Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 30
Текст из файла (страница 30)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА Вычислить следующие криволинейные интегралы: 2310. (х — 2ху) 4х+ (2ху+ у ) сну, где Ав — дуга параболы «(В у = х от точки А(1; 1) до точки В(2; 4). 2311. (2а — у) дх + х ду, где С вЂ” дуга первой арки циклоиды с х = а(« — э1п «), у = а(1 — сов «), нробегаемая в направлении возрастания параметра «.
Глава УП. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2312. 2ху дх — х ду, взятый вдоль раз. У ОА личных путей, выходящих из начала коор. () динат О(О; О) и заканчивающихся в точке ф А(2; 1) (рис. 103): а) прямой ОтА; 0 Вф;О) Х б) параболы О)2А осью симметрии которой является ось ОУ; Рис. 103, в) параболы ОрА, осью симметрии которой является ось ОХ; ~е г) ломаной линии ОВА; д) ломаной линии ОСА. 2313. 2ху Йх + х Йу в условиях задачи М 2312. ОА ,Ж (' х+ )дх — х- д 2 2 З.:~,: 2314~.
у " " „взятый вдоль окружности х + у а '.:Ф:! Х2+ у2 против хода часовой стрелки. 2315. у Йх + х ду, где С есть верхняя половина эллипса,, х а соз ~, у Ь з1п ~, пробегаемая по ходу часовой стрелки, ,1 2316. соз у дх — з1п х ду, взятый вдоль отрезка АВ биссектрисы второго координатного угла, если абсцисса точки А равна 2 и ордината точки В равна 2. 2317. " " " ), где С вЂ” правый лепесток лемнискаты -': х +д2 2 2 г = а соз 2((), пробегаемый против хода часовой стрелки. 2318.
Вычислить криволинейные интегралы от выражений, яв-::; ' ляющихся полными дифференциалами; (2; 3) а) х Йу+ удх, (-1. 2) (3; 4) б) хдх + уду, (О. 1) (1; 1) н) / (х е у)(йх ~ йф, (О; О) (2: 1) г), (по пути, не пересекающему ось ОХ), дх — хд (1; 2) (путь интегрирования не пересекает х ех -Н е~ Д + х~ + ее взятый по ходу часовой стрелки вдоль четверти эллипса — + "- = 1, О2 Д2 лежащей в первом квадранте, 2321. Показать, что если Яи) есть непрерывная Функция н С— замкнутый кусочно-гладкий контур, то ДХ2 + у )(Х дх + у ду) = О. С 2322. Найти первообразную Функцию У, если: а)ди = (2х+ Зу)дх+ (Зх — 4у)ду; б) ди ~ (Зх — 2ху + у ) дх — (х — 2ху + Зу ) ду; в)ди = е" "((1+ х+ у)дх+ (1 — х — у)ду); г)ди= + — "-, дх д х+у х+у (Х; (() Н1 ( х ~ (пе путн, не перееехехнпенунРнную х + у Ж х+д (х~; д~) е) (()(х) дх + (()(у) ду.
(ха; 1~,) 2319. Найдя первообразные функции подынтегральных выражений, вычислить интегралы: (2, О) а) (х + 4ху ) дх + (бхзу — бу ) ду, (-2; -1) (1; О) б) ЙУ " дх (путь интегрирования не пересекает пря- (х- р)2 (О; -1) мойу = х), (3; 1) (х+2 ) дх+у ду (х+у) (1; () прямой у = -х)> (1,' 1) е) ~-Е пх+ " .х1 Йд. х х ( х„1~„1 ') („/~з~~и (О; О) 2320. Вычислить 2 В, Ки~~~~~улвлеавы~ яп у~~ р ~л~ ~ Х=О СОйв', < д=-- а а)п 1, ~ с=ус, ,у ;: Х=Всовасой~, ~ д †.~у, СОЗ а а1П ~, , .'г=В В1па(а = СОПВЦс ! хс' 2 . 2 2 х +д +г =2Вх,г=х, (х+ д) йх — (х — д) с1д /хС" у1- '» сь ГЛЭВВ Ч11, КРЛТНЫИ И К1ЭИВОЛИНКйНЫК ИНТЕпэАЛЫ Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных кривых: 2323. (д — 2) с)х + (2 — х) дд —.
(х — д) дг, где С вЂ” виток винтовой соответству1о)ций изменению параметра ~ от О до 2н. 2324, д дх + г дд + х йг, где С -- окружность пробегйемйя в нйпрйвлснии возрйстйния нйрйметра. 2325. хд йх + дг Йд + зх дг, где ОА — дуга окружности Оа расположенная по ту сторону от плоскости ХОЯ, где д > О. 2326, Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов; Сб: 4.' 8) й) х 4х + д дд — х дз, (1'. 0: -3) (~~; Ь; с) б) дх ох + зх Йд -' хд ЙЗс (1; 1: 1) (3. 4: 5) г) ~ - -/ (путь интегрирования располо- //Г ~$Х+хх ~11+ Хд ЛУ хны жен в первом октанте), 2327. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл Х = ) .~»»+у' дх ч у~ху .»!в (х — /хс»усц Ву, где контур С ограничивает область Я.
2328. Применяя Формулу Грина, вычислить где С вЂ” пробегйемый в положительном направлении контур треугольника с вершинами в точках Л(1; 1), В(2; 2) и С(1; 3). Проверить найденный результат, вычисляя интеграл не11осредственно. 2329. Применяя Формулу Грина, вычислить интеграл 2 2 2 где С вЂ” окружность х + д = В, пробегаемая против хода часовой стрелки.
2330. Через точки А(1; 0) и В(2; 3) проведены парабола АшВ, ось1о которой является ось ОУ„и хордй ее АпВ. Нййти 11епосредственно и применяя Формулу Грина. 2331, Найти е "(д дх + (1 + хд)п)Д, если точки А и В лежат Лсил на оси ОХ, а площадь, ограниченная путем интеграции АюВ и отРезком АВ, равна Я. 2332».
Вывисхвт» в у С, . Рвсс»сотрсс» ввв свхсвв: Г хд — //дх .-" д2 с а) когдй нйчйло координйт находится вне контурй С, б) когда контур окружает и раз начало координат. 2333'/". Показать, что если С вЂ” замкнутая кривая, то сов(Х, и) йв = О, с г ! где в — длина дуги, и — впеп1няя нормаль, Глава 711. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Э 10. Поверхностпьуе интегралы 2334. Применяя формулу Грина, найти интеграл Х = ~ ~л сов«Х, а) т р а!п«Х, паде, где йв — дифференциал дуги, и — внешняя нормаль к контуру С.
2335"", Вычислить интеграл ол х— Су х+у .! взятый вдоль контура квадрата с вершинами в точках А(1; О), В(О; 1), «-'«-1; 0«и ЩО: — 1у, при условии облова ко каура против часовой стрелки. Г, ПРИЛОЖЕНИа К ИВОЛИНЕйНОГО ИНТЕГ ЛЛА Вычислить площади фигур„ограниченных следующими кривымн: . ~ 2336. Эллипсом х асов(, у = Ьв1п1, 3, з ! 2337. Астроидой х = а сов' ~„у = а в1п' г. 2338. Кардиоидой х = а(2 сон ~ — сов 2~), у а(2э1п ( — в1п 2~), 2 2 2339". Петлей декартова листа х + у — Заху = О (а > О), 2340, Кривой (х + у) аху.
2341"'. Окружность радиуса г катится без скольжения по непо- . движной окружности радиуса В, оставаясь вне нее. Предполагая, что  — — целое число, найти площадь, ограниченную кривой (эпицик-:: г лоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности. Разобрать частный случай г = В (кардиоида). 2342"", Окружность радиуса г катится без скольжения по непо- движной окружности радиуса В, оставаясь внутри нее.
Предполагая, В что — — целое число, найти площадь, ограниченную кривой (гипог циклоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружное- ти. Разобрать час~~~й с~у~~й, ~о~да г = — (астроида), 4 2343. Поле образовано постоянной силой Р, направленной вдоль положительной полуоси ОХ. Найти работу поля, когда материаль- ная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть окружности":. 2 2 2 х + у В, лежащую в первом квадранте. 2344. Найти работу, производимую силой тяжести при переме-':« щекин материальной точки массы ш из положения А(х,; у; 21) в положение В(х; у; г. ) (ось ОЯ направлена вертикально вверх), 2345. Найти работу упругой силы, направленной к началу коор- ДИНсГТ И ПРОПОРЦИОИЙЛЬНОИ УДаЛЕНИЮ ТОЧКИ От НаЧада КООРДИНата ЕС- ли точка приложения силы описьвает против часовой стрелки чет- х' верть эллипса — +, = 1, лежащую и первом квадранте.
аа Ьа 2346. Найти потенциальную функцию силы В(Х, У, Я) и определить работу силы на данном участке пути, если: а) Х =- О, У = О, Я -: — авил' (сила тяжести) н материальная точка перемещается из положения А(х,, у,, г ) в положение В(х „у, г ); с1 Х = — р —, у - — р а, г = —,, гле и = со««ее и г /Р + ре «аг га (сила ньютоновского притяжения) и материальная точка из положения А(а, Ь, с) удаляется в бесконечность; 2 2 2 в) Х= — )2 х, У= — Й у, Я= -Ф г, гдето= сопит,(упругая сила), причем 2 2. 2 2 начальная точка пути находится иа сфере х + д + г = В, а 2 2 2 2 конечная — на сфере х + у + в =- г (В > г).
~ 10. Поверхностные интегралы 1'.Поверхностный интеграл первого типа. Пусть ,у(х, у, 2) — непрерывнаЯ Функция, 2 = Э(х, у) — гладкая поверхность Я, Пэверхносуугнмй интеграл первого типа представляет собой предел интегралл ь КОЙ суммы а Д(х, у, 2) дЯ = 11гп ~(х,, у,,г,.)ЛЯ,, и и у н где Л Я,. — площадь!-го элемента поверхности Я, точка (х,, уг 2,.) принадлежит этому элементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения стремится к нулю. Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности Я, по которой производится интегрирование. Если проекция о поверхности Я на плоскость ХОУ однозначна, т.
е. всякая прямая, параллельная оси ОЯ, пересекает поверхность Я лишь в одной точке, то соответстьую1ний поверхностный интеграл первого типа может быть вычислен по формуле Дх, у, г) г(Я = Дх, у, <р(х, у)1 П р и м е р 1. Вычислить поверхностный интеграл где Я вЂ” поверхность куба 0 х ~ 1, 0 ~ ч е.. 1, 0 '- г =-. 1, Глава 7П. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3 10. Поверхноетньуе интегралы Вычислим сумму поверхностных интегралов по верхней грани куба (з 1) ~': и по цижнеи грани куба (2 =.
0)," 11 11 11 (х+ у+ Цдхду+ (х+ у) Йхду (2х+ 2у+ Цдхду = 2. ОО ОО ОО Очевидно, что искомый поверхностный интеграл в три раза больше и ~~ равен 2 (х + у + г) дЗ = 9. 8 '! 2'.Поверхностный интеграл второго типа. ЕслнР Р(х,у,2), .; ~ Я = Я(х, у, г), В - В(х, у, г) — непрерывные Функции, Я вЂ” сторона гладкой: поверхности 8, характеризуемая направлением нормали у1(соз а, соз К соз у), то соответствующий поверхностный иитеграл второго типа выражается:=: ~ следую1цим образом: ~ Родов в. 9огдх в яохоу = Д(усово в ясов() + ))сост)Л8. з 8 При нереходс на другую сторону Я поверхности этот интеграл меняет ' свой знак иа обратный.
Если поверхность 8 задана в неявном виде Р(х, у, 2) = О, то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам 1 дГ 1 ЭГ „ 1 дР сова — —, созе - — —., созу = — —, З дх' () ду ' .О дг и выбор знака перед радикалом должен быть согласован со стороной по- .'::. верхности 8. 3'. Ф о р м у л а С т о к с а. Если Функции Р Р(х, у, г), 9 = 9(х, у, г), В = В(х, у, з) непрерывно диФФеренцируемы и С вЂ” замкнутый контур, ог. раничиваю(ций двустороння)ю поверхность 8, то имеет место формула Сото кса Р(1х+ 9(1у+ Вйг = с — — — — соз а + — — — соз р + — — — соз1( ЙЗ, где соз а, соз р, соз ')) — направляющие косинусы нормали к поверхности 8 "",';;; причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали"'.-'-,'=, обход контура С совершался против часовой стрелки (в правой системе ко ординат), Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа: 2347.
(х + у ) 48, где  — сфера х + у + г =- а . 2348. х2 + уг п8, где 8 — боковая поверхность конуса Я ", +"- — ~ — О(О<г<Ь1. аз Ь2 с2 Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа: 2349. уг ду дг + хг с(г (1х + ху 4х с1у, где Я вЂ” внешняя сторона в поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостями х = О, у = О, г=О, х+у+г=а. 2350.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
