722. (у — у ) = 2рх (у„, р — параметры). 2723. у = С,е " + С е 2724. у = С соа 2х + С а1п 2х. 2725.
у = (С, + С2х)е + Ст 2726. Составить дифференциальное уравнение всех прямых на плоскости ХОУ, 2727. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с вер- тикальной осью на плоскости ХОУ- 2728. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей на плоскости ХОу, 11 Задачи и уюраиааеииа 5 2. Уравнения 1-го порядка Рис. 105. 2736 ~ А+ У х — у 2737.р'=х + р х'=фх,у), где фх, у) = 1 Йх,,у) ' Глава 1Х. ДИФФЕРИЩИА11ЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяющие за данным начальным условиям: 2 2 2729.
х — у = С, р(О) = 5. 2730, у = (С„+ С х)е ", р(0) = О, р'(О) = 1. зх с $ 2731. у = С1ял (х — Сз), р(к) = 1, р'(й) = О. 2732. у = С,е '+ С е + С е "р(0) О, р'(0) = 1, р"(О) -2. $2. Диффереициальиые уравнения 1-го порядка 1". В и д ы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й 1-г о п о р я д к а. Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией у, раз- $ решенное относительно производной у', имеет вид у' = Дх, у), (1) 3 где )'(х, у) — данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную х и записывать уравнение (1) в виде Учитывая, что у' -в и х' = —, дифференциальные уравнения (1) и д~ . Йх йх йу (1 ) можно записать в симметрической форме: Р(х, у)дх+ Щх, у)4у " О, (2) где Р(х, у) и 9(х, у) — известные функции.
Под решениями уравнения (2) понимаются функции вида у ~ <р(х) или х = щ(у), удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнений (1) и (1'), или уравнения (2), имеет вид где С вЂ” произвольная постоянная. 2'. Поле н вправлен и й. Совокупность направлений называется полем направлений дифференциального уравнения (1) и обычно изображается при помощи системы черточек или стрелок с углом наклона а. Кривые Д(х, у) = Й, в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное й, называются изоклииами. Построив изоклины и поле направлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле интегральных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей точке имеют заданное направление поля. П р и м е р 1, Методом изоклин построить поле интегральных кривых уравнения у' = х. Р с ш е н и е.
Построив изоклины х = Й (прямые ликии) и поле направлений, приочижекно получаем поле интегральных кривых (рис. 105). Общим решением является семейство парабол 2 — + С. х 2 Методом изоклин построить приближенно поле интегральных кривых для указанных ниже дифференциальных уравнений: 2734. у' = -"-. у 2735, р'= 1+ р. 3'. Т с о р е м а К о ш и, Если функция ~'(х, у) непрерывна в некоторой об- ласти Г(а < х < А, Ь < у < В) и имеет в этой области ограниченную произ- водную ~'„(х, у), то через каждую точ ку (хз, ув), принадлежащую У, и роходит одна и только одна интегральная кривая у = <р(х) уравнения (1) (фх ) = у„), 4'. М е т о д л о и а н ы х Э й л е р а, Для приближенного построения пнтегральной кривой уравнения (1), проходящей через заданную точку Ы„(х„, у ), эту кривую заменяют ломаной с вершинами М,.(х, у,.), где Л х,, = Ь (шаг процесса), Л у,. = Ь|(хг у,.) (1 = О„1, 2, ...).
Пример 2. Методом Эйлера для уравнения ху у 2 найти у(1), егли у(О) 1 (А = О, 1). Составляем таблицу: Итак, у(1) - 1,248. Для сравнения приводим точное значение у(1) = е =- 1,284. и. следовательно, 1П ~у~ = — ) и Ц + 1п С,, Х(х)у(у) )х 1- Х,(х)у,(у) )у - О, Г ху,— —, -О у Х,(х) 3 У(у) Глава 1Х. ДИФФБРН1ЦИЛЛЫ)ЫЕ УРАВН):НИН Методом Эйлера найти частные решения данных дифференциальных уравнений для указанных значений х: 2738, у' = у, у(О) 1; найти у(1) ()1 О,Ц. 2739.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
